1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，，，再根據(jù)投影向量公式求解即可.
【詳解】因為向量，，
則，，
，
所以向量在向量上的投影向量為
故選：A．
2. 若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線的斜率，求出k的取值范圍，求出的取值范圍即可.
【詳解】解：若直線l的方向向量是，則直線l的斜率，所以，則或.
故選：D.
3. 已知拋物線和雙曲線的公切線（是與拋物線的切點），與拋物線的準線交于，為拋物線的焦點，若，則拋物線的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過作拋物線的準線于，結(jié)合拋物線的定義可得直線的斜率為1，求得的方程，兩次利用判別式為零列方程可求得拋物線的方程.
【詳解】如圖過作拋物線的準線于，根據(jù)拋物線的定義可知，，
，在中，，，
即直線的斜率為1，故設(shè)的方程為：，
由，消去得，
則，解得，即，
由得，，得，
則拋物線的方程是，
故選：A．
4. 若為雙曲線的左焦點，過原點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線求出實半軸、虛半軸和和焦距,根據(jù)圖像的對稱性得出,又根據(jù)雙曲線的定義得到,得到,將其設(shè)為關(guān)于的函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)的極值即可得出取值范圍.
【詳解】解：由得,,,
則左焦點,右焦點,
因為題中給出為雙曲線的左焦點,
則,,
又因為雙曲線與過原點的直線都關(guān)于原點對稱,
所以,
又根據(jù)雙曲線的定義,
所以,
設(shè)
所以,
設(shè),,
令解得或,（）,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
,
,
所以的取值范圍為,
則的取值范圍是,
故選：D
【點睛】本題考查雙曲線的定義及其基本性質(zhì),利用導數(shù)求得雙曲線與直線的交點間的取值范圍,利用雙曲線定義可使數(shù)據(jù)簡化.
5. 甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，甲是否擊中對乙沒有影響，設(shè)“甲中靶”，“乙中靶”，則（ ）
A. 與，與，與，與都相互獨立
B. 與對立事件
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)獨立事件和對立事件定義可知AB正誤；根據(jù)獨立事件概率乘法公式可知C錯誤；根據(jù)對立事件概率公式可求得D錯誤.
【詳解】對于A，兩人射擊結(jié)果沒有相互影響，與，與，與，與都相互獨立，A正確；
對于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”，
與不是對立事件，B錯誤；
對于C，與相互獨立，，C錯誤；
對于D，，D錯誤.
故選：A.
6. 下列命題中正確的是（ ）
A. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標是
B. 若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
D. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量對稱性知識來判斷A，利用直線方向向量與法向量垂直，結(jié)合線與面的位置關(guān)系來判斷B，利用空間四點共面的性質(zhì)來判斷C，利用直線方向向量與法向量夾角來判斷D.
【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，因為，所以，則或，B選項錯誤；
對于C ，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，C選項錯誤；
對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，D選項正確；
故選：D.
7. 以下四個命題表述正確的是（ ）
①若點，圓的一般方程為，則點A在圓上
②圓的圓心到直線的距離為2
③圓與圓外切
④兩圓與的公共弦所在的直線方程為
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】代入點驗證知①正確，計算點到直線的距離得到②錯誤，計算圓心距為，得到③正確，圓方程相減得到公共弦方程，④錯誤，得到答案.
【詳解】將點代入圓方程，滿足，故①正確；
圓的圓心為，到直線的距離為，②錯誤；
圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，圓心距為，故③正確；
兩圓與方程相減得到，即公共弦方程為：，④錯誤.
故選：B.
8. 等腰直角內(nèi)接于拋物線，其中為拋物線的頂點，，的面積為16，為的焦點，為上的動點，則的最大值為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等腰直角三角形的頂點，，利用可求得，進而可求得，由求得P=2．做拋物線的準線，與x軸的交點為N（-1,0），MA垂直于準線，由拋物線的定義得|MF|=|MA|，設(shè)到準線的距離等于，化簡為，換元，利用基本不等式求得最大值．
【詳解】設(shè)等腰直角三角形的頂點，，則，．
由得：，
，即，
，，，
，即關(guān)于軸對稱．
直線的方程為：，
與拋物線聯(lián)立，解得或，
故，
．
的面積為16，；
焦點，設(shè)，則，，設(shè)到準線的距離等于，

則．
令，，則（當且僅當 時，等號成立）．
故的最大值為，
故選．
【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，求得，關(guān)于軸對稱是關(guān)鍵，考查拋物線的定義，基本不等式的應用，體現(xiàn)了換元的思想，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵，屬于難題．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 某高中舉行的數(shù)學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A. 考生參賽成績的平均分約為72.8分
B. 考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C. 分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2
D. 用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應抽取30人
【答案】BC
【解析】
【分析】利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；求出分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率判斷C；用分層隨機抽樣求出區(qū)間內(nèi)應抽人數(shù)判斷D.
【詳解】對于A，平均成績?yōu)?，A錯誤；
對于B，由頻率分布直方圖知，分數(shù)在內(nèi)的頻率為0.7，在內(nèi)的頻率為0.9，
因此第75百分位數(shù)位于內(nèi)，第75百分位數(shù)為，B正確；
對于C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，C正確；
對于D，區(qū)間應抽取人，D錯誤.
故選：BC
10. 已知為坐標原點，拋物線的焦點為為上第一象限的點，且，過點的直線與交于兩點，圓，則（ ）
A.
B. 若，則直線傾斜角的正弦值為
C. 若的面積為6，則直線的斜率為
D. 過點作圓的兩條切線，則兩切點連線的方程為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義、弦長、面積、圓的切線等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)Ax0,y0，則，則，故，故A正確；
設(shè)直線，聯(lián)立則，
設(shè)，則，
故.，
解得，則直線傾斜角的正弦值為，故B錯誤；
，解得，
則直線的斜率為，故C正確；
由上述分析可知，，
圓可化為，圓心，半徑，
易知為其中一條切線，切點為，且兩切點連線與垂直，
，兩切點連線的斜率為，
故兩切點連線為，
即，故D正確
故選：ACD
【點睛】方法點睛：
聯(lián)立方程法求交點：通過設(shè)定直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到交點的坐標表達式．這是求解涉及兩條曲線交點時的基本方法．
面積與斜率的關(guān)系：在C選項的分析中，利用三角形面積公式推導出直線的斜率，通過面積與幾何圖形特性的關(guān)系有效求解參數(shù)．
圓的切線與切點方程：在D選項的分析中，使用圓的標準方程，通過作切線與圓心的垂直關(guān)系，找到切點并確定切線方程．
11. 如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱的中點，點為線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A. 平面平面
B. 直線與所成角的余弦值為
C. 平面與平面夾角的余弦值為
D. 點到直線的距離的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)面面垂直、異面直線成角、面面角和點線距離的向量求法依次判斷各個選項即可.
【詳解】以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，
則，，，，，，，，；
對于A，，，，
，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面，A正確；
對于B，，，，
即直線與所成角的余弦值為，B錯誤；
對于C，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，，
平面，平面的一個法向量為，
，
平面與平面所成角的余弦值為，C正確；
對于D，，設(shè)，則，
，又，
，
到直線的距離，
當時，，
即點到直線距離的最小值為，D錯誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．
12. A，兩名乒乓球選手進行決賽，根據(jù)賽前兩位選手的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在一局比賽中獲勝的概率是，若采用“五局三勝制”，則選手獲勝的概率為_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)獨立事件概率乘法公式結(jié)合獨立重復試驗概率公式，分三種情況討論即可求解.
【詳解】若比賽進行了3局，則A獲勝的概率是；
若比賽進行了4局，A獲勝的概率是；
若比賽進行了5局，A獲勝的概率是.
故選手獲勝的概率為.
故答案為：.
13. 若點在橢圓上，則稱點為點一個“橢點”.已知直線與橢圓相交于兩點，且兩點的“橢點”分別為，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則的值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可確定，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，代入等式即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，則，，
以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，，
由得：，
，即，
，，
，
，解得：（滿足），
的值為.
故答案為：.
14. 已知橢圓的左右頂點分別為，，且，為上不同兩點（，位于軸右側(cè)），，關(guān)于軸的對稱點分別為為，，直線、相交于點，直線、相交于點，已知點，則的最小值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得點，的軌跡為雙曲線的右支，進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得解．
【詳解】設(shè)點，則，，
則，
，
，
點的軌跡方程為，
即點的軌跡方程為，

同理可得，點也在雙曲線上，
點恰為雙曲線的左焦點，
設(shè)雙曲線的右焦點為，
根據(jù)雙曲線定義可得：
，
當且僅當三點共線時，即得，
的最小值為．
故答案為:．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是距離的轉(zhuǎn)化，應用雙曲線的定義得到，結(jié)合圖形特征即可得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在平行六面體中，設(shè)，，，分別是的中點.
（1）用向量表示；
（2）若，求實數(shù)x，y，z的值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)，利用空間向量的線性運算求解即得.
（2）用表示，再利用空間向量基本定理求解即得.
【小問1詳解】
在平行六面體中，
，
由分別是的中點，
得.
.
【小問2詳解】
，
而，且不共面，
所以.
16. 為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券.游戲規(guī)則如下表：
（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；
（2）當時，求游戲三的獲勝概率；
（3）一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大.
【答案】（1）游戲一獲勝的概率為，游戲二獲勝的概率為
（2）
（3）的所有可能取值為5，6，7
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式來求得正確答案.
（2）根據(jù)古典概型概率計算公式來求得正確答案.
（3）根據(jù)相互獨立事件、互斥事件（對立事件）求得先玩游戲三或先玩游戲二獲得書券的概率，由此列不等式來求得的所有可能取值.
【小問1詳解】
設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，
因為，所以，.所以游戲一獲勝的概率為.
游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，
則，因為，
所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為.
【小問2詳解】
游戲三中不放回地依次取出兩個球的樣本的個數(shù)為，
時，樣本的個數(shù)為2，所以所求概率為；
【小問3詳解】
設(shè)“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，
則，且，，互斥，相互獨立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，
所以，即.
進行游戲三時，不放回地依次取出兩個球的所有結(jié)果如下表：
當時，，舍去
當時，，滿足題意，
因此的所有可能取值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是利用互斥事件與獨立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，由此得解.
17. 在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過兩點和，直線的方程為.
（1）求圓的方程；
（2）當時，為直線上的定點，若圓上存在唯一一點滿足，求定點的坐標；
（3）設(shè)點A，B為圓上任意兩個不同的點，若以AB為直徑的圓與直線都沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或 ；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為，列方程解得即可；
（2）根據(jù)題意，利用得點的軌跡方程為，再利用兩圓相切解得即可.
（3）記以為直徑的圓為圓，設(shè)，得圓的半徑，利用，表示出動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部(含邊界)，再利用點C到直線l的距離，解得即可.
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，將M，N坐標帶入，
得： ，解得，
所以圓的方程為.
（2）設(shè)，，由，即，
化簡得，
由題意，此圓與圓C相切，故，解得，
所以或
（3）記以AB為直徑的圓為圓M，設(shè)圓M上有一動點，
設(shè)，則圓M的半徑，于是
，其中為的夾角，.
因為，所以.
故點在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部(含邊界)，
所以點C到直線l的距離，即，解得.
【點睛】本題考查圓與方程，直線與圓的位置關(guān)系，阿波羅尼斯圓，隱圓問題，屬于中檔題.
18. 如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點M是線段EF的中點．
（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；
（2）求出直線CD到平面MAB的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)得線面垂直，利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，分別求平面MAB與平面EAD的法向量，再求解夾角即可得；
（2）由線面平行關(guān)系，將直線CD到平面MAB的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，利用法向量求解可得.
【小問1詳解】
因為在梯形ABCD中，，，，
如圖，過C作交AB于G，則四邊形是平行四邊形.
可得，.
在中，由余弦定理得，
所以，得，
又平面平面，平面平面， 平面，
所以平面；
因為四邊形ACFE為矩形，所以，
又平面平面，平面平面， 平面，
所以平面，平面，則.
如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則A3,0,0，， ，，，
所以，，，，
設(shè)平面MAB的法向量為，
則，取，得，
設(shè)平面EAD的法向量為，
則，取，得，
所以．
所以平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值為．
【小問2詳解】
由，平面，平面，
則平面.
則直線到平面的距離即為點到平面的距離.
由（1）知，，平面的一個法向量，
則點到平面的距離.
故直線CD到平面MAB的距離為.
19. 如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點，過原點不與軸垂直的動直線與交于，兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；
（3）以點E0,2為圓心，為半徑圓與直線、分別交于異于點的點和點，求與面積之比的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析，定值為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再根據(jù)可求，故可求標準方程.
（2）設(shè)Ax1,y1，則可得，根據(jù)在橢圓上可得定值.
（3）求出的方程，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程后可得的橫坐標，從而可得面積之比，結(jié)合換元法可得范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)有，且，故，
故橢圓方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1，則，故，
而，故.
故為定值且定值為.
【小問3詳解】
由題設(shè).
圓，直線，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用斜率或點的坐標表示目標函數(shù)，后者需要結(jié)合不等式、函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)等工具來求范圍.
游戲一
游戲二
游戲三
箱子中球的
顏色和數(shù)量
大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個
（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）
取球規(guī)則
取出一個球
有放回地依次取出兩個球
不放回地依次取出兩個球
獲勝規(guī)則
取到白球獲勝
取到兩個白球獲勝
編號之和為獲勝
第二次
第一次
1
2
3
4
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1
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