1．以點為圓心，并與軸相切的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則（ ）
A．2B．5C．21D．26
3．“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為，且橢圓上的點到兩焦點的距離之和為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
5．從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如果一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖在右邊“拖尾”，則下列說法一定錯誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)中可能存在極端大的值B．這組數(shù)據(jù)是不對稱的
C．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)一定不等于中位數(shù)D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)
7．在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為BD中點，則點到直線EF的距離（ ）
A．B．C．D．
8．已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．成都七中高新校區(qū)高二年級14個班團體操比賽成績（滿分100分）從小到大排序依次為：88，89，90，90，90，90，91，91，91，92，92，93，93，94（單位分），則下列說法正確的是（ ）
A．眾數(shù)為90B．中位數(shù)為91.5C．第80百分位數(shù)為92D．方差為
10．已知正方體的棱長為2，點E，F(xiàn)，G分別為棱和的中點，則下列說法正確的有（ ）

A．
B．分別是線段和上的兩個動點，則
C．平面與平面夾角的正弦值為
D．平面EFG被正方體截得的截面面積為
11．已知橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓相交于兩點，，則以下說法正確的是（ ）
A．的周長為
B．的面積的最大值為
C．記關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，則
D．若為的中點，則的軌跡方程為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為 .
13．連續(xù)拋擲一顆骰子次，則擲出的點數(shù)之和為的概率為 .
14．已知，點滿足：，過點分別作兩條相互垂直的射線DM，DN分別與點的軌跡交于M，N兩點，記MN的中點為，記的軌跡為，過點分別作軌跡的兩條切線，切點分別為，則取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.其中15題13分，16-17題15分，18-19題17分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．為了檢驗同學(xué)們高二以來的學(xué)習(xí)效果，某市在期末的時候?qū)⒔M織調(diào)研考試．在某次調(diào)研考試中學(xué)校為了解同學(xué)們的調(diào)考情況，從所有同學(xué)中隨機抽取某學(xué)科的100份答卷作為樣本，將樣本成績按從低到高依次分為第組（如下圖所示，成績滿分為100分且成績均為不低于40分的整數(shù)），得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本成績的上四分位數(shù)；（上四分位數(shù)即75百分位數(shù)）
(2)已知第2組的平均成績是54，方差是4，第3組的平均成績?yōu)?6，方差是4，
①分別求第2組和第3組的人數(shù)；
②求這兩組成績的總平均數(shù)和總方差.
參考公式或數(shù)據(jù)：
方差.
16．設(shè)向量，滿足.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)若點，設(shè)斜率為且過的直線與（1）中的軌跡交于P，Q兩點，求的面積.
17．2024年10月1日是新中國誕辰75周年，為弘揚愛國主義精神，某學(xué)校開展了愛國主義知識競賽活動，在最后一輪晉級中，參賽選手兩人為一組，要求：在規(guī)定時間內(nèi)兩人分別對兩道不同的題作答，每題只有一次作答機會，每道題是否答對相互獨立．已知甲答對每道題的概率為，乙答對每道題的概率為，答題過程中甲乙每次是否作答正確互不影響．
(1)若，
①甲在兩次作答中，分別求甲答對兩道題和甲答對一道題的概率；
②求甲、乙各兩次作答中一共答對3次題的概率；
(2)若，求甲、乙各兩次作答中一共答對3次題的概率的最小值．
18．已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，圓.
(1)求圓與圓的公共弦所在的直線方程和圓的方程；
(2)為平面內(nèi)一動點，分別為圓與圓的切線（為切點）且，求點的軌跡方程；
(3)斜率為的直線過點與圓交于兩點（在軸上方）.將平面沿軸折疊，使平面平面，設(shè)折疊后的長度為．求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的值域.
19．如圖1所示，直角梯形，，，且，點A，E分別在線段MD，BC上，且，點為DC的中點，將四邊形MBEA沿AE折起，使二面角的大小為.

(1)若（如圖2所示），求直線AB與平面所成角的正弦值；
(2)若，點Q為平面ABE內(nèi)一點，若平面ABE（如圖3所示），求PQ的值；
(3)若時，點為線段的中點，將沿折起，使與四邊形AEBM在平面AEND的同側(cè)且平面平面ADE，點為四面體MECD內(nèi)切球球面上一動點，求的最小值.
1．D
【分析】由題意確定圓的半徑，即可求解.
【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為點，半徑為，
則圓的方程為．
故選：D．
2．B
【分析】先得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運算求解.
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：B
3．A
【分析】根據(jù)直線平行的條件，判斷“”和“直線與直線平行”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時，直線與平行；
當(dāng)直線與直線平行時，
有且，解得，
故“”是“直線與直線平行”的充要條件.
故選：A.
4．C
【分析】根據(jù)橢圓的定義計算即可.
【詳解】易知橢圓焦點在橫軸上，可設(shè)橢圓方程，
則根據(jù)題意知，所以，即橢圓方程為.
故選：C
5．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.
【詳解】記2名男生為，2名女生為，
任意選出兩人的樣本空間，共6個樣本點，
恰好一男一女生的事件，共4個樣本點，
所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是.
故選：A
6．C
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)結(jié)合樣本的數(shù)字特征即可判斷.
【詳解】數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖在右邊“拖尾”，則其圖單峰不對稱，故B正確；其大致圖如下：
由圖可知數(shù)據(jù)中可能存在極端大的值，故A正確；
由于“右拖尾”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，可能與眾數(shù)相等，故C錯誤；
平均數(shù)靠近中點處，平均數(shù)容易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，故D正確；
故選：C
7．A
【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出，利用空間點到直線的距離公式求解即可；
【詳解】
連接，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，
則，
所以點到直線EF的距離為，
故選：A.
8．B
【分析】利用直線過定點及兩直線位置關(guān)系先確定的軌跡，令，可求出點坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間線段最短可求解.
【詳解】直線過定點，
直線過定點，
且直線與直線垂直，所以點的軌跡是以為直徑的圓，
故圓心是，半徑為則點的方程是
令，因為，
所以，
則
所以，可得點
則.

9．AD
【分析】由平均數(shù)、眾數(shù)，中位數(shù)和方差的定義和計算公式求解即可.
【詳解】易知：眾數(shù)為90，中位數(shù)為91，
因為，所以第80百分位數(shù)為第十二個數(shù)為93；
平均數(shù)，
則方差為.
故選：AD.
10．ABD
【分析】由線面垂直的判定定理可得平面，再證四邊形為平行四邊形可得A正確；建立如圖所示坐標(biāo)系，求出異面直線和的公垂線的一個方向向量，再由空間點線間距離公式可得B正確；分別求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，代入空間向量二面角公式，再結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系可得C錯誤；畫出截面圖形，由三角形的面積公式可得D正確；
【詳解】

對于A，由正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以，
又對角線，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為點E，G分別為棱的中點
又且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以，
可知，故A正確；
對于B，以為原點，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則，
，，
設(shè)為異面直線和的公垂線的一個方向向量，，即，取，
則，故B正確；
對于C，，
，
設(shè)n1=x1,y1,z1為平面的一個法向量，
，即，取，
則，取為平面的一個法向量，，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，所以，故其正弦值為，故C錯誤；
對于D，如圖延展平面易知平面EFG被正方體截得多邊形為正六邊形，則其面積為，故D正確；

故選：ABD.
11．CD
【分析】分別利用橢圓的性質(zhì)判斷每個選項即可.
【詳解】易知的周長為，又故周長為，所以A錯誤；
橢圓方程可寫為，
由設(shè)直線，代入橢圓方程得，
設(shè)，則，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以B錯誤；
易知，故，所以C正確
設(shè)點的坐標(biāo)為，易知，故且，
化簡可得，代入或滿足條件，
故點的軌跡方程為．所以D正確．
故選：CD
12．
【分析】利用求點的對稱點的方法求解即可.
【詳解】設(shè)對稱點坐標(biāo)為，則有，解得
故
13．
【分析】計算出所有的基本事件數(shù)，并列舉出事件“擲出的點數(shù)之和為”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【詳解】連續(xù)拋擲一顆骰子次，基本事件的總數(shù)為，
其中事件“擲出的點數(shù)之和為”所包含的基本事件有：、、、、，共個，
因此，所求事件的概率為.
故答案為.
本題考查古典概型概率的計算，一般要列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14．
【分析】先分別求出點的軌跡和的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的定義化簡，進而可得出答案.
【詳解】設(shè)，由，得，
化簡得，
故點的軌跡是以O(shè)0,0為圓心，為半徑的圓，
因為，為的中點，所以，
又在圓上，所以，
則，
設(shè)，得，
化簡得，
則軌跡的方程是以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)，則，故，
則，
則，
因為，所以點在圓內(nèi)，
則，
即，所以，
由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上遞減，在上遞增，
又，
所以，
又，，
所以，
所以.

故答案為.
方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點法：用動點的坐標(biāo)、表示相關(guān)點的坐標(biāo)、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.
15．(1)84；
(2)①10，20；②總平均數(shù)是62，總方差是36
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的定義計算即可；
（2）①利用頻率分布直方圖直接計算可得；②利用平均數(shù)與方差的計算公式計算即可.
【詳解】（1）上四分位數(shù)即75百分位數(shù)，
成績落在內(nèi)的頻率為
成績落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第75百分位數(shù)為，則其位于區(qū)間，
則，解得，
所以上四分位數(shù)為84；
（2）①由圖可知，成績在的人數(shù)為，
成績在的人數(shù)為，
②兩組成績的總平均數(shù)為，
設(shè)成績在中10人的分?jǐn)?shù)分別為；
成績在中20人的分?jǐn)?shù)分別為，
則由題意可得，，，
即，
所以，
所以兩組成績的總平均數(shù)是62，總方差是36.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量模長公式，表達出，再根據(jù)橢圓定義，可推出動點軌跡；
（2）根據(jù)點斜式求出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求出兩交點長度，根據(jù)點到直線距離公式可求出到直線距離，即可求出的面積.
【詳解】（1）由得，
由橢圓定義知：
點到兩定點的距離之和為4，且，
所以，，所以可得
所以點的軌跡C的方程為.
（2）因為，
所以直線方程為，
聯(lián)立方程組得，
設(shè)，則
所以
點到直線PQ的距離
所以
17．(1)①，；②
(2)
【分析】（1）設(shè)相應(yīng)事件，①根據(jù)獨立事件概率乘法公式運算求解；②分析可知，結(jié)合獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法運算求解；
（2）分析可知，整理可得，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】（1）設(shè)甲答對一道題甲答對兩道題，乙答對一道題乙答對兩道題
①由題意可得：
②同理：由題知，
設(shè)“甲、乙各兩次作答中一共答對3次題”，
則，且與互斥，與與分別相互獨立，
所以
，
因此，甲、乙各兩次作答中一共答對3次題的概率
（2）由題知：，
設(shè)“甲、乙各兩次作答中一共答對3次題”，
則，且與互斥，與與分別相互獨立，
所以
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
可得，即，
所以甲、乙各兩次作答中一共答對3次題的概率的最小值為
18．(1)，
(2)
(3)；
【分析】（1）將圓與圓相減即可得到公共弦所在直線方程；圓的圓心為，利用點關(guān)于線對稱得到方程組，求出圓心,寫出圓的方程即可;
（2）設(shè)出，借助切線長公式表示出,整理，進而得到，整理化簡即可.
（3）聯(lián)立直線與圓的方程，借助根與系數(shù)之間的關(guān)系以及向量表示出，結(jié)合函數(shù)思想求出值域即可.
【詳解】（1）
如圖所示，由
兩式相減，
化簡得．
所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為.
又圓與圓關(guān)于直線對稱，設(shè)圓的圓心為，
解得,
圓方程為.
（2）如圖，根據(jù)切線長公式,，
因為，所以，即，
設(shè)，則，
化簡得，
點Q的軌跡方程
（3）
如圖：設(shè)直線的方程為，且設(shè).
由得，
顯然，且.
分別過作軸，軸，折疊后，
可知,
由，所以,
，
又由
由
,
，
綜上:的值域為.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用公式求解即可；
（2）根據(jù)題意可得，進而得平面PQK，又平面，確定點，進而根據(jù)三角形的相關(guān)知識可解出PQ的值；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的球心坐標(biāo)和半徑，然后得內(nèi)切球的方程，利用阿氏球相關(guān)知識可知空間中必存在一定點，使球上的點滿足，然后根據(jù)方程解出點的坐標(biāo)，進而求出的最小值.
【詳解】（1）如圖2，由題AM、AE、AD三線兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，
，，，
設(shè)平面BCD的法向是，
由，得，即，
所以取平面BCD的一個法向量，
設(shè)AB與平面所成角為，所以，
與平面BCD所成角的正弦值為
（2）如圖，設(shè)AE、AB的中點分別為K、T，連接KT.

由平面幾何知：，，所以，且平面T.
若平面，因為平面ABE
所以，又，，平面，，所以平面PQK，
又平面，所以且，
在中，，因為，又，所以，
所以在中，；
（3）顯然，MECD為棱長為的正四面體，作面BME，設(shè)內(nèi)切球球心為，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，且，則，.

設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，，所以，
所以內(nèi)切球的方程為，
由阿氏球知，空間中必存在一定點，使球上的點滿足，
即，
則，
由球的方程，
所以，解得，
所以，所以，
所以的最小值為.
思路點睛：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量解決立體幾何中的求空間角問題，求最值問題.

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