1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．設(shè)定點，，動點滿足條件，則點的軌跡是（ ）
A．橢圓B．線段C．射線D．橢圓或線段
4．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知為雙曲線的右焦點，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，是面積為4的直角三角形，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．已知直線上動點，過點向圓引切線，則切線長的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知點為橢圓：的一點，，分別為橢圓的左，右焦點，的平分線交軸于點，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線C：的左，右焦點分別是，，其中，過右焦點的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．弦AB的最小值為
B．若，則三角形的周長
C．若AB的中點為M，且AB的斜率為k，則
D．若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率
二、多選題
9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（ ）
A．事件與事件是互斥事件B．事件與事件是對立事件
C．事件與事件是相互獨立事件D．事件與事件是互斥事件
10．瑞士數(shù)學家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標系中，點到兩個定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，則當時，下列結(jié)論正確是（ ）
A．點在雙紐線上
B．點的軌跡方程為
C．雙紐線關(guān)于坐標軸對稱
D．滿足的點有1個
11．以下四個命題表述正確的是（ ）
A．直線恒過定點
B．圓上有且僅有3個點到直線l：的距離都等于1
C．圓：與圓：恰有三條公切線，則
D．已知圓C：，點P為直線上一動點，過點向圓C引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點
三、填空題
12．某同學進行投籃訓練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是 .
13．過雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點.設(shè)為線段的中點，為坐標原點，則 ．
14．已知橢圓的左?右焦點分別為?，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是 .
四、解答題
15．已知直線.
（1）若直線過點，且，求直線的方程；
（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.
16．在平面直角坐標系中，已知點，，動點P滿足．
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)將點A和點B并入點P的軌跡得曲線C，若過點的直線l與曲線C有且只有一個公共點，求直線l的方程．
17．已知橢圓C：的焦距為，離心率為.
(1)求C的標準方程；
(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點，且的面積為，求t的值.
18．已知雙曲線的焦距為且左右頂點分別為，，過點的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線的斜率為，求弦長MN；
(3)記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．
19．已知、分別是橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于、兩個不同的點（、與、不重合）．
(1)求橢圓的焦距和離心率；
(2)若點在以線段為直徑的圓上，求的值；
(3)若，設(shè)為坐標原點，直線、分別交軸于點、，當且時，求的取值范圍．
答案：
1．D
【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.
【詳解】由直線得其斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為（），則，
所以，所以直線的傾斜角為，
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到，解得即可.
【詳解】因為方程表示雙曲線，
所以，解得或，
故的取值范圍為.
故選：B.
3．D
【分析】利用基本不等式求出的范圍，根據(jù)橢圓的定義可得答案.
【詳解】因為，所以，
當且僅當時等號成立，
當時，，而，此時點的軌跡是線段；
當時，，
此時點的軌跡是以、為焦點的橢圓．
綜上所述，點的軌跡是以、為焦點的橢圓或線段.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)直線平行求得，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.
【詳解】當時，，解得或，
當時，兩直線分別為，符合題意，
當時，兩直線分別為符合題意，
所以“”是“∥”的充分不必要條件
故選：B
5．B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性求出漸近線方程，再結(jié)合給定面積計算得解.
【詳解】由為直角三角形，及雙曲線的對稱性知，且，
則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，
又，因此，
所以的方程為.
故選：B
6．A
【分析】根據(jù)切線長，半徑以及圓心到點的距離的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，再求切線長距離的最小值即可.
【詳解】圓，其圓心為，半徑r=1，則到直線的距離；
設(shè)切線長為，則，若最小，則取得最小值，顯然最小值為，
故的最小值為，即切線長的最小值為.
故選：A.
7．C
【分析】結(jié)合光學性質(zhì)，列出直線方程，即可求解答案.
【詳解】設(shè)點Ax0,y0且不為頂點，因為橢圓方程為，
所以過的切線方程即直線為，
即，
由光學幾何性質(zhì)知，，
所以，
則直線的方程為．
令，得，所以．
所以.
故選：C
8．D
【分析】由通徑公式判斷A；由雙曲線的定義判斷B；由中點弦與點差法得出結(jié)論；由雙曲線的漸近線的斜率和比較大小，即可求離心率.
的最小值為通徑為，故A正確；
B.由雙曲線的定義得，得，所以三角形的周長，故B正確；
C.設(shè)，，則，兩式相減得，則，則，則，故C正確；
D若直線AB的斜率為，所以∴∴∴，所以選D不正確.
故選：D
9．ACD
【分析】先列舉各事件，再根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨立事件的概率特征逐一判斷即可；
【詳解】列舉各事件如下：，，，
A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；
B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；
C：因為，故C正確；
D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；
故選：ACD.
10．BCD
【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，逐一檢驗各個選項可判斷結(jié)果.
【詳解】由雙紐線的定義可得：，
即，化簡得：，
則當時，點的軌跡方程為，故B正確；
當時代入方程得，顯然不滿足方程，
所以點不在雙紐線上故A錯誤；
把x換成，y換成，方程不變，所以雙紐線關(guān)于坐標軸對稱，故C正確；
因為，若滿足，則點P在y軸上，
在方程中令，解得，
所以滿足的點為，故D正確；
故選：BCD.
11．BCD
【分析】將直線的方程進行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較即可判斷選項B；由題意知兩圓外切，由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項C；設(shè)出點坐標，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項D，進而可得正確選項.
【詳解】直線，
所以，所以，解得，
所以直線恒過定點，故A錯誤；
圓，圓心為到直線的距離為，
所以直線與圓相交，平行于直線l且距離為的直線分別過圓心以及和圓相切，
所以圓上有且僅有個點到直線的距離為，故B正確；
由：可得，圓心，，
由：可得，
圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，
即，解得：，故C正確；
設(shè)，所以，
因為、，分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，
所以點，在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為
.
整理可得：，與已知圓C：，相減可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直線經(jīng)過定點，故D正確.
故選：BCD.
12．
【分析】由該同學在三個不同的位置至少投中一次的概率與全不中的概率和為1，結(jié)合概率的乘法公式求解即可.
【詳解】由題意，，解得.
故
13．1
【分析】設(shè)是雙曲線的右焦點，因為分別為，的中點，運用中位線定理得到 ，結(jié)合雙曲線的定義得，再結(jié)合題中的數(shù)據(jù)得到，結(jié)合雙曲線的定義得，可得到的值．
【詳解】設(shè)是雙曲線的右焦點，連接
分別為，的中點
由雙曲線定義得，
故.
故1.
14．
【分析】首先根據(jù)題意，利用向量變形得，如圖在上取一點M，使得，連接，則，再結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.
【詳解】因為，
所以，
如圖，在上取一點M，使得，
連接，則，
則點為上靠近點的三等分點，
所以，
所以，設(shè)，則，
由橢圓定義可知：，即，
所以，
所以AF2=a，，AF1=a,
故點與上頂點重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以橢圓離心率為.
故答案為.

方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
15．（1） （2）或.
【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，
再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；
（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，
再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．
【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.
因為，所以直線的斜率為.
因為直線過點，所以直線的方程為，即.
（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，
所以，解得或.
故直線的方程為或.
本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解，
（2）利用直線與曲線C相切，即可求出直線l的方程.
【詳解】（1）設(shè)，則，
由，得，即，
所以動點P軌跡方程為.
（2）由（1）知，曲線C的方程為，曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，
由過點的直線l與曲線C有且只有一個公共點，得直線與圓相切，
而圓心到直線的距離為1，直線過點，則直線的方程可以為；
當直線的斜率存在時，設(shè)，即，
由，得，此時直線l方程為，
所以直線的方程為或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，，即可得到答案.
（2）首先設(shè)，，根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到，設(shè)直線l與x軸的交點為，再根據(jù)求解即可.
【詳解】（1）由題意得，，，
又，則，
則，
所以C的標準方程為.
（2）由題意設(shè)，，如圖所示：
聯(lián)立，
整理得， ，
則，，
故.
設(shè)直線l與x軸的交點為，
又，則，
故，
結(jié)合，解得.
18．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用雙曲線的焦距、結(jié)合雙曲線方程求出值即可；
（2）先求出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式計算即可；
（3）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率坐標公式，推理計算即得.
【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦距為，
則，即，
由，得，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，直線的方程為，
聯(lián)立，即，
設(shè)，，
則，，
所以弦長.
（3）證明：依題意，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，即，
則，
且，，即，
而，，
所以
為定值.
19．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由題意，結(jié)合橢圓的方程和離心率的公式求解即可；
（2）設(shè)出直線的方程和的坐標，聯(lián)立曲線方程，得到韋達定理再結(jié)合向量的坐標運算求解即可；
（3）結(jié)合（2）中所求信息將和的表達式寫出，再根據(jù)求解范圍即可.
【詳解】（1）由橢圓方程可得，
所以橢圓的焦距，離心率；
（2）
不妨設(shè)直線的方程為，，
易知，
聯(lián)立，消去并整理得，
，
由韋達定理可得，
若點在以線段為直徑的圓上，
此時，即，
整理可得，即，
代入韋達定理，
整理得，解得，
因為當時，直線過橢圓的右頂點，不符合題意，舍去，
所以；
（3）
設(shè)，
由（2）得，，
因為，，
所以，
解得，
則，①
易知，
解得，
則，②
聯(lián)立①②，可得，
因為，所以，
所以的取值范圍.
關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是能用韋達定理化簡；本題第三問關(guān)鍵是能用向量共線的坐標表示出，再用表示出.

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