1．本卷為試題卷，考生必須在答題卡上解題作答，答案書寫在答題卡相應(yīng)位置，在試題卷、草稿紙上作答無效．選擇題作答必須用2B鉛筆填涂．
2．考試結(jié)束后，請將答題卡交給監(jiān)考教師．
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的一個(gè)方向向量是（ ）
A． B． C． D．（
2．已知雙曲線的焦距為，實(shí)軸長為4，則雙曲線C的漸近線方程（ ）
A． B． C． D．
3．已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線上，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．已知直線與雙曲線無公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最小值為（ ）
A．8 B． C． D．10
二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知圓與圓，則下列說法正確的是（ ）
A．若圓與x軸相切，則
B．若，則圓與圓相離
C．若圓與圓有公共弦，則公共弦所在的直線方程為
D．直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)
10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D．當(dāng)時(shí)，n的最大值為20
11．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到B的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．P，A，B不共線時(shí)，面積的最大值為 B．點(diǎn)P的軌跡方程為：
C．存在點(diǎn)P，使得 D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的最小值為4
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．
13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______．
14．已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的面積的最小值為______．
四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分13分）某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．
16．（本題滿分15分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，在數(shù)列中，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．（本題滿分15分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，求的周長．
18．（本題滿分17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，四邊形是梯形，且，點(diǎn)C是的重心，與交于點(diǎn)M．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面；
（3）求平面與平面的夾角的余弦值．
19．（本題滿分17分）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)l垂直于長軸時(shí)，．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
高二年級(jí)數(shù)學(xué)答案
一、單項(xiàng)選擇題：
1．選：D 直線的斜率為，直線的一個(gè)方向向量是，
因?yàn)榕c共線．
2．選：C 由已知，得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的焦距，解得，雙曲線的實(shí)軸長為，解得，則，
即雙曲線C的漸近線方程為．
3．選：C 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即與直線l方程聯(lián)立，得圓心坐標(biāo)為．又圓的半徑，所以，圓C的方程為，即．
4．選：A 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由解得?
所以．
5．選：B 由題意可知，
在，由余弦定理得，
化簡得，則，所以．
6．選：D 直線過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有最小值.
7．選：A 由題意，得的斜率為，而的漸近線為．由于直線l與雙曲線C沒有公共交點(diǎn)，如圖，
所以，即，故，即，所以，故，即．
8．選：B 由正項(xiàng)等比數(shù)列可知成等比數(shù)列，
則，又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為．
二、多項(xiàng)選擇題：
9．選：BD 因?yàn)?，所以若圓與x軸相切，則有故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，兩圓相離，故B正確；
由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，故C錯(cuò)誤；
直線過定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確．
10．選：BCD 因?yàn)椋?，? ①，又因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，所以，整理得 ②，由①②解得，故A錯(cuò)誤，B正確；所以，又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故C正確；令，解得，又，所以n的最大值為20，故D正確．
11．選：AD 當(dāng)P點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)，面積的最大值為，故A正確
由已知條件設(shè)，化簡得到P的軌跡方程，故B錯(cuò)
因?yàn)橐詾橹睆綀A與橢圓沒有交點(diǎn)，因此不存在P，使得，故C錯(cuò)
作，C為垂足，則當(dāng)C，P，O共線時(shí)，取得最小值4，故D正確
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
12．答案： 形如的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此即可得解．
13．答案：，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，所以
14．答案： 解析：可化為，則圓C為以為圓心，1為半徑的圓．如圖，過圓心C向直線作垂線交圓于點(diǎn)P，連接，這時(shí)的面積最小，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離，又，所以的面積的最小值為．
四、解答題：
15．答案： 解：（1）由題中頻率分布直方圖知，月均用水量在中的頻率為，
同理，在中的頻率分別為．
由，解得．
（2）由（1）可知，100位居民中每人月均用水量不低于3噸的頻率為．
根據(jù)樣本中的頻率，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為．
（3）x的值為．理由如下：因?yàn)榍?組的頻率之和為，
前5組的頻率之和為，所以．
由，解得．
所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為噸時(shí)，的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．
16．答案： （1）由已知，所以等比數(shù)列的公比為，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差等差數(shù)列，
所以．
（2）由（1）得：由已知，所以等比數(shù)列的公比為
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式
．
17．答案： （1）由可得，即，
由于，故，解得．
（2）由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
由正弦定理可得，，即，解得，
故的周長為
18．答案： （1）在，所以，所以
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫嫠云矫?br>（2）連接并延長，交于點(diǎn)N，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)G是的重心，所以N是的中點(diǎn)，且，
在梯形中，因?yàn)?，且?br>所以，則，所以，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>（3）取的中點(diǎn)H，連接，
在中，，所以且，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面，
在，所以，
所以，
則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，y軸，
過點(diǎn)D且與平行 直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題知，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，令，則，故，
又為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為θ，所以
25，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
19．答案： （1）當(dāng)l垂直于長軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立直線與橢圓可得，
故由題意得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）假設(shè)橢圓C上是存在點(diǎn)P，設(shè)為，使得四邊形為平行四邊形．
，顯然當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)不合題意，則設(shè)直線l的方程為：，
聯(lián)立與消去x得，判別式，
設(shè)，則，，
則，
則中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得，代入橢圓方程化簡得，解得．
此時(shí)，所以橢圓C上是存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形．

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