一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，則（ ）
A．0B．1C．D．2
2．已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題B．和q都是真命題
C．p和都是真命題D．和都是真命題
3．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．1
5．已知向量分別是直線的一個方向向量，若，則（ ）
A．-3B．-4C．3D．4
6．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，平行六面體的各棱長均為，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知空間中三點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．與是共線向量
C．和夾角的余弦值是1
D．與同向的單位向量是
10．某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽.把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（ ）
A．的值為0.035
B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90
C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89
D．估計成績低于80分的有350人
11．若函數(shù)則（ ）
A．的最小正周期為10B．的圖象關于點對稱
C．在上有最小值D．的圖象關于直線對稱
三、填空題（本大題共3小題）
12．某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數(shù)，已知高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為4:3:3，則應從高三年級抽取 名志愿者．
13．若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為 ．
14．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．則當漏診率時，誤診率 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，正方體中，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
16．設銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，且的面積為，求的周長．
17．記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
18．如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>19．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．
(1)求B點到平面PCD的距離；
(2)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】若，則.
故選C.
2．【正確答案】B
【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選B.
3．【正確答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選C．
【一題多解】因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選C．
4．【正確答案】B
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選B.
5．【正確答案】C
【分析】利用空間向量共線的充要條件計算即得.
【詳解】由，可得，
所以，解得，
所以.
故選C.
6．【正確答案】C
【分析】依據(jù)題目中的垂直關系，可建立空間直角坐標系，求出向量與的坐標，即可求得異面直線與所成角的余弦值．
【詳解】由題意可知，三線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，
∴，
∴，
異面直線與所成角的余弦值為．
故選C．
7．【正確答案】B
【詳解】由已知可得，
，兩邊平方得，
，
所以.
故選：B.
8．【正確答案】B
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
9．【正確答案】AD
【分析】對于A，求出模長即可；對于B，向量共線定理；對于C，向量數(shù)量積求角度；對于D，計算同向的單位向量，再比較即可
【詳解】對于A，，，A正確；
對于B，，，，不共線，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，
其同向的單位向量為，D正確.
故選AD.
10．【正確答案】ABD
【分析】利用頻率分布直方圖頻率之和為1，求解眾數(shù)、百分位數(shù)問題.
【詳解】易知，解得，所以A錯誤；
由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點表示眾數(shù)即85，所以B錯誤；
由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，
前三組頻率之和為.
故第70百分位數(shù)落在區(qū)間，設第70百分位數(shù)為，
則，解得，所以正確；
成績低于80分的頻率為，所以估計成績低于80分的有人.故D錯誤.
故選ABD.
11．【正確答案】AD
【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求A，通過代入求值的方法可判斷BD選項，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C.
【詳解】，A正確.
因為，所以的圖象不關于點對稱，B錯誤.
因為，所以的圖象關于直線對稱，D正確.
若，則，由的圖象可知，
在上有最大值，沒有最小值，C錯誤.
故選AD.
12．【正確答案】15
【分析】根據(jù)分層抽樣的特征可知，抽取人數(shù)等于樣本容量乘以抽樣比，即可求出．
【詳解】高三年級抽取的人數(shù)為．
故15．
13．【正確答案】/
【詳解】設直線的傾斜角為，
因為直線與直線垂直，直線的斜率為，則，
因為，因此，.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
由右邊的頻率分布直方圖可得.
故
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，設，連接，則為中點，
在中，因為為的中點，所以，
又因為平面平面，
所以平面.
（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
設正方體的棱長為2，則，
，
設為平面的一個法向量，由，
得，即，令得
設與平面所成角大小為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為．
16．【正確答案】(1)
(2)6
【詳解】（1），由正弦定理可得，
又，所以，
因為為銳角三角形，故．
（2）的面積為，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，即，所以，
所以的周長為．
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方關系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因為，所以，
從而，
又因為，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.
【詳解】（1）因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，
所以，
設平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
19．【正確答案】（1）；（2）見解析
【分析】（1）取中點為，連接，可以證明平面，，故可建立如圖所示的空間直角系，計算出平面的法向量及后可得點到平面的距離．
設，用表示的坐標，從而平面的法向量也可以用表示，根據(jù)二面角的余弦值為可得到的值從而得到．
【詳解】在中，， 為中點，∴.
又∵側(cè)面底面，平面平面，平面，∴平面.
在中，，，∴.
在直角梯形中，為的中點，，∴.
以為坐標原點， 為軸，為軸， 為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，
(1)∴．
設平面的法向量為，
則即取，得．
則點到平面的距離.
(2)設．∵，∴，
∴，∴，∴ ．
設平面的法向量為，
則即，取，得．
平面的一個法向量為，
∵二面角的余弦值為，
∴.
整理化簡，得.解得或 (舍去)，∴存在，且.
（1）空間中一點到平面的距離可由空間向量來計算，在平面中取一點，則．
與線段上的動點相關的問題，如果用空間向量來解決，則需設，因為此時的坐標是關于的一次式，這樣的形式便于計算．
2024-2025學年云南省曲靖市宣威市高二上學期9月月考數(shù)學
檢測試卷（二）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知復數(shù)z滿足zi=3+2i， 則復數(shù)z(1－i)的虛部為（ ）
A．－5B．－5iC．－3D．－3i
2．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某產(chǎn)品售后服務中心選取了10個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務電話的數(shù)量（單位：次）：則這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．眾數(shù)是30B．分位數(shù)是30.5
C．極差是37D．中位數(shù)是43
4．已知直線：，：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．某校課外活動期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．過定點M的直線與過定點N的直線交于點P，則的最大值為( )
A．4B．3C．2D．1
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9．下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角的取值范圍是
B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
10．某社團開展“建黨100周年主題活動——學黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立，則（ ）
A．兩人均獲得滿分的概率
B．兩人至少一人獲得滿分的概率
C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率
D．兩人至多一人獲得滿分的概率
11．扎馬釘（圖1），是古代軍事戰(zhàn)爭中的一種暗器.如圖2所示，四個釘尖分別記作，連接這四個頂點構(gòu)成的幾何體為正四面體，組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，設，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．為正四面體的中心
C．
D．四面體的外接球表面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為 .
13．將一張坐標紙對折，如果點與點重合，則點與點 重合.
14．學校為了解學生身高(單位：情況，采用分層隨機抽樣的方法從名學生（男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個容量為的樣本.其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，用樣本估計總體，則該學校學生身高的方差為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點．

(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值．
16．為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組.

(1)求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；
(2)估計抽出的100名志愿者年齡的第75百分位數(shù)；
(3)若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機抽樣方法選取2名志愿者擔任主要負責人.求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.
17．已知點，直線和
(1)過點作的垂線，求垂足的坐標；
(2)過點作分別于交于點，若恰為線段的中點，求直線的方程．
18．已知函數(shù)滿足，且在上有最大值.
(1)求，的值；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
19．已知中，角，，的對邊分別是，，，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分線交于點，且，求周長的最小值.
1．A
【分析】由復數(shù)的運算法則求得復數(shù)z(1－i)，然后根據(jù)復數(shù)的定義得結(jié)論．
【詳解】由已知，，其虛部為．
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)空間基底的概念，結(jié)合選項，判斷每組向量是否共面，即可求解.
【詳解】對于A中，由，所以不能作為一組空間基底；
對于B中，假設共面，則存在，使得，
即，可得，此時方程組無解，所以不共面，所以向量可以作為空間的一組基底；
對于C中，由，所以不能作為空間的一組基底；
對于D中，由，所以不能作為空間的一組基底.
故選：B.
3．B
【分析】由眾數(shù)定義可判斷A錯誤，將數(shù)據(jù)從小到大排列后根據(jù)中位數(shù)、極差、百分位數(shù)定義可判斷CD錯誤，B正確.
【詳解】根據(jù)題意可知，每個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是一次，即眾數(shù)不是30，即A錯誤；
將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為；
易知為整數(shù)，所以分位數(shù)是第一個數(shù)與第二個數(shù)的平均值，即為，即B正確；
易知其極差為，即可得C錯誤；
中位數(shù)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，即，可得D錯誤.
故選：B
4．C
【分析】根據(jù)兩直線平行與斜率的關系即可求解.
【詳解】因為，所以，解得，
所以“”是“”的充要條件，
故選：C.
5．A
【分析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.
【詳解】依題意，，
設平面的法向量，則，令，得，
則點到平面的距離為，
所以點到平面的距離為.
故選：A
6．A
【分析】y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，可知當A，P，B三點共線時取得最小值可得答案.
【詳解】，
則y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，
即，則可知當A，P，B三點共線時，取得最小值，
即．
故選：A.
7．C
【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式求解即可
【詳解】設跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，
畫樹狀圖如下，
共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙恰好選擇同一項活動的有3種情況，
故他們選擇同一項活動的概率是，
故選：C．
8．D
【分析】求出直線與直線過的定點，由得到兩直線垂直，從而得到，由勾股定理得到，結(jié)合基本不等式求出最大值.
【詳解】動直線經(jīng)過定點，
動直線，即，
令，解得：，故直線過定點，
因為直線，
所以過定點的直線與定點的直線始終垂直，
又是兩條直線的交點，
，
，
故（當且僅當時取“=”）.
故選：D.
9．ACD
【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項，利用兩直線的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項，利用空間向量的基本定理可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以，故A正確；
對于B選項，因為直線與直線互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；
對于C選項，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，不妨設這兩個非零向量不共線，設這兩個非零向量為，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個基底，假設不成立，故這兩個非零向量共線，故C正確;
對于D選項，因為向量，所以在上的投影向量為，故D正確.
故選：ACD.
10．ACD
【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式逐一求解即得.
【詳解】設“甲獲得滿分”， “乙獲得滿分”，則,
對于A，“兩人均獲得滿分”可表示為,因兩人能否獲得滿分相互獨立，
故, 即A正確；
對于B，因“兩人至少一人獲得滿分”的對立事件為 “兩人都沒獲得滿分”,
則“兩人至少一人獲得滿分”的概率為：，故B錯誤；
對于C，“兩人恰好只有甲獲得滿分”可表示為，其概率為：，故C正確；
對于D，因“兩人至多一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都獲得滿分”，
則“兩人至多一人獲得滿分”為：,故D正確.
故選：ACD .
11．AB
【分析】容易判斷B；將圖形還原成正四面體，取CD中點F， 進而證明平面ABF，然后判斷A；設E為A在平面BCD上的投影，設出正四面體的棱長，進而根據(jù)勾股定理求出棱長，然后判斷C；根據(jù)球的表面積公式可以判斷D.
【詳解】如圖，正四面體ABCD，由題意，，則O為正四面體ABCD的中心，B正確；
設E為A在平面BCD上的投影，易知點E為三角形BCD的中心，連接CF交CD于F，則F為CD的中點，連接AF，則，而，所以平面ABF，所以.A正確；
設該正四面體棱長為，則，因為，，聯(lián)立解得a=263.C錯誤；
易知該四面體外接球半徑為1，則外接球的表面積為.
故選：AB.
12．
【分析】由，借助模長公式得出的長.
【詳解】因為
所以
即
故
13．
【分析】先求線段的中垂線方程，再根據(jù)點關于直線對稱列式求解即可.
【詳解】已知點與點，可知線段的中點為，
且，則線段的中垂線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
所以所求點為.
故答案為.
14．
【分析】根據(jù)題意，求出樣本的平均數(shù)和方差，結(jié)合用樣本估計總體的思路，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，由于男女生人數(shù)之比為，則樣本中男女生人數(shù)之比為，
其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，
則樣本的平均數(shù)，
樣本的方差，
用樣本估計總體，則該學校學生身高的方差為．
故．
15．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）由中位線易證明四邊形是平行四邊形，進而得到，進而得到平面；
（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，通過平面與平面的夾角計算公式計算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關系計算正弦值；
【詳解】（1）如圖所示，連接．

因為，分別是棱，的中點，
所以，
因為，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
則．
因為平面，平面，
所以平面．
（2）因為平面，
平面,
所以，
又因為，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題中數(shù)據(jù)可得，，
，．
設平面的法向量為，
則
令，得．
因為，,
所以平面
平面的一個法向量為．
設平面與平面的夾角為，
則．
故，
即平面與平面的夾角的正弦值為．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直方圖頻率和為1，列方程求，再根據(jù)直方圖求500名志愿者中年齡在的人數(shù)；
（2）由第75百分位數(shù)分直方圖左側(cè)面積為0.75，列方程求第75百分位數(shù).
（3）由分層抽樣的等比例抽取的性質(zhì)求出6名志愿者的分布，再應用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.
【詳解】（1）由直方圖知：，可得，
∴500名志愿者中年齡在的人數(shù)為人.
（2）因為，，
所以第百分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，若該數(shù)為，
∴，解得.
（3）由題設，第2組、第4組和第5組的頻率之比為，知6名志愿者有2名來自，3名來自，1名來自，
不妨設第2組、第4組和第5組抽取的志愿者為，
則抽取兩人的基本事件有，
，共15個，
∴抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由直線的位置關系求方程，再聯(lián)立求解交點坐標，
（2）設出點坐標，由中點表示點坐標，分別代入直線方程聯(lián)立求解．
【詳解】（1），即，
則，直線為，
即，聯(lián)立方程，解得，故．
（2）不妨設，則，則，
解得，故直線過點和點，
故直線方程為，即．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）首先代入，再利用基本不等式求最值，列式求得；
（2）求出的解析式，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進行求解即可.
【詳解】（1），，
，即，
，
在上有最大值.
，即，
由得，；
（2）由（1）得的解析式，
由題意得當，則只有當或時，才恒有意義，
當時，，等價為，
等價為的最大值，
易知的對稱軸為，在上單調(diào)遞增，
即，得，（舍去）；
當時，由得，
即，
設，對稱軸為，
當時，，得，
當時，，得（舍）；
綜上，的取值范圍為.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理得到，消去B后進行弦化切即可得到；
（2）利用面積公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理求出，即可求出周長的最小值.
【詳解】（1）已知中，角，，的對邊分別是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，
解得.
（2）的平分線交于點，且，
利用三角形的面積：
所以，
整理得，
所以，
當且僅當時，等號成立.
所以，解得，
所以周長的最小值為.

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