一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（ ）
A．3B．4C．6D．10
6．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（ ）
A．B．C．D．
7．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的方程為
B．在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3
C．在上存在點(diǎn)，使得
D．上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
8．，函數(shù)的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．對(duì)于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若與互斥，則B．若與互斥，則
C．若與相互獨(dú)立，則D．若與相互獨(dú)立，則
10．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
B．若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面
C．若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角
D．若空間向量，，則在上的投影向量為
11．伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫(huà)了正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（ ）

A．
B．直線與平面所成角的正弦值為
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．點(diǎn)到直線的距離是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若，則 .
13．已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是 .
14．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為 ；直線 過(guò)定點(diǎn).
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線的方程為．
（Ⅰ）直線與垂直，且過(guò)點(diǎn)（1，-3），求直線的方程；
（Ⅱ）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．
16．某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站.由于不同年齡段需看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書(shū)者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：
，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)這40名讀書(shū)者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；
(2)估計(jì)這40名讀書(shū)者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；
(3)從年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者中任選兩名，求這兩名讀書(shū)者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.
17．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB的中點(diǎn)，
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)記（1）中所求軌跡為曲線C，過(guò)定點(diǎn)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，曲線C的中心記為點(diǎn)C，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．
18．如圖，在四棱錐中，平面，，，且．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．
19．圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個(gè)不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓
(1)求圓C與圓M的根軸l；
(2)已知點(diǎn)P為根軸l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；
(3)給出定點(diǎn)，設(shè)N，Q分別為根軸和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).
答案
1．【正確答案】B
【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率，則該直線的傾斜角為.
故選B.
2．【正確答案】B
【詳解】圓：，圓：
兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為.
故選：B
3．【正確答案】B
【詳解】由題意，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，
故根據(jù)橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，
故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B
4．【正確答案】C
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；
當(dāng)與直線平行時(shí)，，則
∴或，
當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，
整理后與重合，故舍去，
∴，滿足必要條件；
∴“”是“直線與直線平行”的充要條件
故選：C
5．【正確答案】C
【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】由橢圓定義可得，
故，
又，
則由余弦定理得，
故，
故.
故選C.
6．【正確答案】C
【詳解】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：
則，A1,0,0，，，
取，，，
設(shè)平面的法向量為，則，可得，
令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，
點(diǎn)到平面的距離.
故選：C.
7．【正確答案】C
【詳解】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，
∵，則，整理得，
故C的方程為，故A正確；
對(duì)B：的圓心，半徑為，
∵點(diǎn)到圓心的距離，
則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，
而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；
對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，
∵，則，整理得，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，
又，則兩圓內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；
對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，
∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；
故選：C.
8．【正確答案】C
【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，
易知，顯然.
當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).
故選：C
9．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：若與互斥，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若與互斥，則，故B正確；
對(duì)于C：若與相互獨(dú)立，則，故C正確；
對(duì)于D：若與相互獨(dú)立，
則，故D錯(cuò)誤.
故選BC.
10．【正確答案】ABD
【詳解】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；
對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；
對(duì)于C：當(dāng)， 反向共線時(shí)， 也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．
故選：ABD．
11．【正確答案】ABD
【詳解】由題可知，,故選項(xiàng)A正確；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

得，,,,，
由題可知，，平面的一個(gè)法向量為，
所以直線與平面所成角的正弦值為，選項(xiàng)B正確；
由題可知,，
所以,
所以異面直線與所成角的余弦值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
易知，,，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
12．【正確答案】2
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>所以，解得.
故
13．【正確答案】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．
【詳解】解：點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，
直線的斜率或，
的斜率為，的斜率為，
直線的斜率或，即，
故．
14．【正確答案】
【詳解】由圓得圓心，半徑，
由題意可得,
在中，，
，
可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，
所以四邊形的面積的最小值為，
可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，
設(shè)，則圓心為，半徑為，
則該圓方程為，
整理可得，
聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即
可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).
故；.
15．【正確答案】（1）；（2）直線的方程為：或
【詳解】
試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點(diǎn) 代入方程解得，從而可得直線的方程；(2)由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得可得直線的方程.
試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：
直線過(guò)點(diǎn)（1，-3），
解得
直線的方程為：．
(2)設(shè)直線的方程為：
令，得；令，得
則，得
直線的方程為：或．
16．【正確答案】(1)30；
(2)眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66；
(3).
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；
（2）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；
（3）計(jì)算抽取的人中，位于的有2人，記為，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有4人，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：，
所以40名讀書(shū)者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：；
（2）由頻率分布直方圖可知，40名讀書(shū)者年齡的眾數(shù)約為55；
年齡在區(qū)間上的頻率為：；
年齡在區(qū)間上的頻率為：，
故第80百分位數(shù)位于60,70之間，設(shè)為，
所以，解得，
所以這40名讀書(shū)者年齡的第80百分位數(shù)約為66；
（3）由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者有人，
分別記為，年齡在區(qū)間上的讀書(shū)者有人，分別記為，
從上述6人中選出2人，則有，共15種情況；
其中恰有1人在的情況有，共8種情況；
所以恰有1人在的概率為.
17．【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，
則，可得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，
即，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）解：過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)1,0的直線與曲線交于兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為，
設(shè)直線，即，
則圓心到直線的距離為，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得或，
所以取得最大值，此時(shí)直線的方程為或.

18．【正確答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；
(2)；
(3)存在，.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫妫?，
所以可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
，
由（1）可知平面，所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，
所以有，
設(shè)平面與平面夾角為，
，
所以平面與平面夾角的余弦值為；
（3）設(shè)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，由（2）可知平面的法向量為，
假設(shè)與平面所成角的正弦值為，
所以有：
，或舍去，
因此假設(shè)成立，所以在棱上存在點(diǎn)G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為，的值為.
19．【正確答案】(1)；
(2)；
(3)的最小值為，此時(shí).
【詳解】（1）由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，
設(shè)點(diǎn)為圓C與圓M的根軸l上的任意一點(diǎn)，
則由題可得，即，
整理得，即圓C與圓M的根軸l為直線.
（2）由題意可知且，，
設(shè)與相交于點(diǎn)H，
則，
又，
所以，所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，
又，所以取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，
而PC取得最小值時(shí)，且該最小值為圓心C到根軸l的距離為，
此時(shí)即，
聯(lián)立，故此時(shí)，
所以此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以線段為直徑的圓的方程為，即，
則是該圓與圓C的公共弦，所以兩圓方程相減即為直線的方程為：即.
（3）設(shè)關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，故，
則由三角形兩邊之和大于第三邊可得，
連接，則此時(shí)與圓M和根軸l相交的點(diǎn)和使得最小為，
且此時(shí)即，
聯(lián)立，即此時(shí)，
所以的最小值為，此時(shí).

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