一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)x，，向量，，，且，，則等于（ ）
A．B．3C．D．4
2．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
3．直線，若，則實(shí)數(shù)的值不可能是（ ）
A．B．0C．1D．
4．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，過其左焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長為16，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
5．F1，F(xiàn)2是的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，則的最大值是
A．4B．5C．2D．1
6．在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，為上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的重心，則到直線的距離為（ ）
A．2B．1C．D．
7．如圖，正方體的棱長為1，動點(diǎn)在線段上，動點(diǎn)在平面上，且平面，則線段長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
二、多選題（本大題共3小題）
9．若橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．m＝2B．橢圓C的長軸長為
C．橢圓C的短軸長為2D．橢圓C的離心率為
10．已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5
B．的最大值為
C．直線與圓相切時，
D．圓心到直線的距離最大為4
11．在棱長為2的正方體中，為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．直線與所成的角不可能是
B．當(dāng)時，點(diǎn)到平面的距離為
C．當(dāng)時，
D．若，則二面角的平面角的正弦值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足．若，，，四點(diǎn)共面，則 ．
13．已知，直線，P為l上的動點(diǎn).過點(diǎn)P作的切線，，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形的面積最小時，直線AB的方程為 .
14．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率等于 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值.
16．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為．
(1)求直線的方程；
(2)求的面積．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：直線PM與直線PN的斜率之積是.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)直線與（1）中軌跡相交于，兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)在（2）的條件下，求弦長.
18．如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，在梯形中，，為的中點(diǎn)，，，，線段交于點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
19．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)的軌跡為記為.
(1)求軌跡的方程.
(2)若為上一點(diǎn)，且點(diǎn)到軸的距離，求內(nèi)切圓的半徑的取值范圍.
(3)若直線與交于，兩點(diǎn)，，分別為的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】由，可得，且，
解得故則，
故選：B
2．【正確答案】D
【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.
【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故D項(xiàng)正確.
故選D.
3．【正確答案】A
【詳解】由于，所以，
，，
解得或或.
當(dāng)時，，
即，兩直線平行，符合題意.
當(dāng)時，，
即，兩直線平行，符合題意.
當(dāng)時，，
即，兩直線平行，符合題意.
所以的值不可能是.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，可得，
所以，即，可得，
則點(diǎn)，右焦點(diǎn)，所以，
由題意可得直線的斜率，
所以，即，
由題意設(shè)直線的方程為，
直線的方程為，
設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，
聯(lián)立，可得，，
則，可得為的中點(diǎn)，所以直線為線段的中垂線，
即，，
的周長為，可得，
所以，，
所以橢圓的方程為.
故選：C．
5．【正確答案】D
【詳解】設(shè)，，
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，
，
，
，因?yàn)椋?br>所以，由，
所以
故選：D．
6．【正確答案】C
【詳解】
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
得，，
取，，則，，
所以點(diǎn)到直線的距離為．
故選：C.
7．【正確答案】D
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，則，
則，，
因?yàn)槠矫?，則，解得，
故，則，
而函數(shù)在取到最小值，在時，取最大值2，
故，
故選：D
8．【正確答案】D
【詳解】由題意，的最大時，最大，最小即可，
設(shè)圓，可得圓心，半徑，
設(shè)圓，可得圓心，半徑，
則的最大值為，的最小值為，

所以 ，
因?yàn)樵谥本€上，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
直線與交點(diǎn)為，所以，
共線時等號成立，
所以的最大值為.
故選：D.
9．【正確答案】ACD
【詳解】對于A項(xiàng)，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，由已知可得，
解得m＝2或m＝－1（舍去），故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，C項(xiàng)，把的值代入橢圓方程即得.則，
即橢圓C的長軸長為，短軸長為，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，即a＝，b＝，則， 則離心率為,故D項(xiàng)正確.
故選:ACD.
10．【正確答案】BC
【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.
，Px0,y0是圓上的點(diǎn)，
所以的最大值為，A選項(xiàng)錯誤.
如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，
此時，且，B選項(xiàng)正確.
直線，即，過定點(diǎn)，
若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，
即，解得，所以C選項(xiàng)正確.
圓心到直線的距離，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以D選項(xiàng)錯誤.
故選：BC
11．【正確答案】ABC
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
，
對于A，，，
設(shè)，
故，，
設(shè)直線與所成的角為，
則，
若直線與所成的角是，則，
整理得到：，即，解得，
故直線與所成的角不可能是，故A正確；
對于B，當(dāng)時，結(jié)合A中分析可得，故，
故，而，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，得，
又，故到平面的距離為，故B正確；
對于C，當(dāng)時，又B的分析可得，故，
故，故C正確；
對于D，當(dāng)時，結(jié)合B的分析可得，此時，
故，而，設(shè)此時平面的法向量為，
則，即，取，得，
又，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，得，
故，
故二面角的平面角的正弦值為，故D錯誤.
故選：ABC.

12．【正確答案】3
【詳解】由題意知，，
根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可得，解得．
故
13．【正確答案】
【詳解】，則的圓心為，半徑，
由，分別為的切線，則與全等，
故四邊形的面積，
又，
又，故，
故，此時點(diǎn)于點(diǎn)，設(shè)，
有，解得，即，
由，故、、、四點(diǎn)共圓且為該圓直徑，
則該圓圓心為，半徑為，即該圓方程為，
即，又，
兩圓作差得：，即，
故直線AB的方程為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】如圖所示，
由已知條件和橢圓的定義可得，可得，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以，
即，即，解得.
【方法總結(jié)】求解橢圓或雙曲線的離心率的方法有：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得，的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于，的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，且直線的斜率，
則線段的垂直平分線所在直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得，
即圓心，，
所以，圓的方程為.
（2）因?yàn)橹本€被曲線截得弦長為，
則圓心到直線的距離，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.
16．【正確答案】(1)
(2)24
【詳解】（1）由于邊上的高所在直線方程為，
所以設(shè)直線的方程為，
由于點(diǎn)在直線上，即，解得，
所以直線的方程為.
（2）由于點(diǎn)既滿足直線的方程，又滿足的方程，
所以，解得，故，
所以，
設(shè)，由于點(diǎn)滿足直線，故，
設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，
所以，整理得，
所以，解得，所以，
則點(diǎn)到直線的距離，
故.
17．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，化簡，
又因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，則.
故動點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由題意，顯然，
則有，，兩式作差可得，
即有，
又為線段AB的中點(diǎn)，
則有，，代A即得直線的斜率為，
直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時該直線與橢圓有兩交點(diǎn)，
整理可得直線的方程為.
（3），
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，，
故.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?br>所以為的中點(diǎn)，連接，
在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）因?yàn)?，，?br>所以，，
又且，
平面，又，
如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，解得，令，得，
所以平面的一個法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，，
則平面的一個法向量為，
則，于是.
故二面角的正弦值為.
（3）存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為.
設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由，，
則，,
設(shè)，
則,
因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為，
所以
，
解得，由，知，且
即點(diǎn)與重合，故在線段上存在一點(diǎn)，
則.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)是定值，
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以是以為焦點(diǎn)，且長軸長為6的橢圓.
設(shè)的方程為，則，可得，又，
所以，所以曲線的方程為.
（2）的周長，
的面積，
所以內(nèi)切圓的半徑，
故內(nèi)切圓的半徑的取值范圍為.
（3）
方法一：聯(lián)立，得，
設(shè)，，易知，且，.
則，，
所以.
由，，得，
所以.
所以為定值，且定值為.
方法二：聯(lián)立，得，
設(shè)，，易知，且，.
則，，因?yàn)椋?br>.
所以，故為定值，且定值為.

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