一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A．1B．C．iD．
2．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為10，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3．已知事件A，B互斥，，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面四邊形的直觀圖如圖所示，邊平行于y軸，平行于x軸，若四邊形為等腰梯形，且，則原四邊形的周長(zhǎng)為（ ）．
A．B．C．D．
5．已知離心率為3的雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（ ）
A．13B．21C．29D．31
6．和直線(xiàn)3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程為
A．3x+4y-5=0B．3x+4y+5="0"C．3x+4y-5=0D．3x+4y-5=0
7．已知點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡的距離的最小值為（ ）
A．1B．3C．5D．
8．如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線(xiàn)稱(chēng)為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．中國(guó)有很多諺語(yǔ)，如“人多計(jì)謀廣，柴多火焰高”、“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”，“一個(gè)籬笆三個(gè)樁，一個(gè)好漢三個(gè)幫”等等．都能體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)協(xié)作、集體智慧的強(qiáng)大．假設(shè)某人能力較強(qiáng)，他獨(dú)自一人解決某個(gè)項(xiàng)目的概率為．同時(shí)，有由個(gè)水平相當(dāng)?shù)娜私M成的團(tuán)隊(duì)也在研究該項(xiàng)目，團(tuán)隊(duì)成員各自獨(dú)立解決該項(xiàng)目的概率都是．如果這個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)解決該項(xiàng)目的概率為，且，則的取值可能是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．B．C．D．
10．設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的離心率可以為（ ）
A．B．C．D．
11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)距離的比是常數(shù)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為曲線(xiàn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線(xiàn)的方程
B．
C．為曲線(xiàn)上不同于的一點(diǎn)，且直線(xiàn)斜率分別為，則
D．為坐標(biāo)原點(diǎn)，的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．弧長(zhǎng)為的扇形的圓心角為，則此扇形的面積為 ．
13．設(shè)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為 .
14．若為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，則滿(mǎn)足為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是直線(xiàn)，滿(mǎn)足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.將此性質(zhì)類(lèi)比到空間中，解決下列問(wèn)題.已知點(diǎn)為空間中四個(gè)定點(diǎn)，，且兩兩的夾角都是，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨(dú)立的.
(1)求比賽只需打三局的概率；
(2)已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.
16．已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線(xiàn)l，求出l的方程；
(2)設(shè)A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形APQ的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程．
17．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中為中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
18．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，現(xiàn)有函數(shù)和函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若對(duì)于，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19．已知橢圓：（）的焦距為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)對(duì)于，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)分別交橢圓于點(diǎn)，且？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】，虛部為，
故選：B．
2．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)闄E圓：，所以.
又根據(jù)橢圓的定義可知：得周長(zhǎng)為：，由.
所以橢圓的離心率為.
故選：C
3．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)槭录嗀，B互斥，所以，
又，所以，故，
故選：D
4．【正確答案】D
【詳解】記四邊形所對(duì)應(yīng)的原四邊形為四邊形，
由題意可得，原四邊形中，、都與軸平行，即四邊形是直角梯形，
因?yàn)?，四邊形為等腰梯形?br>所以，
所以，，，
因此，
所以原四邊形的周長(zhǎng)為.
故選：D
5．【正確答案】C
【詳解】由題意解得，所以．
故選：C．
6．【正確答案】B
【詳解】直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)且斜率為，所以其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為，即，故選B
7．【正確答案】A
【詳解】過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，
圓的圓心，半徑，
所以圓心到直線(xiàn)的距離，
所以所求的距離的最小值為.
故選：A
8．【正確答案】D
【詳解】
（解法1）設(shè)，
因?yàn)?，所?
，所以.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，即，解?
（解法2）設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)?，所?
因?yàn)榇嬖?，所以在上有解.
因?yàn)?，且?br>所以在上有解，
即在上有解.
因?yàn)椋?，即解?
9．【正確答案】BCD
【詳解】依題意，，
由可得，即，
兩邊取對(duì)數(shù)，可得.
故選：BCD.
10．【正確答案】AC
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，所以，故離心率.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，所以，故離心率.
故選：AC
11．【正確答案】ABD
【詳解】設(shè)Px,y，則，
即，化簡(jiǎn)得，故A對(duì)；
由題意可知，曲線(xiàn)C為橢圓，且，
設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為，如圖，
由O為和中點(diǎn)可知四邊形為平行四邊形，
所以，所以故B對(duì)；
設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)闉榍€(xiàn)上不同于的一點(diǎn)，則，，
可得，，
又直線(xiàn)斜率分別為
所以，故C錯(cuò)；
由定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)F與它到定直線(xiàn)l距離d滿(mǎn)足，
所以，其中d為點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，
即求橢圓上一點(diǎn)P到O與到直線(xiàn)距離和的最大值，
顯然當(dāng)P在橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，和d同時(shí)取得最大值，
所以，故D對(duì)；
故選：ABD
12．【正確答案】
【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)求半徑，由扇形面積公式求面積.
【詳解】由題設(shè)，扇形半徑，故扇形面積為.
故
13．【正確答案】
【詳解】由得，.
即.而，
所以.故.
故答案為.
14．【正確答案】/
【詳解】如圖，由題，當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，則，即，此時(shí)的點(diǎn)記作點(diǎn)，則，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)的終點(diǎn)且垂直的平面，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以線(xiàn)段為直徑的球，
的最小值就是球心到平面的距離減去球的半徑.
.
，
.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，
則，
，
比賽只需打三局的概率為：
.
（2）甲需要打三局的概率為：，
甲需要打四局的概率為：，
甲需要打五局的概率為：，
則甲最終獲勝的概率為.
16．【正確答案】(1)或；
(2)．
【詳解】（1）由C：，
則圓心，半徑，
當(dāng)切線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，符合題意；
當(dāng)切線(xiàn)l的斜率存在時(shí),則設(shè)切線(xiàn)l的方程為，即，
所以，解得，
此時(shí)切線(xiàn)l的方程為，即.
綜上所述，切線(xiàn)l的方程為或.
（2）設(shè)，，
因?yàn)椋?，G為三角形APQ的重心，
所以，即，
由A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，得，
則，整理得，
即動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為．
17．【正確答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋琌為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)閭?cè)面底面，平面底面，
，平面，所以平面；
（2）因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?br>又，
所以四邊形是正方形，
，又平面，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為x軸，OD所在直線(xiàn)為y軸，OP所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面PAB的法向量為，
則，令，則，
所以，
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，
則，
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，
18．【正確答案】(1)最小值為，最大值為3
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且，，，
所以函數(shù)的最小值為，最大值為3.
（2）由題意，關(guān)于x的不等式的解集為，
即不等式對(duì)于恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式為，即不恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
（3）由題意，對(duì)于，，使得成立，
則.
對(duì)于函數(shù)，，由（1）知，.
對(duì)于函數(shù)，，
若，，則，而，不符合題意.
若，當(dāng)，即，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，
則，即，不符合題意；
若，當(dāng)，即時(shí)，，
則，即，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，
則，即，所以此種情況不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為
，所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)，設(shè)中點(diǎn)為，
聯(lián)立，消去整理得，，
所以，即，
所以或，
又由韋達(dá)定理可得，，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>由或，可知，直線(xiàn)的斜率均存在，且都不等于零，
所以，即，
整理得，解得，
又因?yàn)榛?，所以滿(mǎn)足題意，
所以存在.

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