1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．在正方體中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直線與.若，則（ ）
A．B．1C．D．2
4．若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，.若，，共面，則（ ）
A．11B．C．9D．3
6．圓與圓的公共弦長為（ ）
A．6B．8C．9D．10
7．如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知圓的半徑為2，則下列命題是真命題的是（ ）
A．
B．點(diǎn)在圓的外部
C．若直線平分圓的周長，則
D．圓與圓外切
10．已知點(diǎn)，，在直線上，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．3
11．若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，， 分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（ ）

A．若，則
B．存在點(diǎn)H，使得平面
C．線段長度的最小值是
D．存在點(diǎn)H，使得
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為 ．
13．已知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .；若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為 .
14．已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知點(diǎn)，.
(1)求直線MN的一般式方程；
(2)求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)求（2）中的圓在點(diǎn)處的切線方程.
16．在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．已知圓（為常數(shù)）．
(1)當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長．
(2)證明：圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．
(3)設(shè)圓經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點(diǎn).
(1)證明：平面PAB.
(2)證明.
(3)試問在線段PE上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值2，則點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，記為.
(1)求的方程；
(2)若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，不在軸上的點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線HE，HF與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
答案
1．【正確答案】C
【詳解】直線的斜率為，傾斜角為.
故選：C
2．【正確答案】B
【詳解】.
故選：B
3．【正確答案】B
【詳解】由于，所以，
此時(shí)兩直線方程分別為，
不重合，符合題意，所以.
故選：B
4．【正確答案】D
【詳解】若方程表示一個(gè)圓，則，
方程可化為，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故選：D
5．【正確答案】A
【詳解】依題意，，，共面，
所以存在，使得，
即，
所以，解得.
故選：A
6．【正確答案】B
【詳解】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
，
，所以兩圓相交，
由兩式相減并化簡得，
到直線的距離為，
所以公共弦長為.
故選：B
7．【正確答案】A
【詳解】設(shè)棱長為，
以為基底，則，
，
，
所以異面直線AC與所成角的余弦值為.
故選：A
8．【正確答案】B
【詳解】設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以?br>即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.
點(diǎn)在直線上，
所以直線與圓有公共點(diǎn)，
則，解得
故選:B.
9．【正確答案】ABD
【詳解】圓的半徑為2，所以，A選項(xiàng)正確.
所以圓的方程為，圓心為，半徑為，
，所以點(diǎn)在圓的外部，B選項(xiàng)正確.
直線平分圓的周長，則直線過圓心，
即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
圓的圓心為，半徑為，
與的距離為，
所以圓與圓外切，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
10．【正確答案】BC
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
即關(guān)于的對稱點(diǎn)為，且，
所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，
故BC選項(xiàng)符合題意，
故選：BC
11．【正確答案】ABC
【詳解】對于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，
若，則，解得，A正確；
對于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，
過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，
則，即，解得，符合題意，
所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，
對于C：，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.
對于D：若，則，
得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
12．【正確答案】
【詳解】依題意設(shè)直線的一般式方程為：，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，
所以直線的一般式方程為：．
故．
13．【正確答案】
【詳解】①將直線變形為，
所以當(dāng)時(shí)，無論取何值，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，
②曲線是化簡變形后可得，
其表示以2,0為圓心，為半徑的圓在軸上半部分(包含交點(diǎn))如圖所示，

若要直線，與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
則其在與之間，所以可得直線的斜率為，則，
故的取值范圍為，
故
14．【正確答案】
【詳解】如下圖所示：
正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，
連接并延長交底面于點(diǎn)，
則為正的中心，且平面，
連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，
，，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
可得，
的面積為，
正四面體的體積為，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，
則，
即，解得，
可得，
因?yàn)?，?br>可得，
當(dāng)點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，
所以.
故
15．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）直線MN的斜率為，
則直線MN的方程為，即.
（2）由題意可知圓心C為線段MN的中點(diǎn)，即，
半徑，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，
故所求的切線方程為，即.
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，，
因?yàn)?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，進(jìn)而.因?yàn)?，所?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O0,0,0，，，，，
所以，.
因?yàn)?，所以，則，，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為.
易得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)二面角的大小為，則，
由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，圓，
此時(shí)，圓的圓心為，半徑．
則圓心到直線的距離，
所以直線被圓截得的弦長
為；
（2）由，得，
令，因?yàn)闉槌?shù)
所以得，由
解得或，
所以圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）（方法一）設(shè)的中點(diǎn)為，
不妨設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
因?yàn)?，所以?br>所以，
解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（方法二）不妨設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在；答案見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面PAB.
（2）
作交于，
因?yàn)?，所以，又，所以?br>又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>又E為AD的中點(diǎn)，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，
所以平面，
平面，所以.
（3）設(shè)存在，
作交與，
由（2）可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
設(shè)直線CM與平面PBC所成角的為，
則，
解得，所以在線段PE上存在點(diǎn)，此時(shí).
19．【正確答案】(1).
(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)，得，
即，所以的方程為.
（2）根據(jù)圓的對稱性，不妨設(shè).
設(shè)，則，
所以直線HE的方程為，直線HF的方程為.
設(shè).
聯(lián)立方程得，
所以，即，則，所以.
聯(lián)立方程得，
所以，即，則，所以.
當(dāng)時(shí)，，
所以直線MN的方程為，化簡得，
所以直線MN過定點(diǎn);
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線MN過定點(diǎn).
綜上，直線MN過定點(diǎn).

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