1．已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)為：﹣1，4，﹣7，10，…，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可能為（ ）
A．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2）B．a(chǎn)n＝（﹣1）n﹣1（3n+1）
C．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n﹣2）D．a(chǎn)n＝（﹣1）n（3n+1）
【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列前4項(xiàng)的規(guī)律，用n表示即可得答案．
解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)為：﹣1，4，﹣7，10，…，
即（﹣1）1（3×1﹣2），（﹣1）2（3×2﹣2），（﹣1）3（3×3﹣2），（﹣1）4（3×4﹣2），
故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（﹣1）n（3×n﹣2）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝1，a7＝4，則a5＝（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．
解：∵等比數(shù)列{an}中，a3＝1，a7＝4，
所以＝a3?a7＝4，解得a5＝±2．
又a5＝a3?q2，可得a5與a3同號(hào)，
故a5＝2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（ ）
A．2B．4C．D．6
【分析】利用雙曲線方程求出a，b，然后求出c 即可得到結(jié)果．
解：雙曲線的方程為：，
可得a＝，b＝2，所以c＝＝3，
所以雙曲線的焦距長為：2c＝6．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，屬基礎(chǔ)題．
4．已知橢圓經(jīng)過（﹣2，0）和兩點(diǎn)，則C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)已知條件求得a，b，c以及橢圓方程，進(jìn)而求解結(jié)論．
解：∵橢圓經(jīng)過（﹣2，0）和兩點(diǎn)，
∴a＝2，b＝，
∴c＝＝1，橢圓方程為：+＝1．
∴C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為：a﹣c＝1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．拋物線具有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知從拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)，則經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后的反射光線所在直線方程為（ ）
A．y＝﹣1B．y＝2C．y＝3D．y＝4
【分析】求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解從拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)的直線方程，然后求解直線與拋物線的交點(diǎn)，即可得到反射光線所在直線方程．
解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），從拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)的直線方程：y＝（x﹣1）＝，
聯(lián)立，可得y2﹣3y﹣4＝0，可得y＝4或y﹣1，
結(jié)合已知條件可知反射光線所在直線方程為：y＝4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
6．三角形數(shù)由古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點(diǎn)等距排列表示的數(shù)，其前五個(gè)數(shù)如圖所示．記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可．
解：由題意可得，
則，
則＝，
又，
則3n＞19，
則，
則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為7．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了裂項(xiàng)求和法，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題．
7．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，，若a6＝2，則a1的所有可能取值組成的集合為（ ）
A．{1，2，4，8}B．{1，8，10，64}C．{2，4，5，32}D．{2，8，32，64}
【分析】采用“倒推”的方式，推導(dǎo)過程中注意分類討論思想的應(yīng)用．
解：∵a6＝2，∴若a5為奇數(shù)，則3a5+1＝2，則a5＝舍；
若a5為偶數(shù)，則＝2，a5＝4．
當(dāng)a5＝4時(shí)，若a4為奇數(shù)，則3a4+1＝4，則a4＝1；若a4為偶數(shù)，則＝4，a4＝8．
當(dāng)a4＝1時(shí)，
若a3為奇數(shù)，則3a3+1＝1，無解；若a3為偶數(shù)，則＝1，則a3＝2．
若a2為奇數(shù)，則3a2+1＝2，無解；若a2為偶數(shù)，則＝2，則a2＝4．
若a1為奇數(shù)，則3a1+1＝4，則a1＝1；若a1為偶數(shù)，則＝4，則a1＝8．
當(dāng)a4＝8時(shí)，
若a3為奇數(shù)，則3a3+1＝8，無解；若a3為偶數(shù)，則＝8，則a3＝16．
若a2為奇數(shù)，則3a2+1＝16，則a2＝5；若a2為偶數(shù)，則＝16，則a2＝32．
當(dāng)a2＝5時(shí)，
若a1為奇數(shù)，則3a1+1＝5，無解；若a1為偶數(shù)，則＝5，則a1＝10．
當(dāng)a2＝32時(shí)，
若a1為奇數(shù)，則3a1+1＝32，無解；若a1為偶數(shù)，則＝32，則a1＝64．
綜上，a1所有可能的取值的集合M＝{1，8，10，64}．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的歸納推理、數(shù)列的遞推公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
8．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線l與C交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在第一象限），線段AB的垂直平分線過點(diǎn)F2，點(diǎn)F2到直線l的距離為2a，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得|AB|＝4a，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．
解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，c＞0，
|BF2|＝|AF2|，根據(jù)題意得到|BF1|﹣|BF2|＝2a，
又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|AF1|＝2a，
故|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，
在ACF2中，|CF2|＝2a，|AC|＝2a，
故|AF2|＝＝4a，
則|AF1|＝2a，|CF1|＝4a，
根據(jù)|CF1|2+|CF2|2＝|F1F2|2，
可知（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
故28a2＝4c2，可得e＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a2＝S8，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．a(chǎn)6＞0B．S10＝0C．S4＝S6D．S5最小
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得a3+a8＝a4+a7＝a5+a6＝0，由此分析選項(xiàng)可得答案．
解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，若a1+a2＝S8，即S2＝S8，則有a3+a4+a5+a6+a7+a8＝0，
變形可得a3+a8＝a4+a7＝a5+a6＝0，
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，a5+a6＝0，但不確定a1的符號(hào)，不能確定是a5＞0還是a6＞0，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，S10＝＝＝0，B正確；
對(duì)于C，S6﹣S4＝a5+a6＝0，C正確；
對(duì)于D，不確定a1的符號(hào)，故不能確定S5最小還是S5最大，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．已知曲線Γ：＝1（m∈R），則（ ）
A．?？赡苁堑容S雙曲線
B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則﹣1＜m＜1
C．Γ可能是半徑為的圓
D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m＜﹣3
【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一判斷選項(xiàng)即可．
解：對(duì)于A，若Γ是等軸雙曲線，則1﹣m+3+m＝0，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
則3+m＞1﹣m＞0，解得﹣1＜m＜1，故B正確；
對(duì)于C，Γ是圓，則3+m＝1﹣m＞0，解得m＝﹣1，故C正確；
對(duì)于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，
解得m＜﹣3，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的方程，屬基礎(chǔ)題．
（多選）11．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上），△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1切于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q（1，1）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．|PF1|+|PQ|的最大值為5
B．△PF1F2的內(nèi)切圓面積最大值為π
C．|PM|為定值1
D．若Q為AB中點(diǎn)，則l的方程為3x+4y﹣7＝0
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，△PF1F2的等面積算法，點(diǎn)差法，即可分別求解．
解：根據(jù)題意可得a＝2，b＝，c＝1，F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），Q（1，1），
對(duì)A選項(xiàng)，∵|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+|QF2|＝4+1＝5，
當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)2，Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
∴|PF1|+|PQ|的最大值為5，∴A選項(xiàng)正確；
對(duì)B選項(xiàng)，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，
則根據(jù)△PF1F2的等面積算法可得：
，
∴≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
∴△PF1F2的內(nèi)切圓面積最大值為＝，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)，根據(jù)△PF1F2的內(nèi)切圓的性質(zhì)易得：
|PF1|+|PF2|﹣|F1F2|＝2|PM|，
∴2a﹣2c＝2|PM|，∴|PM|＝a﹣c＝1，∴C選項(xiàng)正確；
對(duì)D選項(xiàng)，若Q（1，1）為AB中點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，兩式相減可得：
，
∴，
∴，∴，
∴l(xiāng)的方程為y﹣1＝（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0，∴D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬中檔題．
（多選）12．若正整數(shù)數(shù)列：a1，a2，…，an（n≥3）滿足：若對(duì)任意的正整數(shù)k（2≤k≤n﹣1），都有ak+1+ak﹣1＞2ak，則稱該數(shù)列為“數(shù)列”．下列關(guān)于“數(shù)列”的說法中正確的有（ ）
A．若數(shù)列8，x，4，y，8為“數(shù)列”，則有序數(shù)組（x，y）有3個(gè)
B．若數(shù)列1，m，n，8為“數(shù)列”，則m+n的最大值為6
C．若數(shù)列a1，a2，?，an（n≥3）為“數(shù)列”，則使an＝100的n的最大值為16
D．若數(shù)列a1，a2，?，an（n≥3）為“數(shù)列”，且a1＝6，則滿足a1+a2+?+an＜100的n的最大值為10
【分析】根據(jù)“數(shù)列”的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可．
解：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列8，x，4，y，8為“數(shù)列”，
所以，所以．或，或，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)閿?shù)列1，m，n，8為“數(shù)列”，
所以，
2m＜1+n＜1+，解得m＜，m∈N*，
當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2，3，4，
當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3，4，
所以m+n的最大值為6，故B正確；
對(duì)于C，數(shù)列a1，a2，?，an（n≥3）為“數(shù)列”，
因?yàn)閍k+1+ak﹣1＞2ak，所以ak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1，
所以{an﹣an﹣1}是遞增數(shù)列，所以a2最小是1，an﹣an﹣1的最小值為n﹣3，
該數(shù)列可以是：a1，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56，67，79，82，100，
此時(shí)n＝17，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，數(shù)列a1，a2，?，an（n≥3）為“數(shù)列”，且a1＝6，
所以該數(shù)列每一項(xiàng)的最小取值為：6，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，
a1+a2+?+an＝6+1+1+2+4+7+11+16+22+29＝89＜100，此時(shí)n＝10，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬難題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝3，＝a4，則S4的值為 120 ．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由＝a4，求出q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．
解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
若＝a4，則有（a1q）2＝a1q3，即9q2＝3q3，解可得q＝3或0（舍），
則S4＝＝120，
故120．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)F1關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，且|MF1|＝2|MF2|，則C的漸近線方程為 y＝±2x．
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知|MF1|＝2b，|OA|＝a，由條件得|MF2|＝b，根據(jù)三角形中位線，可得b＝2a，即可求出漸近線方程．
解：設(shè)MF1與漸近線的交點(diǎn)為A，
因?yàn)镕1關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，
所以|MF1|＝2b，|OA|＝a，
因?yàn)閨MF1|＝2|MF2|，所以|MF2|＝b＝2a，
所以＝2，
所以C的漸近線方程為y＝±2x．
故y＝±2x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬中檔題．
15．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的值為 ．
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及余弦定理即可求解結(jié)論．
解：橢圓C：＝1，可得a＝2，b＝，故c＝＝3，
∵F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，
∴|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs60°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cs60°，
∴62＝48﹣3|PF1||PF2|，可得|PF1||PF2|＝4．
2＝（）2＝（2+2+2?）2＝[（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|+|PF1||PF2|cs60°]2＝11．
故|OP|＝．
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查余弦定理以及向量知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．已知數(shù)列{an}滿足：a1：a2：a3＝2：3：5；a4＝9；?n≥2，αan﹣βan﹣1＝﹣1，其中α，β∈R．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ 1+2n﹣1，令，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣．（本小題第一空2分，第二空3分．）
【分析】由n＝2，n＝3，n＝4，解方程可得an＝2an﹣1﹣1，由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，求得an；再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．
解：設(shè)a1＝2t，a2＝3t，a5＝5t（t≠0），又a4＝9，
由?n≥2，αan﹣βan﹣1＝﹣1，可得3tα﹣2tβ＝5tα﹣3tβ＝9α﹣5tβ＝﹣1，
解得t＝1，α＝1，β＝2，則an＝2an﹣1﹣1，即有an﹣1＝2（an﹣1﹣1），
可得an﹣1＝（a1﹣1）?2n﹣1＝2n﹣1，即有an＝1+2n﹣1；
＝＝﹣，
則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣+﹣+﹣＝﹣．
故1+2n﹣1；﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，2Sn＝（n+1）an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝|an﹣9|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（1）利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合累乘法求解；
（2）分n≤9，n＞9兩種情況，利用等差數(shù)列的求和公式求解．
解：（1）由2Sn＝（n+1）an，
得2Sn﹣1＝nan﹣1（n≥2），
兩式相減得2an＝（n+1）an﹣nan﹣1．
即，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝，
經(jīng)檢驗(yàn)a1＝1也適合上式，
故．
（2）由題意bn＝|n﹣9|，數(shù)列{n﹣9}的前n項(xiàng)和，
所以，當(dāng)n≤9時(shí)，，
當(dāng)n＞9時(shí)，，
綜上，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題．
18．（12分）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y＝x+m與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．
【分析】（1）由雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為，得，，由此能求出雙曲線方程．
（2）聯(lián)立方程組，得x2+4mx+2m2+2＝0，利用韋達(dá)定理、弦長公式、根的判別式能求出結(jié)果．
解：（1）雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為，
設(shè)雙曲線的方程，
由已知得，，
所以，b＝1．
所以雙曲線方程為．
（2）直線y＝x+m與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，
聯(lián)立方程組，得x2+4mx+2m2+2＝0，x1+x1＝﹣4m，．
所以＝＝
令，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)Δ＞0符合題意，所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線、橢圓、焦點(diǎn)、漸近線、弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（12分）已知點(diǎn)F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：Q，O，M三點(diǎn)共線；
（2）若，求直線l的方程．
【分析】（1）設(shè)直線l的方程為x＝my+1，利用已知條件證明kOM＝kON即可；
（2）利用（1）及，求出m的值即可．
（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
設(shè)直線l的方程為x＝my+1，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯(lián)立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，則Δ＝16m2+16＞0
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
因?yàn)镸（﹣1，y1），所以，
又，，，
所以，即kOM＝kON，
所以O(shè)，Q，M三點(diǎn)共線；
（2）解：因?yàn)椋詙1＝﹣3y2，
于是，即，
所以，
所以直線l的方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)和直線與拋物線的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．
20．（12分）網(wǎng)上創(chuàng)業(yè)成為越來越多大學(xué)生的就業(yè)選擇．李紅大學(xué)畢業(yè)后在網(wǎng)上經(jīng)營了一家化妝品店，計(jì)劃銷售A，B兩種品牌化妝品．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，銷售A品牌化妝品第一年的利潤為3.8萬元，預(yù)計(jì)以后每年利潤比上一年增加0.5萬元；銷售B品牌化妝品第一年的利潤為4萬元，預(yù)計(jì)以后每年利潤的增長率為8%．設(shè)an，bn分別為銷售A，B兩種品牌的化妝品第n年的利潤（單位：萬元）．
（1）試比較銷售A，B兩種品牌化妝品前10年總利潤的大??；
（2）問：第幾年銷售A品牌化妝品較銷售B品牌化妝品在同一年的利潤差cn＝an﹣bn最大？
參考數(shù)據(jù)：1.085≈1.469，1.086≈1.587，1.087≈1.714，1.0810≈2.159，1.0811≈2.332．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解；
（2）先求出cn，再結(jié)合作差法，即可求解．
解：（1）A品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為3.8、公差為0.5的等差數(shù)列．
B品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為4、公比為1.08的等比數(shù)列．
設(shè)銷售A、B品牌化妝品前n年總利潤分別為Sn，Tn，
則（萬元），
（萬元），故S10＞T10，
所以A品牌化妝品的前10年總利潤更大．
（2）an＝0.5n+3.3，，
所以，
則，，
由參考數(shù)據(jù)1.085≈1.469，1.086≈1.587，1.087≈1.714，
令cn≥cn﹣1，得到1.08n﹣2≤1.5625．
令cn≥cn+1，得到1.08n﹣1≥1.5625，
知n﹣1＞5，n﹣2＜6，所以n＝7．
故第7年時(shí)兩種化妝品在同一年的利潤差額cn＝an﹣bn最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
21．（12分）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，a1＝﹣2，b1＝1，且4Sn+1＝3Sn﹣8，．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式，并證明：是等差數(shù)列；
（2）若不等式對(duì)任意的n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【分析】（1）利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解；
（2）利用錯(cuò)位相減法得，，由得，，求出的最小值即可．
解：（1）∵4Sn+1＝3Sn﹣8，4Sn＝3Sn﹣1﹣8，
∴兩式相減得，4an+1＝3an?．
又4S2＝3S1﹣8?4（a1+a2）＝3a1﹣8，且a1＝﹣2，
則，．
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，．
又，b1＝1，
∴?，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得，?，
∴，
，
兩式相減得，，
∴．
又，
∴，
又，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)等號(hào)成立，
∴λ≤3．
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（﹣∞，3]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式，等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．
22．（12分）已知點(diǎn)P在圓x2+y2＝4上，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，Q為線段PD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）設(shè)A（0，1），B（0，﹣1），過點(diǎn)T（0，2）作直線與Γ交于不同的兩點(diǎn)M，N（異于A，B），直線BM，AN的交點(diǎn)為G．
（i）證明：點(diǎn)G在一條平行于x軸的直線上；
（ii）設(shè)直線AM，BN交點(diǎn)為H，試問：△GAB與△HAB的面積之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【分析】（1）設(shè)Q（x，y），利用中點(diǎn)可得P（x，2y）．進(jìn)而可求Γ的方程；
（2）（i）設(shè)過點(diǎn)T（0，2）的直線方程為y＝kx+2，聯(lián)立方程可得，進(jìn)而求得直線BM，AN的方程可得，計(jì)算可得定直線方程；
（ii）求得點(diǎn)G，H的坐標(biāo)，可得S△GAB，S△HAB的表達(dá)式，計(jì)算可得結(jié)論．
解：（1）設(shè)Q（x，y）所求軌跡上的任意意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P為PD的中點(diǎn)，所以P（x，2y）．
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2＝4上，所以x2+（2y）2＝4，
整理可得，
所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為．
（2）（i）設(shè)過點(diǎn)T（0，2）的直線方程為y＝kx+2，
代入軌跡Γ的方程可得：（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則，．可得，
過B（0，﹣1）的直線，過A（0，1）的直線，
兩式相除可得
＝，
所以，解得，所以點(diǎn)G在直線上，
（ii）因?yàn)辄c(diǎn)G在上，令，可得．
同理，點(diǎn)H直線上，且，．
因?yàn)?，?br>所以，
將，，代入得：．
所以S△GAB?S△HAB的面積之積為定值3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．

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