一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)）.經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成（ ）
A．511個(gè)B．512個(gè)C．1023個(gè)D．1024個(gè)
2．已知等差數(shù)列的公差是，若，，成等比數(shù)列，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．曲線y＝x2－3x上在點(diǎn)P處的切線平行于x軸，則P的坐標(biāo)為 ( )
A． B．C．D．
4．已知函數(shù)，則函數(shù)（ ）．
A．在上單調(diào)遞增
B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞減
D．在上單調(diào)遞增
5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則取最大值時(shí)，（ ）．
A．9B．10C．9或10D．10或11
6．函數(shù)的極值情況是（ ）
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既無極大值也無極小值D．既有極大值又有極小值
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，且，，則（ ）
A．38B．20C．10D．9
8．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．是奇函數(shù)
B．在內(nèi)單調(diào)遞增
C．是周期為的周期函數(shù)
D．在內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn)
10．如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．
11．在單位圓上任取一點(diǎn)，圓與軸正向的交點(diǎn)是，設(shè)將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記關(guān)于的表達(dá)式分別為，，則下列說法正確的是（ ）．
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
C．對(duì)于恒成立
D．函數(shù)的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題后的橫線上．
12．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，則＝ ．
13．已知，，，成等差數(shù)列，且，為方程的兩根，則 ．
14．函數(shù)在[0，3]上的最大值等于 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知：等差數(shù)列{}中，=14，前10項(xiàng)和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）將{}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第項(xiàng)按原來的順序排成一個(gè)新數(shù)列，求此數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，求函數(shù)的極值．
17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知函數(shù)在處取得極值．
(1)求的值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．
19．一個(gè)倉庫由上下兩部分組成：上部分形狀是正四棱錐P- A1B1C1D1，下部分形狀是正四棱柱（如圖所示），并且正四棱柱的高是正四棱錐的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？
(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為，當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？
1．B
【分析】先算出分裂的次數(shù)，即可求得總個(gè)數(shù).
【詳解】20分鐘分裂一次，經(jīng)過3個(gè)小時(shí)，總共分裂了九次，
也就是29=512個(gè)，
故選：B．
2．A
【分析】利用等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求解即可.
【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，
所以，即，
解得 ，
故選：A
3．B
【分析】根據(jù)點(diǎn)P處的切線平行于x軸，由y′＝0求解.
【詳解】解：因?yàn)閥＝x2－3x，
所以y′＝2x－3，
令y′＝0.即2x－3＝0，得x＝.
代入曲線方程y＝x2－3x，
得y＝－.
所以P的坐標(biāo)為 ，
故選：B
4．D
【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
故選：D
5．C
【分析】先根據(jù)利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，得出和的關(guān)系，判斷出數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，再利用拋物線的性質(zhì)即可求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，
得：，，
又，
，
即，
又，
，
由此可知，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
點(diǎn)在開口向下的拋物線上，
又，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)或時(shí)，最大.
故選：C
6．D
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.
【詳解】∵，∴，
由，得或，
時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間是，；遞增區(qū)間是，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
∴函數(shù)既有極大值又有極小值.
故選：D.
7．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由，可求得，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得．
∵，∴或．
若，顯然不成立，∴．
∴，解得．
故選：C．
8．A
【分析】利用求導(dǎo)思想，把函數(shù)單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值恒大于或等于0，再用分離參變量思想就可以解決問題.
【詳解】由求導(dǎo)可得：，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在時(shí)，，
即，而當(dāng)時(shí)，，所以，
故選：A.
9．ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期函數(shù)定義判斷選項(xiàng)A，C；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)以及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可判斷B,D的正誤．
【詳解】對(duì)于A，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得：，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得：，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，若存在周期，則必滿足，
因?yàn)椋?br>所以是周期為的周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得：，
令，即，
解得解集為：，
在有10個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)是奇函數(shù)，
在有20個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．
故選：ABD．
10．AB
【分析】由平面向量線性運(yùn)算和向量共線可得到，由此可確定遞推關(guān)系式，得到，由此確定B正確；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而得到，可確定AC正誤；利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得，知D錯(cuò)誤.
【詳解】為中點(diǎn)，，即，
三點(diǎn)共線，，
又，，
化簡(jiǎn)得：，，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，B正確；
，，C錯(cuò)誤；
則，A正確；
，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與向量的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和向量共線的性質(zhì)推導(dǎo)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，由此構(gòu)造出所需的等比數(shù)列進(jìn)行求解.
11．AC
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，再結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，令，首先判斷的周期，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而判斷D.
【詳解】由題意可知：，，即，，
所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確．
顯然在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．
令，
當(dāng)時(shí)，所以，，
即對(duì)于恒成立，故C正確．
，
令，因?yàn)椋?br>所以的最小正周期，又，，
令，則，
解得或，在這一個(gè)周期內(nèi)或或，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，
所以函數(shù)的最大值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
12．3
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得的值，根據(jù)點(diǎn)M在切線上，可求得的值，即可得答案.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，
又在切線上，
所以，則=3，
故3
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.
13．##
【分析】利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，為方程的兩根?br>所以，
又，，，成等差數(shù)列，
所以.
故
14．5
【分析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求最大值.
【詳解】，則
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在處取到最大值5
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5.
故5.
15．（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式將條件化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，解得首項(xiàng)與公差，代入通項(xiàng)公式即得結(jié)果，（2）新數(shù)列為，所以利用分組求和法求和，即分別計(jì)算一個(gè)等比數(shù)列的和與一個(gè)常數(shù)列的和，最后再求兩者的和.
【詳解】（Ⅰ）由 ∴
由
（Ⅱ）設(shè)新數(shù)列為{}，由已知，


本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和. 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如 ），符號(hào)型（如 ），周期型 （如 ）
16．，
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可表示出函數(shù)在的切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)，求出，即可得到函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則，
又，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
由點(diǎn)在切線上，可得，解得.
所以，則定義域?yàn)椋?br>所以，
令，解得或，
所以、、的關(guān)系如下表所示：
由表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為,
所以，
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由可得，從而可先求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)與的關(guān)系得出答案.
（2）利用錯(cuò)位相減法可得出答案.
【詳解】（1）則，所以
又，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，．
∴當(dāng)時(shí)，，又
所以
（2），
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，， ①
， ②
得：，
，
又也滿足上式，．
18．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得即可；
（2）由（1）可得，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，依題意，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
（2）由（1）得且定義域?yàn)椋?br>又，
對(duì)任意都成立，
令，解得，，
①當(dāng)即時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)即時(shí)，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減；
③當(dāng)即時(shí)，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減．
綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.
19．(1)312
(2)當(dāng)，倉庫的容積最大.
【分析】（1）明確柱體與錐體體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；
（2）先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，設(shè)正四棱錐的體積為，正四棱柱的體積，
因?yàn)椋?br>，，
所以倉庫的容積.
（2）設(shè)，則，，連結(jié)，
因?yàn)樵谥?，?br>所以，即，
于是倉庫的容積，
，
令，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)， ，在上是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)減函數(shù)，
故時(shí)，取得極大值，也是最大值，
因此，當(dāng)時(shí)，倉庫的容積最大.
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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