一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．下列調(diào)查方式中，可用普查的是（ ）
A．調(diào)查某品牌電動車的市場占有率B．調(diào)查2023年杭州亞運會的收視率
C．調(diào)查某校高三年級的男女同學(xué)的比例D．調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率
3．當且時，函數(shù)恒過定點（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
6．國家高度重視青少年心理健康問題，某校為了調(diào)查學(xué)生的心理健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查．若某班有45名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到45編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第三個號碼為（ ）隨機數(shù)表如圖：
A．32B．37C．27D．07
7．地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（ ）倍（參考數(shù)據(jù)：）
A．110B．115C．120D．125
8．已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．從某市高一年級考試的學(xué)生中隨機抽查2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法不正確的是（ ）
A．總體指的是該市高一年級考試的全體學(xué)生B．樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績
C．樣本容量指的是2000名學(xué)生D．個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生
10．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
11．2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意識，讓健身成為一種習(xí)慣和風(fēng)俗，為倡導(dǎo)健康生活方式，某大學(xué)社團聯(lián)合學(xué)生會倡議全校學(xué)生參與“每日萬步行”健走活動．下圖為該校甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（ ）
甲、乙步數(shù)折線統(tǒng)計圖
A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)小于乙的日步數(shù)的中位數(shù)
B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)
C．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的標準差小于甲的日步數(shù)的標準差
D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是12400
12．已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)存在零點
D．不等式的解集為
三、填空題（本大題共4小題）
13．函數(shù)的定義域是 ．
14．某校有高級教師90人，中級教師150人，其他教師若干人．為了了解教師的健康狀況，從中抽取60人進行體檢．已知高級教師中抽取了18人，則從中級教師中抽取的人數(shù)是 ．
15．已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是 ．
16．已知函數(shù)的定義域為，對于任意，當時，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．計算：
(1)
(2)
18．已知函數(shù)
（1）在給出的坐標系中畫出函數(shù)的圖象．
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．
19．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值和樣本成績的四分位數(shù)；
(2)已知落在的平均成績是65，方差是11，落在的平均成績?yōu)?5，方差是16，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．
20．已知函數(shù)，（，且）．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
21．芯片是現(xiàn)代科技發(fā)展的重要組成部分，它的出現(xiàn)和發(fā)展對科技領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠影響．芯片的應(yīng)用非常廣泛，從智能手機、電腦、平板電腦到汽車、醫(yī)療設(shè)備、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為進一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大科技研發(fā)投入的力度．根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入10萬元．若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完；平均每萬部的銷售收入為萬元，且
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
22．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足．
(1)求；
(2)當時，判斷和的大小關(guān)系．
答案
1．【正確答案】D
【分析】根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．
【詳解】由題得又因為，
所以．
故選：D
2．【正確答案】C
【分析】根據(jù)普查適合調(diào)查對象數(shù)目較少的情況來判斷即可.
【詳解】選項ABD調(diào)查對象的數(shù)目較多，適合采用抽查；C調(diào)查對象的數(shù)目較少，適合采用普查.
故選：C
3．【正確答案】B
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】當時，，與無關(guān)，
則函數(shù)恒過定點．
故選：B.
4．【正確答案】D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以．
故選：D
5．【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理即可求解.
【詳解】由題可知，為增函數(shù)，再由，
所以，根據(jù)零點存在定理知，零點在范圍內(nèi)．
故選：B.
6．【正確答案】C
【分析】利用隨機數(shù)表法，按照給定條件一次選取符合要求的號碼即可.
【詳解】從隨機數(shù)表第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，去掉超過45和重復(fù)的號碼，選取的前3個數(shù)依次為32、37、27，故選取的第三個號碼為27.
故選：C
7．【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算分析求解.
【詳解】第一次，即①，
第二次，即②，
①②得，，即由題可知，，
故選：D．
8．【正確答案】B
【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得，討論的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象的單調(diào)性，即可得到答案.
【詳解】由，即為，即有；
當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，選項B滿足；
當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，四個圖象均不滿足，在同一坐標系中的圖象只能是B．
故選：B
9．【正確答案】ACD
【分析】從總體，個體，樣本和樣本容量的定義逐項判斷.
【詳解】對于A：總體指的是該市高一年級考試全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故A錯誤；
對于B：樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故B正確；
對于C：樣本容量指的是2000，故C錯誤；
對于D：個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故D錯誤．
故選：ACD.
10．【正確答案】ABD
【分析】借助奇偶性的定義逐項判斷即可得.
【詳解】對于選項A：定義域，關(guān)于原點對稱，，
所以為奇函數(shù)，故A正確；
對于選項B：定義域或，關(guān)于原點對稱，
，
所以為奇函數(shù)，故B正確；
對于選項C：定義域，關(guān)于原點對稱，，
所以為偶函數(shù)，故C錯誤；
對于選項D：定義域，關(guān)于原點對稱，
，所以為奇函數(shù)，故D正確．
故選：ABD.
11．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)折線圖得到這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)，都從小到大進行排列，得到中位數(shù)后即可判斷選項A；根據(jù)平均數(shù)計算公式，計算出這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可判斷選項B；根據(jù)圖象觀察甲的波動程度較大，故方差較大，從而判斷選項C；把乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大進行排列，并計算，故第六個數(shù)為所求，即可判斷選項D.
【詳解】由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：
，所以中位數(shù)為12600；
由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：
，所以中位數(shù)為12600；
故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，A錯誤；
這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：
，
這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：
，
因為，故B正確；
由圖知，甲的波動程度較大，故方差，標準差較大，故C正確；
乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：
，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是13800，故D錯誤．
故選：BC.
12．【正確答案】BD
【分析】計算即可得A，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方式可得B，由可得C，結(jié)合單調(diào)性可得不等式，解出可得D.
【詳解】
對于A，的定義域為，
，
故A錯誤；
對于B，，
當時，、，且都在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；
對于C，，函數(shù)沒有零點，故C錯誤；
對于D，由前可知，不等式滿足或或，
解得，故D正確.
故選：BD.
13．【正確答案】
【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域解不等式即可求解.
【詳解】由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域可知，解不等式得，
因此函數(shù)的定義域是.
故答案為.
14．【正確答案】30
【分析】由題意可先計算抽樣比，再由抽樣比求出結(jié)果．
【詳解】由題意知，抽取的比例為，則中級教師抽取人.
故30
15．【正確答案】
【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性，再結(jié)合一元二次不等式的求解方法，求解即可.
【詳解】易知的定義域，關(guān)于原點對稱，
又，故為奇函數(shù)，
，又均為上的增函數(shù)，
故為上的增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故為上的增函數(shù)；
即，故．
故答案為.
16．【正確答案】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，說明其在單調(diào)遞減，又將化為，令，則，又，從而利用函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，則,
又因為，，
所以，則，
令，則，又，
所以在內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù).
因為，所以可變?yōu)椋?br>即①，
令，則①可變?yōu)棰冢忠驗椋?br>故②變?yōu)?，又在?nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，則．
故答案為.
關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)，變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，并說明其為單調(diào)減函數(shù)，由此可解決問題.
17．【正確答案】(1)1
(2)
【分析】（1）應(yīng)用指數(shù)冪的運算法則運算即可；
（2）應(yīng)用對數(shù)運算法則運算即可.
【詳解】（1）
.
（2）
.
18．【正確答案】（1）圖見解析；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域為.
（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出所求分段函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象觀察可知即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出分段函數(shù)的圖象為：

（2）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為，
函數(shù)的值域為
19．【正確答案】(1)，65，75，84
(2)71，38
【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；
（2）由和組的平均數(shù)和方差即可求得總平均數(shù)和總方差.
【詳解】（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，
，解得．
四分位數(shù)分別為第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，
設(shè)第百分位數(shù)為，則；
設(shè)第百分位數(shù)為,則；
設(shè)第百分位數(shù)為,則；
所以該數(shù)據(jù)的四分位數(shù)分別為65，75，84.
（2）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，
所以；
由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為
．
20．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)存在，或
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
（2）先令，并求值域，再分別對進行分類求的最大值，進而求的值.
【詳解】（1）由題意可得，即函數(shù)的定義域為.
當時，
令，則，
對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.
函數(shù)圖象的對稱軸為直線
當，函數(shù)在上遞增，在上遞減．
所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），（，且）.
令，由，得，
則的值域為.
（?。r，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上的最大值為，
則，，滿足題意.
（ⅱ）時，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，
則，滿足題意．
綜上所述：的值為或.
21．【正確答案】(1)
(2)當產(chǎn)量為40萬部時，利潤最大，最大利潤為550萬元
【分析】（1）由，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果；
（2）利用分段函數(shù)的最值，先求出和范圍內(nèi)的最值，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由題知，，
當時，，
當時，
所以.
（2）由（1）知當時，，開口向下，
對稱軸，此時的最大值為萬元，
當時，萬元，
當且僅當時等號成立，又，
所以當產(chǎn)量為40萬部時，利潤最大，最大利潤為550萬元．
22．【正確答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由函數(shù)和的奇偶性得出函數(shù)和的解析式，
（2）利用作差法判斷化簡可得，進而判斷可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題設(shè)可知，由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
則，則，
解得，．
（2）
，
由于，
則，即．2512
6317
6323
2616
8045
6011
2432
5327
0941
1457
2042
5332
3732
2707
3607
7424
6762
4281
2191
3726
3890
0140
0523
2617
3014
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