一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在直角坐標(biāo)系中，在軸上截距為且傾斜角為的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點(diǎn)，為的重心，則（ ）
A．B．
C．D．
3．兩條直線，，若，則的值是（ ）
A．0B．1C．1或0D．0或
4．在斜三棱柱的底面中，，，，則線段 的長(zhǎng)度是（ ）
A．B．3C．D．4
5．已知點(diǎn)，，直線與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．P是橢圓上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為（ ）
A．60°B．30°C．120°D．150°
7．如圖，在四面體中，平面，，，E為AB的中點(diǎn)，為DB上靠近的三等分點(diǎn)，則直線DE與CF所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為，（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角的取值范圍為
B．直線恒過(guò)定點(diǎn)
C．圓與圓的公共弦所在直線方程為：
D．圓上有且僅有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1
10．下列說(shuō)法命題正確的是（ ）
A．已知，，則在上的投影向量為
B．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C．已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則
D．若向量（，，是不共面的向量）則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為
11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是
C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是
D．使直線AP與平面所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________．
13．如圖，已知二面角的大小為60°，，，，，，且，，則___________．
14．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決．如：若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)__________，的最大值為_(kāi)__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)駐或演算步驟．
15．（本小題13分）已知頂點(diǎn)，，．
（1）求邊BC上的高所在直線的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程
16．（本小題15分）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，，．
（1）求證：；
（2）求直線AE與平面所成角的正弦值．
17．（本小題15分）已知圓過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心0在直線上．
（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，在直線上是否存在定點(diǎn)D，使得直線AD、BD的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．
18．（本小題17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為．
（1）求證：平面；
（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍．
19．（本小題17分）古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的k倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）常數(shù)k的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀．為了研究方便，我們?cè)O(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時(shí)，記，，，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且滿足閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)，時(shí)，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的面積．
（2）若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動(dòng)，試探求為何值時(shí)，P的軌跡是圓？
（3）若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，問(wèn)在此等腰三角形對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值．若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
數(shù)學(xué)答案
12．13．14．；2
8．【解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，，即，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)椋瑒t，所以的最小值為．故選：D．
11．【解】對(duì)于A：的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，
所以三棱錐的體積的體積不變，且，所以A正確；
對(duì)于B：以為原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，設(shè)，，則，，
設(shè)直線與所成角為，則，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；
當(dāng)時(shí)，，由，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；
對(duì)于C，由，，，，設(shè)，，，則，，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，可得，，所以，
因?yàn)槠矫?，所以，可得?br>所以，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D：因?yàn)橹本€AP與平面所成的角為45°，由平面，得直線AP與所成的角為45°，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)椋?，故不成立?br>在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以D正確；故選：ABD．
14．【解】得，令，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離為，解得，所以的最小值為可以看作點(diǎn)到直線的距離與它到A（1，0）距離比值的2倍，設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線與圓相切于點(diǎn)，此時(shí)取到最大值．設(shè)直線方程為，由，，解得，結(jié)合圖形可知，代入聯(lián)立后的方程可得切點(diǎn)，代入可得的最大值為2．故；2．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．【解】【小問(wèn)1詳解】由、，且，
所以其垂直斜率滿足，即，
所以邊BC的高所在直線的方程為，即；
【2解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；
當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，
由過(guò)點(diǎn)，則，解得，
所以直線方程為，即，
綜上所述，直線的方程為或．
16．【解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕?br>又平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以．
（2）取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)M，連接OE，OM，
則，由，得，且，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面，
由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，
則，，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，，所以，
，
設(shè)直線AE與平面所成角為，則，
所以直線AE與平面所成角的正弦值為．
17．【解】（1）由題總得MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線MN的斜率為，
因?yàn)?，所以直線CE的斜率為1，
所以直線CE的方程為，即，
解方程組得，故，
所以圖的半徑，所以圓的方程為．
（2）由消去整理得，
可得，設(shè)，，則，（*）．
設(shè)，則，（，分別為直線AD，BD的斜率）．
因?yàn)橹本€AD，BD的傾斜角互補(bǔ)，所以，
即，即，
即，將（*）式代入得，
整理得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以在直線上存在定點(diǎn)滿足條件．
18．【解】（1）連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸锳C中點(diǎn)，則，
由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，
則平面，可得，
由題設(shè)知四邊形為菱形，則，
因?yàn)镈，E分別為，中點(diǎn)，則，可得，
且，，．平面，所以平面．
（2）在平面內(nèi)的射影為D，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，D是線段AC的中點(diǎn)，為正三角形，由平面，平面，可得，，
又因?yàn)闉榈冗吶切?，為AC中點(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，可得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
（3）因?yàn)?，?br>設(shè)，，則，
可得，，，即，可得，
由（2）知：平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，，可得；
則，
令，則，可得，
因?yàn)?，則，可得，
所以銳二面角的余弦值的取值范圍為．
19．解：（注意不同建系）（1）以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，
設(shè)，因?yàn)樵?，之間，所以，，，
由定義得，所以，化簡(jiǎn)得，
表示以為圓心，1為半徑的圓：所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，點(diǎn)（且），則，，，，代入坐標(biāo)得：，
化簡(jiǎn)整理：①，
當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有xy項(xiàng)，此時(shí)方程①為：．
即，此方程表示圓心為，半徑為的圓，所以當(dāng)時(shí)，的軌跡是圓．
（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，點(diǎn)，
先求點(diǎn)的軌跡方程：由，，，
因?yàn)樵趦?nèi)部，所以，得，同理：，
當(dāng)時(shí)，得，化簡(jiǎn)整理得：，②
假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，則，③
由②得：，代入③得，
要使此式為定值，則，化簡(jiǎn)得，故存在點(diǎn)，即點(diǎn)為與的角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)為BC中點(diǎn)，此時(shí)．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
A
A
A
D
D
BC
ACD
ABD

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