一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，，若，則（ ）
A．B．2C．D．1
2．橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．
3．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且對空間任意一點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（ ）
A．B．1C．D．0
5．在空間直角坐標(biāo)系中，平面的法向量為，已知，則到平面的距離等于（ ）
A．4B．2C．3D．1
6．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，下列命題正確的是（ ）
A．若到距離之和為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
B．若到距離之差為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
C．橢圓上任意一點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外）與連線斜率之積是
D．漸近線為且過點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)是
8．斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知雙曲線，則（ ）
A．的取值范圍是B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上
C．的焦距為6D．的離心率的取值范圍為
10．下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角的取值范圍為
B．“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件
C．直線恒過定點(diǎn)
D．直線與直線平行
11．在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：
（1）過點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線l的方程為；
（2）過點(diǎn)，且為法向量的平面的方程為．
現(xiàn)已知平面，，，，則（ ）．
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知點(diǎn)，圓，則圓上的點(diǎn)到的距離最大值為 .
13．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
14．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知正三棱錐如圖所示，其中，，點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段上靠近B的三等分點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)求的值．
16．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于
(1)求圓的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
17．如圖，在三棱錐P－ABC中，底面是邊長為4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn).
(1)求證：平面BEF⊥平面PAC；
(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)G，使得直線AG與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由.
18．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，且軸.求證：直線BD過點(diǎn)F.
19．已知橢圓C：的離心率為，焦距為2．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l：（）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且．
①求證：的面積為定值；
②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
故選：C
2．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)?
又因?yàn)椋?br>所以,
,
解得,
橢圓焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：;
橢圓焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
3．【正確答案】B
【詳解】由點(diǎn)在平面內(nèi)，可知，
又，
所以，三項(xiàng)相加可得.
故選：B.
4．【正確答案】C
【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
又兩圓有且僅有一條公切線，則兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，所以，即，解得．
故選：C.
5．【正確答案】B
【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，選B
考點(diǎn)：點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算.
6．【正確答案】B
【分析】
根據(jù)橢圓方程可得，再結(jié)合三角形周長，得，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】
因?yàn)?，所?
因?yàn)榈闹荛L為，所以，所以，
所以橢圓的離心率為，
故選：B.
7．【正確答案】C
【分析】直接利用橢圓定義和雙曲線定義，直線的斜率，漸近線的應(yīng)用逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，若到距離之和為，
即，
則點(diǎn)的軌跡為線段，A錯(cuò)誤；
對于B，若到距離之差為，
即，又，
則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支，故B錯(cuò)誤；
對于C，橢圓上任意一點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外）與連線斜率之積：
，C正確；
對于D，漸近線為且過點(diǎn)的雙曲線方程為，
雙曲線過點(diǎn)，則，
故雙曲線方程為，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，故D錯(cuò)誤.
故選：C
8．【正確答案】C
【詳解】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線l的方程為y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝．
故選：C.
9．【正確答案】AC
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號(hào)即可判斷A,B項(xiàng)，計(jì)算易得C項(xiàng)，先算出離心率的表達(dá)式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.
【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；
對于B，由A項(xiàng)可得，故，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯(cuò)誤；
對于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；
對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．
故選AC.
10．【正確答案】ACD
【詳解】對于A：設(shè)直線的傾斜角為，
則，又，所以的取值范圍是，故A正確；
對于B：由點(diǎn)到直線的距離為3，可得，
解得或，
所以“”是“點(diǎn)到直線的距離為”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；
對于C：直線，即，令，可得，
所以直線恒過定點(diǎn)，故C正確；
對于D：直線，即，斜率為，過點(diǎn)，
直線的斜率為，過點(diǎn)，
所以直線與直線平行，
即直線與直線平行，故D正確.
故選：ACD
11．【正確答案】AC
【分析】根據(jù)公認(rèn)事實(shí)求出直線的方向向量和平面的法向量，用空間向量判斷它們之間的位置關(guān)系即得.
【詳解】平面的法向量為，
對于，則，即：，
故經(jīng)過點(diǎn)，方向向量為，則，即，
故，即A正確，D錯(cuò)誤；
對于，即，故經(jīng)過點(diǎn)，方向向量為，
因點(diǎn)滿足平面，即與有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對于，可知經(jīng)過點(diǎn)，方向向量為，
因，可得，即或，
但點(diǎn)不滿足平面，即，故，故C正確.
故選AC.
12．【正確答案】
【詳解】由圓方程知：圓心，半徑，
圓上的點(diǎn)到的距離最大值為.
故答案為.
13．【正確答案】
作出圖形，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.
【詳解】對于雙曲線，則，，，如下圖所示：
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
由雙曲線的定義可得，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
因此，的最小值為.
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：
（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；
（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.
14．【正確答案】
【分析】點(diǎn)差法求出直線的斜率，點(diǎn)斜式得直線方程.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，有，
將兩點(diǎn)代入橢圓方程，得，
兩式作差，得，整理得，
得直線的斜率為，直線的方程為，即.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
15．【正確答案】(1)，，
(2)3
【分析】（1）先根據(jù)空間向量得線性運(yùn)算將用表示，再根據(jù)空間向量基本定理即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
【詳解】（1）
，
又，
∴，，；
（2）由余弦定理得，
易知；
故
，
∴．
16．【正確答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；
(2)過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程
【詳解】（1）易知到直線的距離為圓A半徑r，
所以，
則圓A方程為
（2）過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知
當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，
顯然合題意，
當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，
由到距離為知得，
代入解之可得，
所以或?yàn)樗蠓匠蹋?br>17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)存在滿足條件的點(diǎn)G，點(diǎn)G為PB的中點(diǎn)
【詳解】（1）證明：∵AB＝BC，E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.
∵BE?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.
（2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn)，
∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，∴EB，EC，EF兩兩垂直.
分別以的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，.
設(shè)，，
所以，
設(shè)平面PBC的法向量為，
則，即，
令，則，，
∴，
由已知得，即，即，，解得或，由，故.
所以存在滿足條件的點(diǎn)G，點(diǎn)G為PB的中點(diǎn).
18．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線的斜率列式求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達(dá)定理，根據(jù)向量共線坐標(biāo)運(yùn)算得三點(diǎn)共線，即證.
【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為得，所以，
又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得即，所以，
所以雙曲線C的方程為，即.
（2）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，
設(shè)，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，
又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，則，即.
聯(lián)立，消去x得，
則，得，
，，則，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共點(diǎn)F，所以B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，
所以直線BD過點(diǎn)F.

19．【正確答案】(1)
(2)① 證明見解析；②不存在，理由見解析
【詳解】（1）由題意知，焦距，故，又，故，
所以，故橢圓C的方程為．
（2）①由消去y，化簡得：，
設(shè)，，則，
，，
故，
因?yàn)?，所以?br>所以，
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為，
所以的面積為，
故的面積為定值．
②假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形，則，
設(shè)，則，
又因?yàn)?，即，得?br>與矛盾，
故橢圓上不存在點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形．

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