一、單選題（本大題共8小題）
1．如果，，三點共線，那么（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知直線過點，且在軸上的截距為軸上的截距的兩倍，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
4．在空間四邊形中，點在上，點在上，且，則向量等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（ ）
A．B．2C．4D．
6．已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知動點在直線上，過總能作圓的兩條切線，切點為，且恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若三個非零空間向量滿足，則有
B．若空間中任意一點，則P，A，B，C四點共面
C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
D．已知向量，若，則為鈍角
10．已知，動點滿足，記的軌跡為.過A的直線與交于P，Q兩點，直線BP與的另一個交點為，則（ ）
A．的面積的最大值為
B．當(dāng)時，
C．Q，M關(guān)于軸對稱
D．在上存在點，使得
11．如圖，造型為“”的曲線稱為雙紐線，其對稱中心在坐標原點，且上的點滿足到點和的距離之積為定值，則（ ）
A．B．點在上
C．上的點的縱坐標的最大值為D．若點在上，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是 .
13．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上.由橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點.已知，.若透明窗DE所在的直線與截口所在的橢圓交于一點，且，則的面積為 .
14．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．
(1)求點的坐標；
(2)求直線的方程．
16．如圖，在長方體中，，點在AB上，且.
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)若點在側(cè)面上，且點到直線和CD的距離相等，求點到直線距離的最小值.
17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，點在棱PC上.
(1)若平面ADE與棱PB交于點，求證：平面ABCD；
(2)若二面角E-AD-B的余弦值為，求點到平面ABCD的距離.
18．已知線段AB的端點B的坐標是，端點A的運動軌跡是曲線C，線段AB的中點M的軌跡方程是.
(1)求曲線C的方程；
(2)已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)（異于原點O），直線OE，OF的斜率分別為，且，
①證明：直線l過定點P，并求出點P的坐標；
②若，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值.
19．“曼哈頓距離”是一種度量距離的方式，定義如下：在平面直角坐標系內(nèi)，任意兩點，的曼哈頓距離為.對于動點，若存在定點使得（為大于的常數(shù)），則稱動點的軌跡為“”曲線.
(1)已知，若，求；
(2)已知曲線是“”曲線（是原點），，點是上一點，
（i）寫出曲線的方程并畫出圖形，求的最大值；
（ii）已知點在直線上，求的最小值.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】即，，
，，三點共線，故，
即，解得，，，故.
故選：D
2．【正確答案】A
【詳解】若直線與直線垂直，
等價于，解得或，
顯然是真子集，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
3．【正確答案】C
設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，分類討論，利用直線方程的截距式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，
當(dāng)時，直線經(jīng)過原點，其方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，因為直線過點，
所以，解得，所以直線的方程為，即.
所以直線的方程為或.
故選：C
易錯點點睛：容易漏掉截距為0的情況.
4．【正確答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的加減運算法則，以為基底，不斷向其轉(zhuǎn)化即可得到答案.
【詳解】
故選：A.
5．【正確答案】A
【分析】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關(guān)系，進而確定最小時直線與直線的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.
【詳解】由恒過，
又，即在圓C內(nèi)，
要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，
由，圓的半徑為5，
所以.
故選：A
6．【正確答案】A
【詳解】設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.
因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.
故選：A
7．【正確答案】D
【詳解】設(shè)，則,
恒成立，即，則恒成立，
最短即為點到直線的距離，則，解得或.
故選D.
8．【正確答案】C
【詳解】因為，，所以,
因為
所以.
所以
即
所以異面直線與CD所成角的余弦值為.
故選：C.
9．【正確答案】BC
【詳解】對于A選項,在空間向量中，時，與不一定平行.例如墻角處的三條相交直線對應(yīng)的向量，兩兩垂直，所以A選項錯誤.
對于B選項,對于空間中任意一點O，若，且，則P，A，B，C四點共面.因為，所以P，A，B，C四點共面，B選項正確.
對于C選項,已知是空間的一組基底，則不共面.
假設(shè)共面，則存在實數(shù)，使得，即，可得，這與是基底矛盾，所以也是空間的一組基底，C選項正確.
對于D選項,若為鈍角，則且與不反向.
，令，即，解得.
當(dāng)時，，此時與反向，所以D選項錯誤.
故選：BC.
10．【正確答案】BCD
【詳解】

設(shè)，則，整理得，
所以動點的軌跡為圓心為，半徑為4的圓，
由圖可知，當(dāng)點到直線的距離最大時的面積最大，所以，故A錯；
連接，，當(dāng)時，，則為等腰直角三角形，
，故B正確；
由題易知，
又由正弦定理可得，，且，
所以，
所以，
又軌跡關(guān)于軸對稱，所以關(guān)于軸對稱，故C正確；
設(shè)，，則，整理得，
，故D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】對于A,由原點在曲線上得，選項A正確.
對于B,設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，則，解得 ，故 B正確.
對于C，設(shè)曲線C上任一點坐標為，則，
得 ，則 ，
所以 ，由，
得 ，由，
得，
所以 ，則，故C 正確．
對于 D，由，得，
故點在C 上時有成立，故D錯誤．
故選：ABC.
12．【正確答案】
【詳解】因為點在圓的外部，
所以，
解得，
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由，，，得，
則橢圓長軸長，由點在橢圓上，得，又，
則，
因此，所以的面積為.
故
14．【正確答案】
【詳解】設(shè)Px,y為圓上一點，直線為，
過點作，連接，作出如下示意圖：

則Px,y到直線的距離，
所以，又，
所以，所以只需求出取值范圍即可，
設(shè)直線與圓相切，所以，解得，
所以兩條切線方程為和，設(shè)兩切點分別為，，分別過作，
垂足為，過作，垂足為，所以，
因為直線的斜率為，所以，則，
所以，，又因為切線方程為，
所以，則，所以，，
所以，
所以，所以.
故答案為.
15．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標即得.
（2）設(shè)出點的坐標，利用中點坐標公式求出點坐標，再利用兩點式求出直線方程.
【詳解】（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，
直線方程為，即，
由，解得，
所以點的坐標是.
（2）由點在直線上，設(shè)點，于是邊的中點在直線上，
因此，解得，即得點，直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
,
則,
設(shè)平面的一個法向量為，
因為，所以，即，
令，則，
所以為平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（2）設(shè)，根據(jù)題意有，即，，
則點到的距離
，
當(dāng)時，取得最小值.
所以點到的距離最小值為.
17．【正確答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）因為底面是菱形，所以，
又平面，平面，則平面．
點在線段上，平面與線段交于點，
所以平面平面，而平面，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點，連接，，如圖所示，
由條件，是正三角形，，
則，，，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，則，
而，得．在中，，結(jié)合勾股定理易得．
以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則O0,0,0，A1,0,0，，，，，
設(shè)，，則
，
所以點，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
由取，則，，
平面的法向量為，而平面的法向量為，
故，
解得（舍負），所以．
設(shè)直線E與平面所成角為，
．
18．【正確答案】(1)
(2)①證明見解析；定點②詳見解析.
【詳解】（1）設(shè)，，由中點坐標公式得，
由題意可知，，
所以，
整理得到曲線的方程為；
（2）①設(shè)直線的方程為，，，，
聯(lián)立，得，
所以，即，
所以，，
所以，
，
所以且，
所以直線的方程為，即直線過定點；
②如圖所示：
因為為定值，且于點，所以為直角三角形，為斜邊，
所以當(dāng)點是的中點時，此時為定值，
因為，，所以由中點坐標公式得，
所以存在定點，使得為定值.
19．【正確答案】(1)或
(2)（i），圖象見解析，最大值為；（ii）
【詳解】（1）因為，則，解得或.
（2）（i）因為曲線是“”曲線（是原點），設(shè)曲線上任意一點，
則，所以曲線的方程為，
當(dāng)時，由，得到，
當(dāng)時，由，得到，
當(dāng)時，由，得到，
當(dāng)時，由，得到，所以圖象如圖1，
因為，又易知，
所以，
令，則，由圖1易知的最小值為，所以的最大值為.
（ii）如圖2，因為點在直線上，設(shè)，，則，
因為，當(dāng)時，，
所以，
易知，，不妨把看成一個常量，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由一次函數(shù)的性質(zhì)知，此時在處取到最小值為，且時取等號，
當(dāng)時，，所以，
易知，，不妨把看成一個常量，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由一次函數(shù)的性質(zhì)知，此時在處取到最小值為，且時取等號，
當(dāng)時，由，得到，
所以，
易知，，不妨把看成一個常量，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由一次函數(shù)的性質(zhì)知，此時在處取到最小值為，且時取等號，
當(dāng)時，由，得到，
所以，
易知，，不妨把看成一個常量，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由一次函數(shù)的性質(zhì)知，此時在處取到最小值為，且時取等號，
綜上，的最小值為.

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