1．點關于平面對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線過點，且一個方向向量為，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
3．已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知三棱柱的側棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點M.則（ ）
A．B．2C．D．
6．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，是橢圓的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓：關于直線對稱，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．向量與向量的夾角為B．
C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面
10．已知直線：，圓：，以下正確的是（ ）
A．與圓不一定存在公共點
B．圓心到的最大距離為
C．當與圓相交時，
D．當時，圓上有三個點到的距離為
11．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點分別為，下列判斷正確的是（ ）
A．的方程為
B．的離心率為
C．若點為的上支上的任意一點，，則的最小值為
D．若點為的上支上的一點，則△的內(nèi)切圓的半徑為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為 ．
13．過雙曲線的兩個焦點分別作實軸的垂線，交于四個點，若這四個點恰為一個正方形的頂點，則的離心率為 .
14．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應的軌跡的面積是 ；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在平面直角坐標系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點.
(1)求圓M的方程；
(2)過坐標原點O的直線被圓M截得的弦長為，求直線的方程.
16．如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點，點是棱上一點.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離；
(3)求平面與平面夾角的余弦值.
17．已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C
（1）求C的方程；
（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.
18．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標，設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．
(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)若平面，，三棱錐在頂點處的離散曲率為．
①求直線與直線所成角的余弦值；
②點在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長度．
19．已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.
(1)求的方程；
(2)過且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，點為的中點，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】點關于平面對稱的點的坐標是.
故選：B
2．【正確答案】C
【詳解】設是直線上任意一點，因為直線過點，且一個方向向量為，
所以，化簡得.
故選：C．
3．【正確答案】A
【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設雙曲線的方程為，
又因為過點，所以，解得，
所以，雙曲線的標準方程是．
故選：A．
4．【正確答案】A
【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應用平行線間的距離公式求值即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解之得，
于是直線，即，
所以與之間的距離為.
故選A.
5．【正確答案】D
【詳解】依題意可知是的中點，
所以
，
所以
.
故選：D

6．【正確答案】C
【分析】點差法得到，從而得到，結合，求出，得到橢圓方程.
【詳解】由題意，設，代入橢圓方程，
可得兩式相減可，
變形可得，
又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，
所以，
代入上式可得，，又，
解得，所以橢圓的方程為.
故選：C
7．【正確答案】A
【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點，
又由過點且斜率為的直線，可得方程為，
因為為等腰直角三角形，且，可得，
代入直線，可得，整理得，
所以橢圓的離心率為.
故選：A.

8．【正確答案】C
【詳解】
由圓：，即可得圓心，半徑，
由圓：關于直線對稱，
可得圓心在直線上，
所以，即，所以在直線，
又過點作圓的兩條切線，切點分別為，
則，
又在直線，
則可表示到直線上點的距離的平方，
所以的最小值為，
所以的最小值為，
故選：C.
9．【正確答案】BD
【詳解】對于A，因，
則，因，則，故A錯誤；
對于B，因，則，
故，即B正確；
對于C，根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為:
，故C錯誤；
對于D，由向量，，，可知，
故向量與向量，共面， 所以D正確．
故選：BD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，圓心到直線的距離為，
當，即，解得或，此時直線與圓相離，沒有公共點，故A正確；
對于B，因為直線，即，所以直線過定點，
當時，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；
對于C，當直線與圓相交時，則，解得，故C錯誤；
對于D，當時，直線，圓心到直線的距離為，
所以圓上有三個點到直線的距離為，故D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ACD
【詳解】A.由雙曲線方程可知，雙曲線的漸近線方程為，
又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，
所以的方程為，
故A正確；
B.由雙曲線的方程，
可知，，，
則，所以離心率，
故B錯誤；
C.，，
，
當點三點共線且依序排列時，等號成立，
所以的最小值為，
故C正確；
D.
D. 的方程為，當時，，，
，
計算可得，，，
所以的面積為，
的周長為，
設△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.
故選：ACD
12．【正確答案】
【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，
半徑，
所以所求圓的標準方程為.
故
13．【正確答案】.
【詳解】解法一：不妨設雙曲線，
令，可得，所以AB=2b2a.
依題意可得，，所以，
又，所以，解得：，
又因為，所以.
解法二：如圖，連結，在中，
所以離心率.
解法三：，依題意知在曲線上，故，
整理得（取正），
所以，
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】分別以為軸建系，設，而,,，
,.
由,有，化簡得對應的軌跡方程為.所以點P對應的軌跡的面積是.
易得的三個邊
即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，
，設平面的一個法向量為，
則有，可取平面的一個法向量為，
根據(jù)點的軌跡，可設，
，
所以點到平面的距離，
所以
故；
15．【正確答案】(1)
(2)或.
【詳解】（1）易知過點且與直線垂直的直線斜率為，
故圓心M與切點連線方程為，
聯(lián)立解得，
所以；
所以圓M的半徑為，
所以圓M的方程為.
（2）如圖，由（1）可知圓M的方程為，

因為直線被圓M截得的弦長為，
所以M到直線的距離為，
若直線的斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線的距離為1，不符合題意；
若直線的斜率存在，設方程為，
則，即，解得或，
所以直線的方程為或.
16．【正確答案】(1)證明見詳解
(2)
(3).
【分析】（1）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量研究線面關系即可；
（2）根據(jù)（1）的結論及點到面的距離公式計算即可；
（3）利用空間向量計算面面夾角即可.
【詳解】（1）證明：以點為坐標原點，分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
，設平面的一個法向量為，
則，即，令，得，則.
又，可得，因為平面，所以平面.
（2）因為平面，所以點到平面的距離等于點A到平面的距離.
易知，則點A到平面的距離為.
（3）易知，設平面的一個法向量為，
則，即，令，得，則.
設平面與平面的夾角為，
則.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
17．【正確答案】（1）；（2）見解析.
【詳解】（1）依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線C是以M、N為左右焦點的橢圓（左頂點除外），其方程為；
（2）對于曲線C上任意一點，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當圓P的半徑最長時，其方程為；
若直線l垂直于x軸，易得；
若直線l不垂直于x軸，設l與x軸的交點為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當時，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，.
18．【正確答案】(1)2
(2)①；②
【詳解】（1）根據(jù)離散曲率的定義得，
，，
，
所以
（2）①因為平面，平面，
所以，且，，平面,
所以平面，平面,
所以，
所以，
所以，所以，
如圖，將三棱錐補成正方體，
因為，連結，所以異面直線與所成的角為或其補角，
而是等邊三角形，所以，，
所以直線與直線所成角的余弦值為；
過點作交AB于，連結，
因為平面，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
依題意可得，，，，
所以,，
設，，，
在中，，
又，所以，
所以，
所以，
解得：或（舍）
故.
19．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
因為點在橢圓上，所以.
即，解得，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）

解法一：
由（1）得，依題意設，
由消去，得，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則，
設，則，
，
由得，，
即，
因為，所以，所以，
所以，
令且，
則，解得，且，
所以，所以的取值范圍為0,2.
解法二：
由（1）得，依題意設，
由消去，得，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以，
設，則，
，
令且，
則代入可得，
消去得：，
因為，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范圍為0,2.

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