一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．滿足?的集合的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)
A．8B．7C．6D．5
2．命題“，使得”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（ ）
A．（0,1）B．C．D．
3．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長(zhǎng)為3，圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且劣弧的長(zhǎng)等于半徑OA長(zhǎng)的2倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積是（ ）
A．B．C．D．9
4．已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為，則f(x)的極小值為（ ）
A．0B．C．D．
5．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位
B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位
C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位
D．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位
6．定義在上的偶函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=f′x，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，則的值為
A．B．C．D．
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9．下列命題正確的是（ ）
A．要使關(guān)于x的方程的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是
B．在上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
C．關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是或
D．若不等式的解集為或，則
10．定義在上的函數(shù)満足，且當(dāng)時(shí)，，則有（ ）
A．為奇函數(shù)
B．為增函數(shù)
C．
D．存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得
11．設(shè)，已知在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)B．在上有且僅有2個(gè)最小值點(diǎn)
C．在上單調(diào)遞增D．的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．
13．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則
14．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值 ．
四、解答題：本題共4小題，共47分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．若，且
(1)求ab的取值范圍；
(2)求的最小值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值．
16．設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)求證：；
18．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且使得恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
1．B
【分析】根據(jù)子集、真子集的概念判斷出集合含有的可能情況.
【詳解】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同時(shí)含有4,5,6.由此可得到滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)就是集合的真子集個(gè)數(shù)，共有個(gè).
故選：B
2．A
【分析】先將命題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在R上恒成立問(wèn)題，然后求出a的范圍，最后利用集合法得出答案.
【詳解】，使得,等價(jià)于在R上恒成立，
令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得
當(dāng)時(shí)，恒成立，解得，
要想是命題“，使得”成立的一個(gè)充分不必要條件,
只需要滿足為的子集即可，
四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)A滿足題意.
故選：A
3．A
【分析】先計(jì)算出扇形的面積，再求出，相減得到答案.
【詳解】由題意得，劣弧，
故扇形的面積為，
設(shè)圓心角為，則，
故，
故圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積為.
故選：A
4．D
【分析】求導(dǎo)并令得或,再結(jié)合題意得,進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得函數(shù)f(x)在處取得極小值,極小值為.
【詳解】解:求導(dǎo)得,
令得或,
因?yàn)楹瘮?shù)的極大值點(diǎn)為，
所以,即
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)在處取得極小值,極小值為
故選:D
5．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象的變換，結(jié)合函數(shù)解析式，即可直接判斷即可.
【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得的圖象，
再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得.
故選：C
6．A
【分析】根據(jù)可變形為，構(gòu)造函數(shù)，
判斷其奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
令，則當(dāng)時(shí)，，
故在時(shí)，單調(diào)遞減，
又因?yàn)樵谏蠟榕己瘮?shù)，所以在上為奇函數(shù)，
故在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，可變形為，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以且，得；
當(dāng)時(shí)，可變形為，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以且，得；
綜上：不等式的解集為.
故選：A.
7．D
【詳解】
所以 ，選D.
8．B
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，判斷出其單調(diào)性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可知，再由可求得，即可得出結(jié)論.
【詳解】由可知，
構(gòu)造函數(shù)
則，
由可得q′x=ex?1，
因此當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，故
當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故；
構(gòu)造函數(shù)
則，令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，可得，
即在上單調(diào)遞減，可得，
即可得在上單調(diào)遞減，
即對(duì)，
綜上，
故選：B
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)中的數(shù)字特征構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性即可比較得出它們的大小.
9．AD
【分析】A：令，則，即可求得a的范圍；B：令，則，即可求得k的范圍；C：根據(jù)題意求出a和b的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求出解集；D：根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出間的關(guān)系，即可判斷abc的符號(hào)．
【詳解】對(duì)于A，要使關(guān)于x的方程的一根比1大且另一根比1小，
令，則有，
解得，故A正確；
對(duì)于B，∵在上恒成立，令，
則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵關(guān)于x的不等式的解集是，∴，
則關(guān)于x的不等式的不等式等價(jià)于，即，
解得或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若不等式的解集為或，則，
得，，，所以，故D正確．
故選：AD.
10．ABD
【分析】令，得到，再令得，從而得出為奇函數(shù)可判斷選項(xiàng)A; 設(shè)，則，所以,可得出單調(diào)性，從而可判斷選項(xiàng)B；由，由單調(diào)性可判斷選項(xiàng)C；由，由單調(diào)性可得，從而可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由，令得，得.
令得，即
所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確.
設(shè)，則，所以
由條件可得，即
所以為上的增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確.
由為上的增函數(shù)，則，
所以，故選項(xiàng)C不正確.
由為上的增函數(shù),則，即
也即
設(shè)，由，則
，
所以在有解.例如取，則，
所以存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
11．ACD
【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，但最小值點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.
【詳解】
設(shè)，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，
須使，解得：，故D項(xiàng)正確；
對(duì)于A項(xiàng)，由圖可知時(shí)，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由圖可知時(shí)，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點(diǎn)可能有2個(gè)或3個(gè),故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由上分析知，則，即，
而此時(shí)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確.
故選：ACD.
12．
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可得到結(jié)果.
【詳解】
故答案為.
13．
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)后，借助圖象結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性、最值計(jì)算即可得解.
【詳解】，
則由，有，即，
的周期，故，又，故，
則有，解得，
又，故.
故答案為.
14．e
【分析】等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)并求出最小值即得.
【詳解】依題意，對(duì)任意，
恒成立，
而，當(dāng)時(shí)，，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
原不等式等價(jià)于，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，
所以實(shí)數(shù)m的最大值為e.
故e
思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
15．(1)
(2)的最小值為13，此時(shí).
【分析】（1）由已知結(jié)合基本不等式求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后進(jìn)行分離，然后結(jié)合基本不等式可求．
【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，解得或（舍），故.
則ab的取值范圍為.
（2）若，且，
，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為13，此時(shí).
16．(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等變換公式將原函數(shù)化為余弦型函數(shù)后，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）計(jì)算出當(dāng)時(shí)，的值域即可得解.
【詳解】（1）
，
令，解得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，
則，即，
由方程有解，故.
17．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和值域去求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）構(gòu)造新函數(shù)并利用極值點(diǎn)偏移去證明；
【詳解】（1）
又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，
在上各有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，
在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）設(shè)，
則
當(dāng)時(shí)，，
，
，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（1）知，，
，
又在單調(diào)上遞減，，
即.
方法點(diǎn)睛，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用方法有如下幾種：
方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是證明不等式成立的常見方法，其中利用函數(shù)的對(duì)稱性定義，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的基本處理策略；
方法二：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可，例如對(duì)數(shù)平均不等式的證明；
方法三：利用不等式的性質(zhì)對(duì)原不等式作等價(jià)轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.
18．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)后，討論的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，存在極大值點(diǎn)，記為，且，根據(jù)已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出a的取值范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>由題意得，
令，則，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在存在，使得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得極大值，
此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
（i）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，
在無(wú)單調(diào)增區(qū)間，
所以此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在存在，使得，在存在，使得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
在處取得極小值，在處取得極大值，
此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn).
（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，存在極大值點(diǎn)，記為，且，
則，即，
則，
令，，即，
，所以在單調(diào)遞增，
由得，
令 ，，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立時(shí)的參數(shù)的范圍問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及極值之間的關(guān)系，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，其中要注意分類討論.

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