1．（2021八上·通州期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（ ）
A．2B．C．D．
2．（2021八上·房山期末）利用直角三角板，作的高，下列作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021八上·豐臺(tái)期末）將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架具有穩(wěn)定性.解釋這個(gè)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．（2021八上·西城期末）如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中，．將點(diǎn)A放在一個(gè)角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著這個(gè)角的兩邊放下，利用全等三角形的性質(zhì)就能說明射線AC是這個(gè)角的平分線，這里判定ABC和ADC是全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
5．（2021八上·西城期末）已知三條線段的長分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是（ ）
A．10B．8C．7D．4
6．（2021八上·東城期末）如圖，在中，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，連接AC．若，，，則的周長等于（ ）
A．11B．16C．17D．18
7．（2021八上·平谷期末）如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021八上·豐臺(tái)期末）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．下列關(guān)于箏形的結(jié)論正確的是（ ）
A．對(duì)角線AC，BD互相垂直平分
B．對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ADC
C．直線AC，BD是箏形的兩條對(duì)稱軸
D．箏形的面積等于對(duì)角線AC與BD的乘積
9．（2021八上·懷柔期末）已知：如圖，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E．若∠CAB=30°，AB=6，則DE+DB的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2021九上·海淀期末）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點(diǎn)D處建一個(gè)5G基站，其覆蓋半徑為300 m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
二、填空題
11．（2021八上·豐臺(tái)期末）如圖是兩個(gè)全等的三角形，圖中字母表示三角形的邊長，則∠的度數(shù)為 o.
12．（2021八上·延慶期末）小明學(xué)了在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點(diǎn)為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點(diǎn)A，然后過點(diǎn)A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P表示的數(shù)是 ．
13．（2022八下·房山期中）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，則這條直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
14．（2021八上·朝陽期末）如圖，△ABC，∠A=70°，點(diǎn)D在BC的延長線上，若∠ACD=130°，則∠B= °．
15．（2021八上·懷柔期末）三角形的兩邊長分別為4和6，那么第三邊的取值范圍是 ．
16．（2022八下·海淀期中）兩直角邊分別為6和8的直角三角形，斜邊上的中線的長是 ．
17．（2022八下·大興期中）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝7，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，則EC的長為 ．
18．（2021八上·平谷期末）如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，請(qǐng)寫出一個(gè)正確的結(jié)論 ．
19．（2021八上·懷柔期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線對(duì)稱．
（1）當(dāng)t =-3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ；
（2）以MN為底邊作等腰三角形MNP．
①當(dāng)t =1且直線MP經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為 ；
②若MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a(a是正實(shí)數(shù))，則t的取值范圍是 (用含a的代數(shù)式表示)
20．（2021八上·豐臺(tái)期末）如圖，在△ABC 和△DBC，BA=BD中，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使得△ABC ≌△DBC，這個(gè)條件可以是 （寫出一個(gè)即可）．
三、綜合題
21．（2022八下·大興期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DB延長線上一點(diǎn)，OE＝OD，BF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長．
22．（2022八下·房山期中）如圖 1，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)（如圖2），過點(diǎn)做的垂線，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)做的垂線，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)（如圖 3 ），（1）中的結(jié)論依舊成立嗎？請(qǐng)證明；
（3）如圖 4 ，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為直線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)問是否始終能證明？請(qǐng)你說明理由．
23．（2022八下·大興期中）已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D，F(xiàn)分別作DE，EF的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接CG．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線AC上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：四邊形DEFG是正方形；
（2）在（1）的條件下，猜想：CE，CG和AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線AC的延長線上時(shí)，直接用等式表示CE，CG和AC的數(shù)量關(guān)系．
24．（2022八下·大興期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB和圖形M，給出如下的定義：若圖形M是以AB．為對(duì)角線的平行四邊形，則稱圖形M是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”．點(diǎn)A（8，a），點(diǎn)B（2，b），
（1）當(dāng)a＝8，b＝﹣2時(shí)，若四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ；
（2）若四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，求對(duì)角線OC的最小值；
（3）若線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”AOBC是正方形，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
25．（2022·朝陽模擬）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A為頂點(diǎn)作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．
（1）如圖1，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）將等腰直角△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，連接BE，CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE交CE的延長線于F，交BE于M，求證：BM＝BE；
（3）如圖3，等腰直角△ADE的邊長和位置發(fā)生變化的過程中，DE邊始終經(jīng)過BC的中點(diǎn)G，連接BE，N為BE中點(diǎn)，連接AN，當(dāng)AB＝6且AN最長時(shí)，連接NG并延長交AC于點(diǎn)K，請(qǐng)直接寫出△ANK的面積．
26．（2021八上·大興期末）如圖，≌，AC和AE，AB和AD是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)E在邊BC上，AB與DE交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
27．（2022九上·昌平期中）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．
（1）應(yīng)用：
如圖2，中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)E．求證：．
（2）如圖3，在中，E為邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一點(diǎn)．若，，求的值．
28．（2021九上·西城期末）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，連接，，．點(diǎn)F在線段上，連接交于點(diǎn)H．
（1）①比較與的大小，并證明；
②若，求證：；
（2）將圖1中的繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2．若F是的中點(diǎn)，判斷是否仍然成立．如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.
29．（2021八上·延慶期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上．
（1）計(jì)算線段AB的長度 ；
（2）判斷△ABC的形狀 ；
（3）寫出△ABC的面積 ；
（4）畫出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形△A1B1C1．
30．（2022八下·大興期中）如圖，菱形ABCD對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作對(duì)角線AC的垂線，與OE的延長線交于點(diǎn)F，連接FD．
（1）求證：四邊形AODF是矩形；
（2）若AD＝10，∠ABC＝60°，求OF和OA的長．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，
∴根據(jù)勾股定理，
∵，
∴S△ABC=，即，
解得：．
故答案為：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的值，再利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C均不是高線．
故答案為：D．
【分析】利用作高的方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：三根木條即為三角形的三邊長，
即為利用確定三角形，
故答案為：A．
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及SSS的方法求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】在△ADC和△ABC中
∵
所以△ADC≌△ABC（SSS）
故答案為：A．
【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：條線段的長分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則
，即
又為整數(shù)，則整數(shù)m的最大值是7
故答案為：C
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周長=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AC=CE=5，再利用三角形的周長公式列出算式AB+AC+BC計(jì)算即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】A、對(duì)于△ABD，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；
B、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；
C、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合題意；
D、對(duì)于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合題意．
故答案為：C
【分析】利用直角三角形的判定方法判斷即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解： 四邊形中，，，
是的垂直平分線，
而不一定是的垂直平分線，故A不符合題意；
，，
對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合題意；
直線BD是箏形的兩條對(duì)稱軸，故C不符合題意；
如圖，記對(duì)角線的交點(diǎn)為
箏形的面積等于對(duì)角線AC與BD的乘積的一半，故D不符合題意；
故答案為：B
【分析】由線段垂直平分線的判定可判斷A選項(xiàng)；通過證明得出 可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積可判斷D選項(xiàng)。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴DE+BD=CD+BD=BC，
又∵∠CAB=30°，AB=6，
∴，
故答案為：B．
【分析】先求出DE=CD，再根據(jù)∠CAB=30°，AB=6，求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如圖所示：連接BD，
∵，，，
∴，
∴為直角三角形，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴，
∵覆蓋半徑為300 ，
∴A、B、C三個(gè)點(diǎn)都被覆蓋，
故答案為：D．
【分析】連接BD，先證出為直角三角形，根據(jù)D為AC中點(diǎn)，得出，即可得出答案。
11．【答案】70
【解析】【解答】解：如圖，由三角形的內(nèi)角和定理得：，
圖中的兩個(gè)三角形是全等三角形，在它們中，邊長為和的兩邊的夾角分別為和，
，
故答案為：70．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB=，
∴以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑與正半軸交點(diǎn)P表示的數(shù)為．
故答案為：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的長，再在數(shù)軸上表示出點(diǎn)P的數(shù)即可。
13．【答案】或或或
【解析】【解答】解：直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），
由題意可得：，
解得或，
即直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
故答案為：或．
【分析】先求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），可設(shè)設(shè)直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），可得，據(jù)此求出m值即可.
14．【答案】60°
【解析】【解答】由三角形的外角性質(zhì)得，∠B=∠ACD-∠A=130°-70°=60°．
故答案為60．
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠B=∠ACD-∠A，再計(jì)算即可。
15．【答案】2＜a＜10
【解析】【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為4和6，第三邊的長為a，
∴根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：6-4＜a＜6+4，即：2＜a＜10．
故答案為：2＜a＜10．
【分析】利用三角形的三邊關(guān)系先求出6-4＜a＜6+4，再求解即可。
16．【答案】5
【解析】【解答】解：∵直角三角形兩條直角邊分別是6、8，
∴斜邊長為，
∴斜邊上的中線長為．
故答案為：5．
【分析】先利用勾股定理求出斜邊的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=10，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=7，
∴EC=BC-BE=10-7=3，
故答案為：3．
【分析】由角平分線的定義可得∠BAE=∠EAD，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC=10，利用平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEB，從而得出∠BAE=∠AEB，利用等角對(duì)等邊可得AB=BE=7，根據(jù)EC=BC-BE即可求解.
18．【答案】BC＝BD
【解析】【解答】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案為：BC＝BD（答案不唯一）．
【分析】利用HL求出△ACB≌△ADB，再求解即可。
19．【答案】（1）(2，-1)
（2）(-2，1)；t≥a+2或t≤-a-2
【解析】【解答】（1）過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線解析式為y=t
∵點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線對(duì)稱
∴可以設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），且MN中點(diǎn)在y=t上
∴，記得
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為
∴當(dāng)t =-3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為
（2）①∵以MN為底邊作等腰三角形MNP，且點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N直線y=t對(duì)稱．
∴點(diǎn)P在直線y=t上，且P是直線OM與y=1的交點(diǎn)
當(dāng)t =1時(shí)M(2，-1)，N(2，3)
∴OM直線解析式為
∴當(dāng)y=1時(shí)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，1)
②由題意得，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2，t-2)，點(diǎn)N坐標(biāo)為，點(diǎn)P坐標(biāo)為
∵，MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a
∴只需要或者
當(dāng)M、N、P都在x軸上方時(shí)，，此時(shí)，解得t≥a+2
當(dāng)MNP上與x軸有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離可以為0，不符合要求；
當(dāng)M、N、P都在x軸下方時(shí)，，此時(shí)，解得t≤-a-2
綜上t≥a+2或t≤-a-2
【分析】（1）先求出，再求出點(diǎn)N坐標(biāo)為，最后求解即可；
（2）①先求出OM直線解析式為，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
②先求出或，再分類討論計(jì)算求解即可。
20．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】添加CA=CD，則由邊邊邊的判定定理即可得△ABC ≌△DBC
故答案為：CA=CD（答案不唯一）
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法求解即可。
21．【答案】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴（HL），
∴AO=CO，
又∵OE=OD，
∴四邊形AECD為菱形．
（2）解：∵AB平分 ，
∴BF=BO=3，
在中，由勾股定理可得，
，
在和中，
，
∴（HL），
∴AO=AF，
設(shè)AO=AF=x，AE=4+x，
在中，由勾股定理可得，
，
得，
解得，
∴AE=4+6=10，
即AD=10，
∴EF和AD的長分別為4和10．
【解析】【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△OAD≌Rt△COD，可得AO=CO， 結(jié)合OE=OD，可證四邊形AECD為平行四邊形，由BD⊥AC即證四邊形AECD為菱形；
（2）由角平分線的性質(zhì)可得BF=BO=3，由勾股定理求出EF=4，根據(jù)HL證明Rt△ABF≌Rt△ABO，可得AO=AF，設(shè)AO=AF=x，可得AE=4+x，在Rt△AOE中，由勾股定理可建立關(guān)于x方程并解之即可.
22．【答案】（1）相等
（2）解：成立，證明如下：
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，
又∵四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴（），
∴，
∴．
（3）不一定，理由如下：
如圖，以點(diǎn)為圓心，以線段的長為半徑作弧，與直線交于點(diǎn)及點(diǎn)
連接、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在與中
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴與不垂直，但，
綜上所述：若，與不一定始終垂直．
【解析】【解答】（1）解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴（）
∴，
∵點(diǎn)和點(diǎn)重合，
∴．
故答案為：相等
【分析】（1）MN=BE.根據(jù)ASA證明△ABE≌△BCN，可得BE=CN=MN；
（2）成立.理由：過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證四邊形是平行四邊形，可得，
根據(jù)ASA證明△ADF≌△BAE，可得BE=AF，即得結(jié)論；
（3）不一定，理由：如圖，以點(diǎn)為圓心，以線段的長為半徑作弧，與直線交于點(diǎn)及點(diǎn) ， 連接、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)， 可得，再證四邊形是平行四邊形，可得AH=MN=BE，根據(jù)HL證明，可得，從而求出， 即得AH⊥BE，由MN⊥BE，可得∠GOM=90°，即得，繼而得出與不垂直，但，據(jù)此判斷即可.
23．【答案】（1）解：過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，作EN⊥CD，垂足N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝90°，且∠ECN＝45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，NE=NC，
∴四邊形EMCN是正方形，
∴EM=EN，
∵EF⊥DE，DG⊥DE，F(xiàn)G⊥EF，
∴四邊形DEFG為矩形，
∵∠DEN+∠NEF=90°，∠MEF+∠NEF=90o，
∴∠DEN=∠MEF，
又∵∠DNE=∠FME=90o，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM，
∴ED=EF，
∴四邊形DEFG是正方形；
（2）CE+CG=AC，
證明：∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDC+CDG=90o，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90o，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC；
（3）CG=AC+CE，
如圖：
∵四邊形ABCD為正方形，四邊形DEFG為正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90o，ED=GD，且∠GDE=90o，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE=∠GDC，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG=AC+CE；
【解析】【分析】（1）過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，作EN⊥CD，垂足N，先證四邊形DEFG為矩形，再證明△DEN≌△FEM（ASA），可得DE=EF，根據(jù)正方的判定定理即證；
（2）CE+CG=AC，證明：根據(jù)SAS證明△ADE≌△CDG，可得AE=CG，從而得出CE+CG=CE+AE
=AC；
（3） CG=AC+CE， 理由：根據(jù)SAS證明△ADE≌△CDG，可得AE=CG，繼而得解.
24．【答案】（1）（10，6）
（2）解：如圖所示，連接OC，
設(shè)點(diǎn)C（x，y），A（8，a），B（2，b），
∵四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，
∴AO∥BC，AO=BC，
得出：，
解得：，
∴C（10，a+b），
，
當(dāng)a+b=0時(shí)，
OC最小為10；
（3）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥x軸，過點(diǎn)B作BG⊥x軸，
∴∠AHO=∠BGO=90°，
∵四邊形OACB為正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOH+∠BOG=90°，
∵∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠OAH=∠BOG，
∴?AOH??BOG，
∴AH=OG=2，OH=BG=8，
∴A（8，2），B（2，-8），
由（2）可得：C（10，-6）；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B’在x軸下方，點(diǎn)A’在x軸上方時(shí)，
同理可得：A’（8，-2），B’（2，8），
由（2）可得：C（10，6）；
綜上可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，-6）或（10，6）．
【解析】【解答】（1）解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)C（x，y），
∵四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，
∴AO∥BC，AO=BC，
得出：，
解得：，
∴C（10，6）；
故答案為：（10，6）；
【分析】（1）由A、B坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）如圖所示，連接OC， 先用含ab的式子表示出平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理求出OC，根據(jù)偶次冪的非負(fù)性即可求出OC最小值；
（3） 分兩種情況：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥x軸，過點(diǎn)B作BG⊥x軸，證明?AOH??BOG，可得AH=OG=2，OH=BG=8，即得A（8，2），B（2，-8），由（2）可得C（10，-6）；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B’在x軸下方，點(diǎn)A’在x軸上方時(shí)，同理可求出結(jié)論.
25．【答案】（1）解：如圖1，過點(diǎn)B作BT⊥DA交DA延長線于T，
∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠ABC=45°，
∴DT∥BC，
∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，
∵∠T=90°，AB=6，
∴BT=AT=，
∴BD=2BT=；
（2）證明：如圖2，延長ED到R，使DR=DE，連接AR、BR，延長RB交CF的延長線于J，
∵∠ADE=90°，
∴AD⊥ER，
∵DR=DE，
∴AD垂直平分RE，
∴AR=AE，
∵AD=DR=DE，
∴∠RAE=∠BAC=90°，
∴∠RAB=∠EAC，
∵AR=AE，AB=AC，
∴△RAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABR=∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ=180°，
∴∠ACJ+∠ABJ=180°，
∴∠J+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠J=90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFC=∠J=90°，
∴DF∥RJ，
∴，
∵DE=DR，
∴EM=BM，
∴BM= BE；
（3）解：．
【解析】【解答】解：（3）取AB的中點(diǎn)Q，連接QN、QG，取QG的中點(diǎn)P，連接PA、PN、CE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，
∴∠AGC=∠AGB=90°，∠AEG=∠ACG=45°，AG=BG=CG，
∴A、G、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠AEC=∠AGC=90°，
∵BN=NE，BG=GC，BQ=AQ，
∴NG∥CE，QN∥AE，
∴∠QNG=∠AEC=90°，
∵GA=GB，AQ=QB，∠AGB=90°，
∴GQ=QA=QB=3，∠AQG=90°，
∴PQ=PG= ，
∴NP= QG=，AP=，
∵AN≤PA+PN，
∴當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為，過點(diǎn)G作GM⊥AC于M，
∵PN=PG，
∴∠PNG=∠PGN，
∵BG=GC，BQ=AQ，
∴GQ∥AC，
∴∠PGN=∠AKN，
∴∠PNC=∠AKN，即∠ANK=∠AKN，
∴AK=AN=，
∵∠AGC=90°，AG=GC，GM⊥AC，
∴GM=AC=3，
∴，
∵PQ=PG，
∴S△APG=S△AQP=·AQ·PQ=×3×，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1） 過點(diǎn)B作BT⊥DA交DA延長線于T，證明 ∠BAT=∠ABC=45°， ∠ADB=∠DBC=30°， 求出BT，可得BD=2BT；
（2） 延長ED到R，使DR=DE，連接AR、BR，延長RB交CF的延長線于J， 證明△RAB≌△EAC（SAS），再證明DF∥RJ， 根據(jù)平行線分線段成比例定理可得， 可證BM= BE；
（3）取AB的中點(diǎn)Q，連接QN、QG，取QG的中點(diǎn)P，連接PA、PN、CE，先證明A、G、E、C四點(diǎn)共圓，再證明當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為，過點(diǎn)G作GM⊥AC于M，再求出和，即可求出。
26．【答案】（1）證明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）解：∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAC=∠DAE， 再證明求解即可；
（2）先求出 ∠CAE=35°， 再求出 ∠C=∠AED， 最后計(jì)算求解即可。
27．【答案】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如圖，在的延長線上取點(diǎn)M，使，連接，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”證明即可；
（2）在的延長線上取點(diǎn)M，使，連接，先證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得。
28．【答案】（1）證明：①∠CAE=∠CBD，理由如下：
在△CAE和△ CBD中，
，
∴△CAE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD；
②∵CF⊥AE，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴BD=2CF，
又∵△CAE≌△CBD，
∴AE=2BD=2CF；
（2）解：AE=2CF仍然成立，理由如下：
如圖所示延長DC到G使得，DC=CG，連接BG，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中點(diǎn)，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位線，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．
【解析】【分析】（1）①利用SAS證出△CAE≌△CBD，即可得出∠CAE=∠CBD；②利用三角形全等得出△CAE≌△CBD，即可得出結(jié)論；
（2）AE=2CF成立，延長DC到G使得，DC=CG，連接BG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCE=∠ACB=90°，利用SAS證出△ACE≌△BCG，得出AE=BG，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出CF是△BDG的中位線，由此得出結(jié)論。
29．【答案】（1）
（2）直角三角形
（3）5
（4）解：圖形如圖所示：
【解析】【解答】解：（1）
（2），
∴
∴△ABC的形狀是一個(gè)直角三角形
（3）由（2）可知△ABC是直角三角形
∴
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理證明即可；
（3）利用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（4）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)，再連接即可。
30．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在和中，
，
∴（ASA），
∴OE=EF，
∴四邊形AODF為平行四邊形，
∵，
∴四邊形AODF為矩形．
（2）解：由（1）可知四邊形AODF為距形，
∴AD=OF=10，
∵，
∴，
∴，
∴OF和OA的長分別為10和5．
【解析】【分析】（1）由點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，可得AE=DE，根據(jù)ASA證明△AEF≌△DEO，可得OE=EF，根據(jù)對(duì)角線互相平分可證四邊形AODF為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，即得∠AOD=90°，根據(jù)矩形的判定定理即證；
（2）由矩形的性質(zhì)可得AD=OF=10，由菱形的性質(zhì)可得∠ABO=∠ABC=30°，AB=AD=10，從而得出OA=AB=5.

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