2.因式分解的幾種常用方法(1)提公因式法(2)運用公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2(3)二次三項式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(4)分組分解法：①分組后能提公因式；②分組后能運用公式.
1.因式分解的定義把一個多項式化為n個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解式分解因式.
3.因式分解的一般步驟可歸納為一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：(1)一“提”：先看多項式的各項是否有公因式，若有必須先提出來.(2)二“套”：若多項式的各項無公因式(或已提出公因式)，第二步則看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq型分解.(3)“三分”：若以上兩步都不行，則應考慮分組分解法，將能用上述方法進行分解的項分成一組，使之分組后能“提”或能“套”，當然要注意其要分解到底才能結(jié)束.(4)四“查”：可以用整式乘法檢查因式分解的結(jié)果是否正確.
3.下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2
1.(2007年·南京)分解因式：3x2-3= .
2.(2008·河北)分解因式： X2+2xy+y2-4= .
3(x+1)(x-1)
(x+y+2)(x+y-2)
4.(2007年·濟南)分解因式：a2-4a+4= .
5.(2008年·桂林)分解因式：a3+2a2+a= .
6.(2006年·呼和浩特)將下列式子因式分解 x-x2-y+y2= .
(x-y)(1-x-y)
7.(2007年·大連試驗區(qū))關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根為x1＝1，x2＝2，則x2+bx+c分解因式的結(jié)果為： .
8.(2008年·北京市)分解因式：x2-4y2+x-2y= .
(x-2y)(1+x+2y)
【例1】 因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；
解：(1)原式=-2xy(2x-y+6)
(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1)
(3)原式=［3(x+y)+2(x-y)］［3(x+y)-2(x-y)］ =(5x+y)(x+5y)
解：(4)原式=(9a2)2-1２ =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1)
【例1】 因式分解：(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.
(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4
(6)原式=(a２+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2
【例2】 因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n＞1的正整數(shù)). ?
解：原式=-3an-1［1-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1)］ =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2
【例3】 因式分解：(1)m3+2m2-9m-18；
解：(1)原式=(m3+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3)
或者：原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2)
解：(2)原式=a2-(b2+2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a-b-c)
(3)原式=(x2)2-5(x2)+4 =(x2-4)(x2-1) =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)(4)原式=x3-x2-x2-5x+6 =x2(x-1)-(x2+5x-6) =x2(x-1)-(x+6)(x-1) =(x-1)(x2-x-6) =(x-1)(x-3)(x+2)
【例3】 因式分解：(2)a2-b2-c2-2bc；(3)x4-5x2+4；(4)x3-2x2-5x+6.
【例4】 求證：對于自然數(shù)n，2n+4-2n能被30整除.
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.∵n為自然數(shù)時，2n-1為整數(shù)，∴2n+4-2n能被30整除.
【例5】 分解因式：x3+6x2+11x+6.
解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2)
方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6=x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x2+4x+3)=(x+2)(x+1)(x+3)
方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)
方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6)=x(x2+5x+6)+(x2+5x+6)=(x2+5x+6)(x+1)=(x+2)(x+3)(x+1)
1.因式分解應進行到底.如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+ )(x- ).應在實數(shù)范圍內(nèi)將它分解到底.又如：分解因式:22-8x-6=2(x2-4x-3)令x2-4x-3=0，則x= = =2±∴2x2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )
2.不要將因式分解的結(jié)果又用整式的乘法展開而還原.如:(a2+b2)２-4a2b2 =(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2 =［(a+b)(a-b)］2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4實際該題到第2個等于號就分解到底了，不能再向下計算了!
3.注意解題的技巧的應用，不能死算.如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9=［(x+1)(x+7)］［(x+3)(x+4)］-9=(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9=［(x2+8x)+7］［(x2+8x)+15］-9=(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9=(x2+8x)2+22(x2+8x)+96=(x2+8x +6)(x2+8x +16)=(x2+8x+6)(x+4)2
1.(2008年·福州市)分解因式：a2-25= .
2. (2008年·陜西)分解因式：x3y2-4x= .
3. (2008年·長沙)分解因式：xy2-x2y= .
x(xy+2)(xy-2)
4. (2007年·青海)分解因式：x2y-4xy+4y= .
5. (2008年·哈爾濱)分解因式： a2-2ab+b2-c2= .
(a-b+c)(a-b-c)

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