【問題描述】
如圖，點A坐標為（1，1），點B坐標為（4，3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．
【幾何法】“兩圓一線”得坐標
（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；
（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．
注意：若有三點共線的情況，則需排除．
【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等
（1）表示點：設點坐標為（m，0），又A點坐標（1，1）、B點坐標（4，3），
（2）表示線段：，
（3）分類討論，列出方程：根據(jù)，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐標為．
【小結(jié)】
幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；
（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標．
代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；
（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；
（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
（2024秋?紅塔區(qū)期中）
1．綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為，且，E是線段上的一個動點，過點E作直線垂直于x軸交直線和拋物線分別于點D、F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設點E的橫坐標為m，當m為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；
(3)點P是直線上的一個動點，若使三角形是等腰三角形，求出點P的坐標．
（2024秋?武威月考）
2．如圖，點C為二次函數(shù)的頂點，直線與該二次函數(shù)圖象交于、B兩點（點B在y軸上），與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點D．
(1)求m的值及點C坐標；
(2)在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
（2024秋?寶坻區(qū)校級月考）
3．已知：如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為，與y軸交于點，點P是直線下方的拋物線上一動點．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)過P點作y軸的平行線交直線于點E，求線段的最大值．
(3)在直線找一點Q，使得為等腰三角形，直接寫出Q點．
（2024?雅安）
4．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；
(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（2024?仁布縣一模）
5．如圖，二次函數(shù) 的圖象與 x 軸交于、兩點，與 y 軸交于點 C，D 為拋物線的頂點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求 的面積；
(3)在拋物線對稱軸上，是否存在一點P，使 P，B，C為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，寫出點P 的坐標；若不存在，請說明理由．
（2024?清鎮(zhèn)市校級模擬）
6．如圖，關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸相交于點和點，與軸相交于點．

(1)求二次函數(shù)的表達式．
(2)求線段的長．
(3)在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？直接寫出點的坐標．
（2024?濱湖區(qū)校級二模）
7．二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點，與y軸相交于點C，頂點為點D．
(1)求該二次函數(shù)的表達式；
(2)若拋物線的對稱軸l交x軸于點E，點P是線段DE上的一個動點（不與點E重合），連接，作交x軸于點，求k的取值范圍；
(3)連接AD、BD，點M、N分別在線段AB、AD上（均含端點），且，若是等腰三角形，求點M的坐標．
（2024?城關(guān)區(qū)校級一模）
8．如圖，關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸相交于點和點，與軸相交于點．

(1)求二次函數(shù)的表達式．
(2)求線段的長．
(3)在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？直接寫出點的坐標．
（2024春?渠縣校級月考）
9．如圖，一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、C兩點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、C兩點，與x軸交于另一點B，其對稱軸為直線
(1)求該二次函數(shù)表達式；
(2)在對稱軸上是否存在點P，使為等腰三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（2024?興慶區(qū)校級二模）
10．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，點，與軸交于點，點的坐標為，點是拋物線上一個動點，且在直線的上方.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)當點運動到什么位置時，的面積最大？請求出點的坐標和面積的最大值.
(3)除原點外，在軸上是否存在一點，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.
（2024?梅州模擬）
11．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)直線交二次函數(shù)的圖像于點，交直線于點，是否存在實數(shù)，使為等腰三角形，若存在，請求出這樣的值；若不存在，請說明理由．
（2024春?錫山區(qū)期中）
12．如圖1，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，且．點為拋物線第二象限上一動點．
(1)直接寫出該二次函數(shù)的表達式為 ___________；
(2)連接，求四邊形面積的最大值；
(3)如圖2，連結(jié)交于點，過點作軸的平行線交于點．當為等腰三角形時，求出點的坐標．
參考答案：
1．(1)；
(2)當時，有最大值，且最大值為4．
(3)點P的坐標為或或或．
【分析】（1）根據(jù)，，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)，，求出直線的解析式，根據(jù)點的橫坐標為，可用含的式子表示點的坐標，由此可得的長關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)最值的計算方法即可求解；
（3）根據(jù)題意可求出的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論：當、和時，分別列式計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，則，
把，代入二次函數(shù)解析式得，
，
解得，，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：由（1）可知，二次函數(shù)解析式為，且，，
∴設直線所在直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∵點E的橫坐標為m，直線垂直于x軸交直線和拋物線分別于點D、F，
∴點D、F的橫坐標為m，
∴，，
∴，
∴當時，有最大值，且最大值為4；
（3）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，且，
∴令時，，則，，
∴，且，
在，，，，
設，分三種情況：
當時，即，
∴，
解得，
∴或；
當時，即，
∴，
解得(舍去)，，
∴，
當時，即，
∴，
解得，
，
綜上，點P的坐標為或或或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
2．(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）將點坐標代入解析式可求的值，利用待定系數(shù)法可求拋物線解析式；
（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)求解．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，兩點距離公式，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解： 直線過點，
，
，
，
，
二次函數(shù)解析式為，
頂點坐標為；
（2）解：存在點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．
頂點坐標為，
對稱軸為直線，
過點作于點，
在中，．
①當時，設，
在中，
解之得
；
②當時，根據(jù)等腰三角形三線合一得：，
，
；
③當時，，
，．
綜上所述：點的坐標為或或或．
3．(1)
(2)
(3)Q點坐標為或或或
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，將兩點坐標代入解析式即可求得拋物線解析式；
（2）根據(jù)坐標求出所在直線解析式為，設，，進而求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）由于Q點在直線上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況進行討論，即可求得Q點坐標．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，
∴，
∴．
∴這個二次函數(shù)的表達式為．
（2）∵點P是直線下方的拋物線上一動點，
∴設，，
設直線的解析式為，
將點和點代入，
∴，
∴，
∴直線的解析式為．
∵過P點作y軸的平行線交直線于點E，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值為，
∴線段的最大值為．
（3）①∵，
∴，
∴，
∴當點Q與點B重合時，滿足為等腰三角形，
∴；
②當時，過點Q作于點D，如圖，
∵，
∴ ，
∴點Q的縱坐標為，
∵點Q在直線上，
∴，
∴．
∴Q；
③當時，過點Q作于點E，如圖，
∵，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴；
當時，過點Q作于點F，如圖，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
綜上，直線找一點Q，使得為等腰三角形，Q點坐標為或或或．
【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合主要思想，同時注意等腰三角形求解時需要進行多種情況討論．
4．(1)
(2)
(3)存在，點或或或或
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出點，再分類求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，
則，
則拋物線的表達式為：；
（2）解：由拋物線的表達式知，點，
由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，
設點，則點，
則，
∵，故有最大值，
此時，則，
即點；
（3）解：存在，理由：
設直線的表達式為，
由點的坐標得，，解得：，
∴直線的表達式為：，
令，，故，
過點作軸交軸于點，則，
，
則，
即直線和關(guān)于直線對稱，故，
設直線的表達式為，
代入，，得，
解得：，
則直線的表達式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，
解得：(舍去)或5，
即點；
設點，由的坐標得，，
當時，則，
解得：，即點或；
當或時，
同理可得：或，
解得：或，
即點或或；
綜上，點或或或或．
【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．(1)
(2)3
(3)存在，符合條件的 P 點坐標為
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)與面積的綜合、二次函數(shù)與三角形的綜合等知識點，掌握分類討論和數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得、，再運用待定系數(shù)法求得直線的解析式為；如圖：過D作x軸的垂線交于E， 垂足為F．則,
則，最后根據(jù)三角形的面積公式即可解得；
（3）如圖：設點， 連接,根據(jù)兩點間的距離公式可得、、，然后再分、、三種情況分別解得即可．
【詳解】（1）解∶ 由拋物線 經(jīng)過、兩點，
則，解得：，
所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：．
（2）解：∵，
∴，
當時，，即，
由待定系數(shù)法可得直線的解析式為．
如圖：過D作x軸的垂線交于E， 垂足為F．則,
∴,
∴．
（3）解：存在．
如圖：設點， 連接,
,,；
①若，則，即，
解得．即 ．
②若，則即，
解得：，即 ；
③若，則，
解得：，即．
綜上， 符合條件的 P 點坐標為 ，、．
6．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．
（1）代入和，解方程組即可；
（2）令，求出點B的坐標，利用兩點間距離公式求解即可；
（3）當為等腰三角形時分三種情況進行討論：①；②；③．
【詳解】（1）解：解：把和代入，
解得：，，
二次函數(shù)的表達式為：；
（2）解：令拋物線，則，
解得或，
根據(jù)題意：，
，
；
（3）解：，
點在軸上，當為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖，

①當時，，
又∵，
，；
②當時，，
；
③當時，
此時與重合，
；
綜上所述，點的坐標為：或或或．
7．(1)
(2)
(3)點M的坐標為或或
【分析】（）由待定系數(shù)法即可求解；
（）由,得 在 中,根據(jù)( 列方程即可得到根據(jù)a的取值范圍即可求出的取值范圍;
（3）證明，并求出的取值范圍，分①若；②若 ；③若 ；三種情況討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求出點的坐標.
【詳解】（1）由題意得: 解得：，
則拋物線的表達式為：，
（2）由拋物線的表達式知，點的坐標為，
∵，
∴頂點坐標為，
由點在線段DE上，設點的坐標為，則，
，
，
，
，
在中, ，
，
整理得
，
∴當時, 取得最大值；
當 時，取得最小值；
；
（3）由拋物線對稱性可得, ,
∵,
∴,
把代入；
解得
∴點的坐標為,
設點的坐標為,
∵點在線段AB上 (含端點) ,
∴,
①若, 則,
∵,
∴,
得點與點重合，則點與點重合，
∴點的坐標為；
②若, 則,
∵,
∴,
∴, 即
解得：，
∴點的坐標為；
③若, 則,
∵是的外角,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
∴,
，
解得：
∴點的坐標為 ；
綜上所述，若是等腰三角形，則點的坐標為或或
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的額性質(zhì)與判定，二次函數(shù)與等腰三角形的存在性問題，本題的關(guān)鍵是把握題目等腰三角形的條件，利用分類討論思想解決問題.
8．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．
（1）代入和，解方程組即可；
（2）令，求出點B的坐標，利用兩點間距離公式求解即可；
（3）當為等腰三角形時分三種情況進行討論：①；②；③．
【詳解】（1）解：解：把和代入，
解得：，，
二次函數(shù)的表達式為：；
（2）解：令拋物線，則，
解得或，
根據(jù)題意：，
，
；
（3）解：，
點在軸上，當為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖，

①當時，，
又∵，
，；
②當時，，
；
③當時，
此時與重合，
；
綜上所述，點的坐標為：或或或．
9．(1)
(2)存在，點P的坐標為：或或或或
【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點之間距離公式，分類討論是本題求解的關(guān)鍵．
（1）分別求出點，點的坐標，根據(jù)對稱軸求出另一交點，再根據(jù)交點式得出答案；
（2）分、、三種情況，利用線段長度相等，列出等式求解即可．
【詳解】（1）解：對于，當時，，即點，
令，則，即點.
∵拋物線的對稱軸為直線，則點，
設二次函數(shù)表達式為：，
∵拋物線過點，
則，
解得：，
故拋物線的表達式為：；
（2）解：存在，理由：
根據(jù)題意對稱軸，設點，
由點A、C、P的坐標得：，，，
當時，則，
解得：，
即點P的坐標為：或；
當時，則，
解得：，
即點；
當時，則，
解得：，
即點P的坐標為：或．
綜上，點P的坐標為：或或或或．
10．(1)
(2)點的坐標為，的面積的最大值為．
(3)存在，，或，或，，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解．
（2）設出點的坐標，作輔助線，表示出三角形和三角形的面積，即可求解．
（3）設出點的坐標，分三種情況解方程即可．
【詳解】（1）將，代入，
得，
解得，
二次函數(shù)的解析式為．
（2）如圖，過點作軸的平行線與交于點，
設，直線的解析式為，
則，
解得，
直線的解析式為，
則，
，
當時，的面積最大，
此時，點的坐標為，的面積的最大值為．
（3）存在．
設，
，，
為等腰三角形，
①，
，
，
（舍去），
②，
，
，
（舍或，
，
③，
，
或，
，或，，
存在點坐標為，或，或，，
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，關(guān)鍵是要會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，還要牢記等腰三角形的定義，對于求三角形面積最大值的問題，一般是將三角形分割成兩個三角形，即作軸的平行線或軸的平行線，然后再利用面積公式得出一個二次函數(shù)，求出頂點的縱坐標即是最大值．
11．(1)
(2)當或或4時，為等腰三角形
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及兩點距離公式是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)待定系數(shù)法可進行求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、兩點距離公式可進行求解．
【詳解】（1）解：將代入，
得，
解得：，
所以．
（2）解：設直線，因為，
∴，解得：，
所以直線，
∴，
∴，
根據(jù)題意設有，，，過點作，垂足為點，
∴軸，
∴，
∴；
∴
∴；；
∴；；
若為等腰三角形，分以下三種情況：
①當時，有，解得：或5或0，而又，因此．
②當時，有，即，解得：或0，而又，因此．
③當時，有，解得：或0，而又，因此．
綜上所述，當或或4時，為等腰三角形．
12．(1)
(2)
(3)點的坐標為：或
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與y軸的交點可得，，則，將點的坐標代入拋物線表達式，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)點的坐標可得直線的解析式，由二次函數(shù)與坐標軸的交點的計算可得點的坐標，如圖所示，過點作軸的垂線，交于點，可得，由此可得四邊形面積，代入計算，再根據(jù)二次函數(shù)求最值的計算方法即可求解；
（3）設點，則點，可得直線的表達式為：，根據(jù)兩直線的交點的計算可得點的坐標為：，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論：當時，則點在的中垂線上；當時，即；由此即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)中，令時，，
∴，
∴，
∴點，
將點的坐標代入拋物線表達式得：，
解得：a=?1，
則拋物線的表達式為：，
故答案為：；
（2）解：，，
設直線的解析式為y=kx+bk≠0，
∴，
解得，k=1b=3，
∴直線的表達式為：，
在二次函數(shù)中，當時，，
解得，，
∴，則，
如圖所示，過點作軸的垂線，交于點，
∵點為拋物線第二象限上一動點，
∴設點，則點，
∴，
∴四邊形面積
，
∵，
故四邊形面積存在最大值，
當時，四邊形ABCP面積的最大值為；
（3）解：設點，則點，
設直線的解析式為：，，
∴，
解得，，
∴直線的表達式為：，
聯(lián)立上式和直線的表達式得：，
解得：，則點的坐標為：，
由直線的表達式知，其和軸正半軸的夾角為，
如果，則，則，故不存在，
則，
而，
當時，
則點在的中垂線上，則，
∴，
解得：（舍去）或，
即點；
當時，即，
解得：（舍去）或，
即點，
綜上，點P的坐標為：?2,3或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，等腰三角形的定義及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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