1．如圖，拋物線過點(diǎn)A（?1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且，拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，試探究是否存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2024秋?長沙期中）
2．如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，經(jīng)過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出的坐標(biāo)．
（2024秋?阜陽期中）
3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)P是拋物線段上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出面積的最大值；
(3)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2023?成都模擬）
4．如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D在y軸上，其坐標(biāo)為．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知在線段下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q，連接，．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）條件下，將拋物線沿射線平移個(gè)單位長度，得到新的拋物線（如圖2），點(diǎn)R在新拋物線的對稱軸上．在直線上有一點(diǎn)S，使得以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（2023?懷遠(yuǎn)縣校級模擬）
5．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)F在x軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得以O(shè)，F(xiàn)，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2024春?萊蕪區(qū)期中）
6．已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，在x軸下方作x軸的平行線l，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C．當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以每秒1個(gè)單位長度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F，當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
（2024?陽西縣一模）
7．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．
①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求m的值；
②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5）或（-1，0）
【分析】（1）先求得點(diǎn)C（0，3），再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)，由PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，可知點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，四邊形EDPQ為平行四邊形，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（?1，0），，
∴，
∴點(diǎn)C（0，-3），
將點(diǎn)A（?1，0）、點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，-3）代入拋物線，
可得，解得，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）設(shè)直線BC解析式為，將點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，-3）代入，
可得，解得，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為；
（3）存在，設(shè)點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
∵拋物線的頂點(diǎn)為D，
∴點(diǎn)D（1，-4），
∵點(diǎn)E（1，0），
∴，，
若EDPQ為平行四邊形，則，
∵點(diǎn)D（1，-4），點(diǎn)E（1，0），
∴，
∴，
∴或，
當(dāng)時(shí)，解得，；
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，無解．
∴，，
∴存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5）或（-1，0）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖形問題，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．
2．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解；
（2）先求出直線的解析式，作軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)，用含p的二次函數(shù)表示出的面積，即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，分點(diǎn)P在第一、二、四象限三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)列方程，即可求解
【詳解】（1）解：中，令，得，
令，則，解得，
，，
將，，代入，
得：，解得，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
直線的解析式為．
如圖，作軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值4，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3；
（3）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，分三種情況，
當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，，
即，
解得，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
同理，當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，，
即，
解得，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，，
即，
解得，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
綜上可知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)等，第二問的關(guān)鍵是用二次函數(shù)表達(dá)出，第三問的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．
3．(1)
(2)，此時(shí)
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，，通過表示出函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；方法二：作于Q，交于點(diǎn)D，，求得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行求解即可；
（3）分兩種情況，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)或當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
方法一：如圖1，
連接，
設(shè)點(diǎn)，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
方法二：如圖2，
作于Q，交于點(diǎn)D，設(shè)解析式為：
∵，則，解得
∴直線的解析式為：，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
（3）解：如圖3，
當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，，
∵拋物線對稱軸為直線：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)：
如圖4，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，，
綜上所述：或或．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)與面積問題，二次函數(shù)與特殊的平行四邊形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．
4．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）將A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，建立方程組，求解即可；
（2）分別求出直線，的解析式，可證，所以的面積的面積，進(jìn)而求的面積最大可轉(zhuǎn)化為求的面積最大；過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，表達(dá)的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）由平移的性質(zhì)可知，拋物線沿射線平移個(gè)單位長度，即向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，由此可得出新拋物線的解析式，可得出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可分類討論∶當(dāng)是平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，分別求解即可，
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，
∴，
解得，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)為；
（2）解：如圖1，連接．
∵拋物線與y軸交于點(diǎn) C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
代入和得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
代入和得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
，．
．
．
過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
則，，
．
，
高的和為3，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，為，，
此時(shí)；
（3）解：由平移的性質(zhì)可知，拋物線沿射線平移個(gè)單位長度，即向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，
∴平移后的拋物線為：．
∵點(diǎn)R在新拋物線對稱軸上，
,
∴點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為．
若以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，需要分以下兩種情況：
①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，或，
或，
解得或．
或．
或，
或，
或，
或；
②當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，，
，
解得，
；
，
，
．
．
綜上，若以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)R的坐標(biāo)為：
或或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，與拋物線有關(guān)的動(dòng)三角形的面積最值，平行四邊形的存在性等問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論的思想解決問題．
5．(1)
(2)存在，或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分兩種情況討論，①當(dāng)以為平行四邊形的一邊時(shí)，②當(dāng)以為平行四邊形的對角線時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：存在，
拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，則，解得：，
∴直線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)為的坐標(biāo)為，
當(dāng)以為平行四邊形的一邊時(shí)，此時(shí)，即軸，
過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)以為平行四邊形的對角線時(shí)，此時(shí)也為平行四邊形的對角線，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性質(zhì)，一次函數(shù)解析式求解，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．(1)
(2)
(3)4或6或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）由（2）可得出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可得出，分，，三種情況找出，的長，由可得出關(guān)于t的-元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為
，
將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：設(shè)直線l的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
∵矩形為正方形，
，
解得：（舍去），．
，
即點(diǎn)；
（3）解：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．
由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為，
代入，，
得，
解得，
直線的解析式為．
當(dāng)時(shí)， ，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
∵以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且，
，分三種情況考慮：
①當(dāng)時(shí)，
，，
，
解得：（舍去），；
②當(dāng)時(shí)，
，，
，
解得：（舍去），；
③當(dāng)時(shí)，
，，
，
解得：（舍去），．
綜上所述：當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或6或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是∶(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式∶(2)利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程∶(3) 分，，三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元二次方程．
7．(1)（或）
(2)①，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，再把代入即可得出答案；
（2）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，根據(jù)，又因?yàn)椋C明出，從而得出，將，，代入即可求出m的值；
②根據(jù)上問可以得到，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以為邊時(shí)，存在平行四邊形為；2）當(dāng)以為邊時(shí)，存在平行四邊形為；3）當(dāng)以為對角線時(shí)，存在平行四邊形為；即可得出答案．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可得：，
∴，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，
∴，，
在中，，
當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；
②由題可得點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
∴，
∵點(diǎn)M在直線上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，
存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，
1）、當(dāng)以為邊時(shí)，平行四邊形為，
點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、當(dāng)以為邊時(shí)，平行四邊形為，
點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，
∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、當(dāng)以為對角線時(shí)，
點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴代入，
得：，
∴，
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．

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