?16二次函數(shù)的存在性問題

【典例分析】
【考點1】二次函數(shù)與相似三角形問題
【例1】已知拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）點F是線段AD上一個動點．
①如圖1，設，當k為何值時，.
②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形是否與相似？若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由．
【答案】（1），D的坐標為；（2）①；②以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，F(xiàn)點的坐標為或．
【解析】(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對應的函數(shù)表達式，可求得頂點；
(2)①由A、C、D三點的坐標求出，，，可得為直角三角形，若，則點F為AD的中點，可求出k的值；
②由條件可判斷，則，若以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，可分兩種情況考慮：當或時，可分別求出點F的坐標．
【詳解】(1)拋物線過點，，
，解得：，
拋物線解析式為；
，
頂點D的坐標為；
(2)①在中，，，
，
，，，
，
，
，
為直角三角形，且，
，
F為AD的中點，
，
；
②在中，，
在中，，
，
，
，
，
若以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：
當時，，
，
設直線BC的解析式為，
，解得：，
直線BC的解析式為，
直線OF的解析式為，
設直線AD的解析式為，
，解得：，
直線AD的解析式為，
，解得：，
．
當時，，
，
，
直線OF的解析式為，
，解得：，
，
綜合以上可得F點的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．
【變式1-1】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，且與軸交于點，拋物線與直線交于，兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）坐標軸上是否存在一點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）點在軸上且位于點的左側，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標．

【答案】（1）；（2）存在，或，理由見解析；（3）或．
【解析】（1）將A、C的坐標代入求出a、c即可得到解析式；
（2）先求出E點坐標，然后作AE的垂直平分線，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知Q、與A、E，Q'與A、E組成的三角形是以AE為底邊的等腰三角形，設Q點坐標(0,x)，Q'坐標(0,y)，根據(jù)距離公式建立方程求解即可；
（3）根據(jù)A、E坐標，求出AE長度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，設，由相似得到或，建立方程求解即可．
【詳解】（1）將，代入得：
，解得
∴拋物線解析式為
（2）存在，理由如下：
聯(lián)立和，
，解得或
∴E點坐標為(4,-5)，
如圖，作AE的垂直平分線，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，

此時Q點與Q'點的坐標即為所求，
設Q點坐標(0,x)，Q'坐標(0,y)，
由QA=QE，Q'A= Q'E得：
，
解得，
故Q點坐標為或
（3）∵，
∴，
當時，解得或3
∴B點坐標為(3,0)，
∴
∴，，，
由直線可得AE與y軸的交點為(0,-1)，而A點坐標為(-1,0)
∴∠BAE=45°
設則，
∵和相似
∴或，即或
解得或，
∴或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，是中考常見的壓軸題型，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
【變式1-2】如圖，已知拋物線(m＞0)與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側.
（1）若拋物線過點（2，2），求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使AH+CH的值最小，若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）點H的坐標為（1，）；（3）當m=時，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.
【解析】
分析：
（1）把點（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；
（2）由（1）中所得解析式求出點A、B、C的坐標，由題意可知，點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，這樣連接BC與對稱軸的交點即為所求的點H，根據(jù)B、C的坐標求出直線BC的解析式即可求得點H的坐標；
（3）由解析式可得點A、B、C的坐標分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知∠ACB和∠ABM是鈍角，因此存在兩種可能性：①當△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分這兩種情況結合題中已知條件進行分析解答即可.
詳解：
（1）把點（2，2）代入拋物線，
得2=.
解得m=4.
∴拋物線的解析式為.
（2）令，解得.
則A（-2，0），B（4，0）.
對稱軸x=-.
∵ 中當x=0時，y=2，
∴點C的坐標為（0，2）.
∵點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接BC與對稱軸的交點即為點H，此時AH+CH的值最小，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，
∴直線BC的解析式為y=.
∵當x=1時，y==.
∴點H的坐標為（1，）.
（3）假設存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.
如下圖，連接AC，BC，AM，BM，過點M作MN⊥x軸于點N，

由圖易知，∠ACB和∠ABM為鈍角，
①當△ACB∽△ABM時，有=，即.
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=∠BAM=.
∵MN⊥x軸，∴∠BAM=∠AMN=45°，
∴AN=MN.
∴可設M的坐標為：（x，-x-2）（x＞0），
把點M的坐標代入拋物線的解析式，得：-x-2=.
化簡整理得：x=2m，
∴點M的坐標為：（2m，-2m-2）.
∴AM=.
∵，AC=，AB=m+2，
∴.
解得：m=.
∵m＞0，
∴m=.
②當△ACB∽△MBA時，有=，即.
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=，
∴△ANM∽△BOC，∴=.
∵BO=m，設ON=x，
∴=，即MN=（x+2）.
令M（x，）（x＞0），
把M點的坐標代入拋物線的解析式，
得=.
解得x=m+2.即M（m+2，）.
∵，CB=，MN=，
∴.
化簡整理，得16=0，顯然不成立.
綜上所述，當m=時，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.
點睛：本題是一道二次函數(shù)和幾何圖形綜合的題目，解題的要點有以下兩點：（1）“知道點A、B是關于拋物線的對稱軸對稱的，連接BC與對稱軸的交點即為所求的點H”是解答第2小題的關鍵；（2）“能根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，知道∠ACB和∠ABM為鈍角，結合題意得到存在：①當△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA這兩種可能情況”是解答第3小題的關鍵.
【考點2】二次函數(shù)與直角三角形問題
【例2】如圖，拋物線的頂點坐標為，圖象與軸交于點，與軸交于、兩點．

求拋物線的解析式；
設拋物線對稱軸與直線交于點，連接、，求的面積；
點為直線上的任意一點，過點作軸的垂線與拋物線交于點，問是否存在點使為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1) ;(2)2;(3)見解析.
【解析】（1）可設拋物線解析式為頂點式，把C點坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，利用對稱軸可求得D點坐標，則可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD為直角三角形，則可求得其面積；
（3）根據(jù)題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，當∠DFE=90°時，可知DF∥x軸，則可求得E點縱坐標，代入拋物線解析式可求得E點坐標；當∠EDF=90°時，可求得直線AD解析式，聯(lián)立直線AC和拋物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線BC可求得點E的坐標．
【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，
∴可設拋物線解析式為，
把代入可得，解得，
∴拋物線解析式為；
在中，令可得，解得或，
∴，，
設直線解析式為，把代入得：，解得，
∴直線解析式為，
由可知拋物線的對稱軸為，此時，
∴，
∴，，，
∵，
∴是以為斜邊的直角三角形，
∴；
由題意知軸，則，
∴為直角三角形，分和兩種情況，
①當時，即軸，則、的縱坐標相同，
∴點縱坐標為，
∵點在拋物線上，
∴，解得，即點的橫坐標為，
∵點在直線上，
∴當時，，當時，，
∴點坐標為或；
②當時，
∵，，
∴直線解析式為，
∵直線解析式為，
∴，
∴直線與拋物線的交點即為點，
聯(lián)立直線與拋物線解析式有，解得或，
當時，，當時，，
∴點坐標為或，
綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或或．
【點睛】考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用已知的頂點坐標，列出方程組，可以求出函數(shù)解析式.
【變式2-1】如圖，經(jīng)過軸上兩點的拋物線（）交軸于點，設拋物線的頂點為，若以為直徑的⊙G經(jīng)過點，求解下列問題：
（1）用含的代數(shù)式表示出的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）能否在拋物線上找到一點，使為直角三角形？如能，求出點的坐標，若不能，請說明理由。

【答案】（1）點的坐標為,點的坐標為；（2） 拋物線的解析式為；（3）滿足題意的點有三個：、和
【解析】
【試題分析】
（1）是頂點式，則頂點的坐標為,當x=0,則y=-3m,即點的坐標為；
（2）連接CD 、 BC，過點作軸于，如圖①所示:根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得 ,出現(xiàn)“一線三等角模型”，得 得： ，解得，則拋物線的解析式為.
（3）分三種情況分類討論： （圖①）顯然與點重合，點坐標為 ；=（圖②）作軸于，軸于，根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似，得，，則，由于點坐標，則，解得：
由得坐標： ；=（圖③）延長交軸于，作軸于，軸于,同理可證：，則，即,得，點的坐標為，設所在的直線解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法，把M和D（1,4）代入得：
解得：
則直線DM的解析式為 ,把代入得：，解得，，最后把代入 得,點的坐標為
綜上述，點有三個：、和
【試題解析】
（1）∵y是頂點式
∴點的坐標為
當x=0時，y= -3m
點的坐標為
（2） 連接CD 、 BC，過點作軸于，如圖①所示：
∵BD是⊙G的直徑
∴∠DCB=
∴∠ECD+∠BCO=
∵∠ECD+∠EDC=
∴∠BCO=∠EDC
∵∠DEC=∠BOC=∴
∵∴
∴拋物線的解析式為
（3）能在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形
很明顯，點即在拋物線上，又在⊙G上，，這時與點重合
點坐標為
如圖②，若為，作軸于，
軸于
同理可證：
∴
∴
∵點坐標
∴
化簡得：,解得：（不合題意，舍去），
由得坐標：
若為,如圖③，延長交軸于，
作軸于，軸于,同理可證：
∴
則,得，點的坐標為
設所在的直線解析式為y=kx+b,把M和D（1,4）代入得：
解得：
∴直線DM的解析式為 ,把代入得：
解為：（不合題意，舍去），，
把代入 得,點的坐標為
綜合上述，滿足題意的點有三個：、和

【方法點睛】本題目是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及到頂點坐標，與坐標軸的交點，一線三等角證相似，并且多次運用相似三角形的對應邊成比例，直角三角形的確定（3種情況分類討論），難度較大.
【變式2-2】已知拋物線與軸只有一個交點，且與軸交于點，如圖，設它的頂點為B．

（1）求的值；
（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線上求點P，使得△是以EF為直角邊的直角三角形？
【答案】（1）m = 2；（2）證明見解析；（3）滿足條件的P點的坐標為（，）或（，）．
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸只有一個交點可知△的值為0，由此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出頂點坐標，根據(jù)A點在y軸上求出A點坐標，再求C點坐標，根據(jù)三個點的坐標得出△ABC為等腰直角三角形；
（3）根據(jù)拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直角頂點和以F為直角頂點P的坐標．
試題解析：（1）∵拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有一個交點，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知拋物線的解析式為y=x2-2x+1=（x-1）2，易得頂點B（1，0），
當x=0時，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點坐標為：（2，1）．
過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD=1，BD=xD-xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由題知，拋物線C′的解析式為y=x2-2x-3，
當x=0時，y=-3；
當y=0時，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F(xiàn)（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一種情況：若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P1（x1，y1），作P1M⊥x軸于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
則，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在拋物線C′上，
則有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1＝，或x2=-1（舍去）
把x1＝代入①中可解得，
y1=．
∴P1（，）．
第二種情況：若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2（x2，y2），作P2N⊥y軸于N．

同第一種情況，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，F(xiàn)N=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在拋物線C′上，
則有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2＝．
把x2＝代入②中可解得，
y2＝?．
∴P2（，?）．
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：（，）或（，?）.
【考點3】二次函數(shù)與等腰三角形問題
【例3】如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的表達式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
（3）若拋物線上有一動點M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．
（4）拋物線的對稱軸上是否存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【解析】（1）由點A，D的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，連接BD，交拋物線的對稱軸于點P，由拋物線的對稱性及兩點之間線段最短可得出此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度，再由點B，D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出PA+PD的最小值；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，設點M的坐標為（x，x2+2x-3），由△ABM的面積等于△ABC的面積可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出點M的坐標；
（4）設點Q的坐標為（-1，m），結合點B，C的坐標可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點Q的坐標．
【詳解】解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3．
（2）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴點B的坐標為（1，0）．
連接BD，交拋物線的對稱軸于點P，如圖1所示．

∵PA＝PB，
∴此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度．
∵點B的坐標為（1，0），點D的坐標為（﹣2，﹣3），
∴BD＝＝3，
∴PA+PD的最小值為3．
（3）當x＝0時，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴點C的坐標為（0，﹣3）．
設點M的坐標為（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，
∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．
（4）設點Q的坐標為（﹣1，m）．
∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三種情況考慮（如圖2所示）：

①當BQ＝BC時，m2+4＝10，
解得：m1＝，m2＝﹣，
∴點Q1的坐標為（﹣1，），點Q2的坐標為（﹣1，﹣）；
②當CQ＝CB時，m2+6m+10＝10，
解得：m3＝0，m4＝﹣6，
∴點Q3的坐標為（﹣1，0），點Q4的坐標為（﹣1，﹣6）；
③當QB＝QC時，m2+4＝m2+6m+10，
解得：m5＝﹣1，
∴點Q5的坐標為（﹣1，﹣1）．
綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形，點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點間的距離公式、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次（或一元一次）方程，解題的關鍵是：（1）由點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）利用兩點之間線段最短，找出點P的位置；（3）利用兩三角形面積相等，找出關于x的一元二次方程；（4）分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關于m的方程．
【變式3-1】如圖，拋物線與x軸交于點A（1，0）和B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，F(xiàn)C∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）C（4，3）；（3）P（）或（）或（）或（）．
【解析】
試題分析：（1）把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標，然后代入函數(shù)解析式計算求出縱坐標，即可得解；
（3）設AC、EF的交點為D，根據(jù)點C的坐標寫出點D的坐標，然后分①O是頂角，②C是頂角，③P是頂角三種情況討論．
試題解析：（1）把點A（1，0）和B（3，0）代入得，
，解得，所以，拋物線的解析式為；
（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵四邊形OECF是平行四邊形∴點C的橫坐標是4，
∵點C在拋物線上，∴，
∴點C的坐標為（4，3）；
（3）∵點C的坐標為（4，3），∴OC的長為5，
①點O是頂角頂點時，OP=OC=5，
∵，OE=2∴，
所以，點P的坐標為（2，）或（2，-）；
②點C是頂角頂點時，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，
所以，點P的坐標為（2，）或（2， ）；
③點P是頂角頂點時，點P在OC上，不存在.
綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使△OCP是等腰三角形．
考點：二次函數(shù)綜合題．
【變式3-2】如圖，拋物線與直線相交于兩點，且拋物線經(jīng)過點.

（1）求拋物線的解析式；
（2）點是拋物線上的一個動點（不與點、點重合），過點作直線軸于點，交直線于點.
①當時，求點坐標；
② 是否存在點使為等腰三角形，若存在請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）①P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；②（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
【解析】
試題分析：（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）①可設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標；
②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關于E點坐標的方程，可求得E點坐標，則可求得P點坐標．
試題解析：（1）∵點B（4，m）在直線y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B（4，5），
把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得，解得，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；
（2）①設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），
則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，
當﹣x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=﹣1或x=2，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，
∴P（2，9）；
當﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時，解得x=﹣1或x=6，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，
∴P（6，﹣7）；
綜上可知P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；
②設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE=|x﹣4|，CE=，BC=，
當△BEC為等腰三角形時，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，
當BE=CE時，則|x﹣4|=，解得x=，此時P點坐標為（，）；
當BE=BC時，則|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此時P點坐標為（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
當CE=BC時，則=，解得x=0或x=4，當x=4時E點與B點重合，不合題意，舍去，此時P點坐標為（0，5）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
考點：二次函數(shù)綜合題．
【考點4】二次函數(shù)與平行四邊形問題
【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸相交于（0，﹣），頂點為P．
（1）求拋物線解析式；
（2）在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）坐標平面內(nèi)是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標，并求出平行四邊形的面積．

【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）點F的坐標為（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四邊形的面積為 8
【解析】（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根據(jù)拋物線解析式可知頂點P的坐標，由兩個三角形的底相同可得要使兩個三角形面積相等則高相等，根據(jù)P點坐標可知E點縱坐標，代入解析式求出x的值即可；（3）分別討論AB為邊、AB為對角線兩種情況求出F點坐標并求出面積即可；
【詳解】（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將（﹣3，0），（1，0），（0，）代入拋物線解析式得，
解得：a=，b=1，c=﹣
∴拋物線解析式：y=x2+x﹣
（2）存在．
∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2
∴P點坐標為（﹣1，﹣2）
∵△ABP的面積等于△ABE的面積，
∴點E到AB的距離等于2，
設E（a，2），
∴a2+a﹣=2
解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2
∴符合條件的點E的坐標為（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）
（3）∵點A（﹣3，0），點B（1，0），
∴AB=4
若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴AB∥PF，AB=PF=4
∵點P坐標（﹣1，﹣2）
∴點F坐標為（3，﹣2），（﹣5，﹣2）
∴平行四邊形的面積=4×2=8
若AB為對角線，以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴AB與PF互相平分
設點F（x，y）且點A（﹣3，0），點B（1，0），點P（﹣1，﹣2）
∴ ，
∴x=﹣1，y=2
∴點F（﹣1，2）
∴平行四邊形的面積=×4×4=8
綜上所述：點F的坐標為（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四邊形的面積為8．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的幾何應用，分類討論并熟練掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想方法是解題關鍵.
【變式4-1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，經(jīng)過A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三點，且．

（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．
【答案】（1），；（2）D（，）；（3）存在一點P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形，不能為正方形．
【解析】
試題分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運用根與系數(shù)的關系及，可求出b；
（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；
（3）由四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形即可．
試題解析：（1）∵拋物線，經(jīng)過點A（0，﹣4），∴c=﹣4，
又∵由題意可知，、是方程的兩個根，∴，，由已知得，∴，∴，∴，解得：，
當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=；
（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上，又∵=，∴拋物線的頂點（，）即為所求的點D；
（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線x=﹣3與拋物線的交點，∴當x=﹣3時，=4，∴在拋物線上存在一點P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（﹣3，3），但這一點不在拋物線上．
考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．探究型；3．存在型；4．壓軸題．
【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于，兩點，直線交軸與點，點是直線上的動點，過點作軸交于點，交拋物線于點.
(1)求拋物線的表達式；
(2)連接，，當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；
(3)①在軸上存在一點，連接，，當點運動到什么位置時，以為頂點的四邊形是矩形？求出此時點的坐標；
②在①的前提下，以點為圓心，長為半徑作圓，點為上一動點，求的最小值.

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②．
【解析】
試題分析:（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；
（3）①先判斷出要以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；
②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點P的坐標即可得出結論．
試題解析：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；
（2）設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
設E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四邊形GEOB是平行四邊形，
∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，
∴m=﹣2，
∴G（﹣2，4）；
（3）①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，
∴設E（a，2a+4），
∵直線AC：y=﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
設H（0，p），
∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，
∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF為對角線，
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），
∴a=﹣2，P=﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如圖2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=，AE=2，
設AE交⊙E于G，取EG的中點P，
∴PE=，
連接PC交⊙E于M，連接EM，

∴EM=EH=，
∴=，
∵=，
∴，
∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM=AM，
∴AM+CM的最小值=PC，
設點P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
∵PE=，
∴5（p+2）2=，
∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC=，
即：AM+CM=．
考點：二次函數(shù)綜合題．
【達標訓練】
一、單選題
1．將拋物線y=﹣2x2﹣1向上平移若干個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，如果這些交點能構成直角三角形，那么平移的距離為（ ）
A．個單位 B．1個單位
C．個單位 D．個單位
【答案】A
【解析】
試題分析設拋物線向上平移a（a＞1）個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，
且這些交點能構成直角三角形，
則有平移后拋物線的解析式為：y=﹣2x2﹣1+a，AM=a，
∵拋物線y=﹣2x2﹣1與y軸的交點M為（0，﹣1），即OM=1，
∴OA=AM﹣OM=a﹣1，
令y=﹣2x2﹣1+a中y=0，得到﹣2x2﹣1+a=0，
解得：x=±，∴B（﹣，0），C（，0），即BC=2，
又△ABC為直角三角形，且B和C關于y軸對稱，即O為BC的中點，
∴AO=BC，即a﹣1=，兩邊平方得：（a﹣1）2=，
∵a﹣1≠0，∴a﹣1=，解得：a=．
故選A

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
2．如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線上的動點，若是以為底的等腰三角形，則的值為（ ）．

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】
作中垂線交拋物線于，（在左側），交軸于點;連接P1D,P2D.

易得 ．
∴，．
將代入中得，．
∴，．
∴，．
故選B.
當△PCD是以CD為底的等腰三角形時,則P點在線段CD的垂直平分線上,由C、D坐標可求得線段CD中點的坐標,從而可以知道P點的縱坐標,代入拋物線解析式可求得P點坐標.
二、填空題
3．如圖，拋物線的頂點為，直線與拋物線交于，兩點．是拋物線上一點，過作軸，垂足為．如果以，，為頂點的三角形與相似，那么點的坐標是________．

【答案】，，．
【解析】根據(jù)拋物線的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；則△ACD是等腰直角三角形，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根據(jù)D、C的坐標，用待定系數(shù)法可求出直線DC的解析式，而AB∥DC，則直線AB與DC的斜率相同，再加上A點的坐標，即可求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，可求出B點的坐標，即可得出AB、AC的長．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若兩三角形相似，則直角邊對應成比例，據(jù)此可求出M點的坐標．
【詳解】易知：A(?1,0),D(1,0),C(0,?1)?；
則OA=OD=OC=1?，
∴△ADC?是等腰直角三角形，
∴∠ACD=90?°?,AC=??；
又∵AB?∥DC?，
∴∠BAC=90?°?；
易知直線BD?的解析式為y=x?1?，
由于直線AB?∥DC,?可設直線AB?的解析式為y=x+b,?由于直線AB?過點A(?1,0)?；
則直線AB?的解析式為：y=x+1?，
聯(lián)立拋物線的解析式：??，
解得?,；
故B(2,3)?；
∴AP==3??；
Rt△BAC?和Rt△AMG?中,∠AGM=∠PAC=90?°?,?且BA:AC=3?: ?=3:1?；
若以A.?M?、G?三點為頂點的三角形與△BCA?相似，則AG:MG=1:3?或3:1?；
設M?點坐標為(m,m?2??1),(m1)?
則有：MG=m?2??1?，AG=|m+1|?；
①當AM:MG=1:3?時,m?2??1=3|m+1|,m?2??1=±(3m+3)?；
當m?2??1=3m+3?時,m?2??3m?4=0,?解得m=1(?舍去)?，m=4?；
當m?2??1=?3m?3?時,m?2?+3m+2=0,?解得m=?1(?舍去)?，m=?2?；
∴M?1?(4,15),M?2?(?2,3)?；
②當AM:MG=3:1?時,3(m?2??1)=|m+1|,3m?2??3=±(m+1)?；
當3m?2??3=m+1?時,3m?2??m?4=0,?解得m=?1(?舍去),m=??；
當3m?2??3=?m?1?時,3m?2?+m?2=0,?解得m=?1(?舍去),m=?(?舍去)?；
∴M?3?(?,?).?
故符合條件的M?點坐標為：(4,15),(?2,3), ?(?,?).?
故答案為：:(4,15),(?2,3), ?(?,?).
【點睛】本題考查了二次函數(shù)，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與應用.
4．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．當△PAC為直角三角形時點P的坐標 ．

【答案】（3，5）或（，）．
【解析】
試題分析：由于P點不可能為直角頂點，因此就只有兩種情況：若A為直角頂點，過A作AB的垂線與拋物線的交點即為C點，過C作y軸的平行線與AB的交點即為P點；若C為直角頂點，過A作x軸的平行線與拋物線的另一個交點即為C點，過C作y軸的平行線與AB的交點即為P點．
解：∵直線y=x+2過點B（4，m），
∴m=6，
∴B（4，6）．
將A、B兩點坐標代入拋物線解析式得：，
解得：
∴拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6．
①若A為直角頂點，如圖1，

設AC的解析式為：y=﹣x+b，
將A點代入y=﹣x+b得b=3
∴AC的解析式為y=﹣x+3，
由，解得：或（舍去）
令P點的橫坐標為3，則縱坐標為5，
∴P（3，5）；
②若C為直角頂點，如圖2，

令，解得：x=或x=（舍去），
令P點的橫坐標為，則縱坐標為，
∴P（，）；
故答案為（3，5）或（，）．
考點：二次函數(shù)綜合題．
5．如圖，已知拋物線 與 軸交于A、C兩點，與 軸交于點B，在拋物線的對稱軸上找一點Q，使△ABQ成為等腰三角形，則Q點的坐標是____.

【答案】Q1，Q2，Q3（2，2），Q4（2，3）
【解析】先求得點A和點B的坐標，由頂點式知拋物線的對稱軸為直線x=2，設拋物線的對稱軸上的點Q的坐標為，分別求得，并用含的代數(shù)式表示的長，分三種情況構造方程求得的值.
【詳解】如圖，

拋物線的對稱軸為直線x=2
當y=0時，
（x-2）2-1=0
解之：x1=3，x2=1
∴點A的坐標為（1，0）
當x=0時，y=3
∴點B（0，3）
設點Q的坐標為（2，m）.
∴AB2=32+1=10，BQ2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ2=m2+1，
要使△ABQ為等腰三角形，
當AB2=BQ2時，則（m-3）2+4=10,
解之：m1= ， m2= ，
∴點Q1 ， Q2.
當BQ2=AQ2時，則（m-3）2+4=m2+1,
解之：m=2
所以點Q2（2，2）；
當AB2=AQ2時，則10=m2+1,
解之：m=±3
若m=-3，則點B、A，Q在同一直線上，
∴m=-3舍去，
∴點Q4（2，3）
故答案為：，Q2，（2，2），（2，3）
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點．難點在于符合條件的等腰三角形可能有多種情形，需要分類討論．
6．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+4與y軸交于點C，點D（0，2），點M是拋物線上的動點．若△MCD是以CD為底的等腰三角形，則點M的坐標為_____．

【答案】（1+，3）或（1﹣，3）
【解析】當△MCD是以CD為底的等腰三角形時，則M點在線段CD的垂直平分線上，由C、D坐標可求得線段CD中點的坐標，從而可知P點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標．
【詳解】△MCD是以CD為底的等腰三角形，
點M在線段CD的垂直平分線上，
如圖，過M作軸于點E，則E為線段CD的中點，

拋物線與y軸交于點C，
C(0,4),且D(0,2)，
E點坐標為(0,3)，
M點縱坐標為3，
在中,令,可得,解得，
M點坐標為或，
故答案為或.
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，等腰三角形的性質(zhì)，解題關鍵是利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)進行解答.
7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果四邊形ABMP是平行四邊形，則點M的坐標為______．

【答案】（4，-5）.
【解析】根據(jù)拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，可求出A、B兩點的坐標，進而求出AB的長度，由四邊形ABMP是平行四邊形，可知M點在x軸右邊，PM//AB，且PM=AB=4 ，即可求出M點坐標.
【詳解】∵y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，
∴A（-1，0）；B（3，0）
∴AB=4，
∵四邊形ABMP是平行四邊形，
∴AB//PM，PM=AB=4，
∵P點在y軸上，
∴P點橫坐標為4，
∵P點在拋物線y=﹣x2+2x+3上，
∴x=4時，y=-16+8+3=-5，
∴M點的坐標為：（4，-5）.
故答案為（4，-5）
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，求出A、B的長度利用AB=PM求出M的橫坐標是解題關鍵.
8．已知拋物線y＝（x﹣2）2，P是拋物線對稱軸上的一個點，直線x＝t分別與直線y＝x、拋物線交于點A，B，若△ABP是等腰直角三角形，則t的值為_____．

【答案】0或3或或3±或
【解析】首先求出拋物線與直線y=x的交點坐標，再分四種情形列出方程即可解決問題．
【詳解】解：由題意A（t，t），P（2，m）B[t，（t﹣2）2]，
當點A或B是直角頂點時，|2﹣t|＝|t﹣（t﹣2）2|，
解得t＝3±或2±，
當點P是直角頂點時，|t﹣（t﹣2）2|＝2?|2﹣t|，
解得t＝或0或3，
綜上所述，滿足條件的t的值為0或3或2±或3±或．
故答案是：0或3或或3±或．

【點睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的應用、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會構建方程解決問題.
9．將拋物線向右平移2個單位,得到拋物線的圖象是拋物線對稱軸上的一個動點,直線平行于y軸,分別與直線、拋物線交于點A、若是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形,求滿足條件的t的值,則 ______ .

【答案】或或或
【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，將向右平移2個單位,橫坐標減2表示出拋物線的函數(shù)解析式.然后再根據(jù)題目條件表示出點A、B的坐標,進而能夠表示出AB的長度與AP的長度,然后根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可.
【詳解】解：拋物線向右平移2個單位,
拋物線的函數(shù)解析式為,
拋物線的對稱軸為直線,
直線與直線、拋物線交于點A、B,
點A的坐標為,點B的坐標為,
,
,
是以點A或B為直角頂點的三角形,
,
或,
整理得,,
解得,,
整理得,,
解得,,
綜上所述,滿足條件的t值為：或或或,
故答案為：或或或.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)拋物線與直線的解析式表示出AB、AP或的長,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程是解題的關鍵.
10．如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點．若已知點的坐標為．點在拋物線的對稱軸上，當為等腰三角形時，點的坐標為________．

【答案】，，
【解析】首先求出拋物線解析式，然后利用配方法或利用公式x=-求出對稱軸方程，由此可設可設點Q（3，t），若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．
【詳解】∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（-2，0），

∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴拋物線解析式為 y=-x2+x+4，
又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，
∴對稱軸方程為：x=3，
∴可設點Q（3，t），則可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）當AQ=CQ時，
有=，
即25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）當AC=AQ時，
有=2，
即t2=-5，此方程無實數(shù)根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；
iii）當AC=CQ時，
有2=，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴點Q坐標為：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
故答案為：（3，0），（3，4+），（3，4-）．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點．難點在于符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．
11．如圖，拋物線與軸的負半軸交于點，與軸交于點，連接，點分別是直線與拋物線上的點，若點圍成的四邊形是平行四邊形，則點的坐標為__________.

【答案】或或
【解析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的負半軸交于點，與軸交于點.直接令x=0和y=0求出A，B的坐標.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分情況求出點E的坐標.
【詳解】由拋物線的表達式求得點的坐標分別為.
由題意知當為平行四邊形的邊時，，且，
∴線段可由線段平移得到.
∵點在直線上，①當點的對應點為時，如圖，需先將向左平移1個單位長度，
此時點的對應點的橫坐標為，將代入，
得，∴.

②當點A的對應點為時，同理，先將向右平移2個單位長度，可得點的對應點的橫坐標為2，
將代入得，∴
當為平行四邊形的對角線時，可知的中點坐標為，
∵在直線上，
∴根據(jù)對稱性可知的橫坐標為，將代入
得，∴.
綜上所述，點的坐標為或或.
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了特殊點的坐標的確定，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關鍵是分情況解決問題的思想．

三、解答題
12．如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸于D，C兩點，已知，．

求拋物線的函數(shù)表達式并寫出拋物線的對稱軸；
在直線AB下方的拋物線上是否存在一點E，使得的面積最大？如果存在，求出E點坐標；如果不存在，請說明理由．
為拋物線上一動點，連接PA，過點P作交y軸于點Q，問：是否存在點P，使得以A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（2）當時，的面積有最大值4，此時E點坐標為（3）滿足條件的P點坐標為或或或
【解析】利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱軸方程求拋物線的對稱軸；
先確定直線AB的解析式為，再解方程組得，作軸交直線AB于F，如圖1，設，則，則，利用三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
設，則，先利用勾股定理的逆定理判斷為直角三角形，利用相似三角形的判定方法，當，∽，則，所以；當，∽，即，所以，然后分別解關于t的絕對值方程即可得到P點坐標．
【詳解】把，代入得，解得，
拋物線解析式為；
拋物線的對稱軸為直線；
存在．
把代入得，
直線AB的解析式為，
解方程組得或，則，
作軸交直線AB于F，如圖1，
設，則，
，
，
當時，的面積有最大值4，此時E點坐標為；
設，則，
，，，
，，，
，
為直角三角形，
，
當，∽，
即，
，
解方程得舍去，，此時P點坐標為；
解方程得舍去，，此時P點坐標為；
當，∽，
即，
，
解方程得舍去，，此時P點坐標為；
解方程得舍去，，此時P點坐標為；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為或或或
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．
13．如圖，拋物線經(jīng)過點A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），連接AC、BC，將△ABC繞點C逆時針旋轉，使點A落在x軸上，得到△DCE，此時，DE所在直線與拋物線交于第一象限的點F.
（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式.
（2）求點A所經(jīng)過的路線長.
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.
【答案】（1） （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
【解析】
試題分析：（1）拋物線經(jīng)過點A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以拋物線對應的函數(shù)關系式為
（2）將△ABC繞點C逆時針旋轉，使點A落在x軸上，得到△DCE，則D的坐標（1，0）。所以AD=1+1=2，點A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等邊三角形，；點A所經(jīng)過的路線是一個扇形的弧長，圓心角為，半徑為AC=2所以扇形的弧長=
（3）拋物線的對稱軸上存在點P使△PDF是等腰三角形，拋物線的對稱軸；設點P的坐標為（1，a），F(xiàn)的坐標為（x,y），則P、D都在拋物線的對稱軸上; 假設△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是腰，則PD=FD，由（1）知D的坐標（1，0），所以PD= ，F(xiàn)D= ,則=，而點F在拋物線上，所以F的坐標滿足的解析式，解得；當△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是底邊，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，則PD= ，F(xiàn)的坐標為（x,y），F(xiàn)的坐標滿足的解析式；PF= ，則=，解得a=2或a=,所以P點的坐標為P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
考點：拋物線，等腰三角形
點評：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)
14．如圖，拋物線經(jīng)過原點O（0，0），點A（1，1），點B（，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；
（3）點M是y軸右側拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）（，﹣54）或（，）或（，﹣）
【解析】
分析：（1）設交點式y(tǒng)=ax（x-），然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）延長CA交y軸于D，如圖1，易得OA=，∠DOA=45°，則可判斷△AOD為等腰直角三角形，所以OD=OA=2，則D（0，2），利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=-x+2，再解方程組，得C（5，-3），然后利用三角形面積公式，利用S△AOC=S△COD-S△AOD進行計算；
（3）如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=4，OA=，設M（x，-x2+x）（x＞0），根據(jù)三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，則當時，△OHM∽△OAC，即；當時，△OHM∽△CAO，即，則分別解關于x的絕對值方程可得到對應M點的坐標，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M點能以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．
詳解：（1）設拋物線解析式為y=ax（x-），
把A（1，1）代入得a?1（1-）=1，解得a=-，
∴拋物線解析式為y=-x（x-），
即y=-x2+x；
（2）延長CA交y軸于D，如圖1，

∵A（1，1），
∴OA=，∠DOA=45°，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2），
易得直線AD的解析式為y=-x+2，
解方程組得或，則C（5，-3），
∴S△AOC=S△COD-S△AOD=×2×5-×2×1=4；
（3）存在．如圖2，

作MH⊥x軸于H，AC=，OA=，
設M（x，-x2+x）（x＞0），
∵∠OHM=∠OAC，
∴當時，△OHM∽△OAC，即，
解方程-x2+x =4x得x1=0（舍去），x2=-（舍去），
解方程-x2+x =-4x得x1=0（舍去），x2=，此時M點坐標為（，-54）；
當時，△OHM∽△CAO，即，
解方程-x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此時M點的坐標為（，），
解方程-x2+x=-x得x1=0（舍去），x2=，此時M點坐標為（，-）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠MON=∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴當M點的坐標為（，-54）或（，）或（，-）時，以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．
點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會解一元二次方程；理解坐標與圖形性質(zhì)；靈活運用相似比表示線段之間的關系；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．
15．如圖，已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且，直線與軸交于點，點是拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交直線于點.

（1）試求該拋物線的表達式；
（2）如圖（1），若點在第三象限，四邊形是平行四邊形，求點的坐標；
（3）如圖（2），過點作軸，垂足為，連接，
①求證：是直角三角形；
②試問當點橫坐標為何值時，使得以點為頂點的三角形與相似？
【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）點P的坐標為（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）；（3）①詳見解析；②，點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似．
【解析】
試題分析：（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可得到關于a、c的方程組，然后解方程組求得a、c的值即可；（2）設P（m，m2+m﹣4），則F（m，﹣m﹣4），則PF=﹣m2﹣m，當PF=OC時，四邊形PCOF是平行四邊形，然后依據(jù)PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得點D的坐標，然后再求得AC、DC、AD的長，最后依據(jù)勾股定理的逆定理求解即可；②分為△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC兩種情況，然后依據(jù)相似三角形對應成比例列方程求解即可
試題解析：
（1）由題意得：，解得：，
∴拋物線的表達式為y=x2+x﹣4．
（2）設P（m，m2+m﹣4），則F（m，﹣m﹣4）．
∴PF=（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）=﹣m2﹣m．
∵PE⊥x軸，
∴PF∥OC．
∴PF=OC時，四邊形PCOF是平行四邊形．
∴﹣m2﹣m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．
當m=﹣時，m2+m﹣4=﹣，
當m=﹣8時，m2+m﹣4=﹣4．
∴點P的坐標為（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．
（3）①證明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8．
∴D（﹣8，0）．
∴OD=8．
∵A（2，0），C（0，﹣4），
∴AD=2﹣（﹣8）=10．
由兩點間的距離公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，
∴AC2+CD2=AD2．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
②由①得∠ACD=90°．
當△ACD∽△CHP時，，即或，
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．
當△ACD∽△PHC時，，即或．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
綜上所述，點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似．
考點：二次函數(shù)綜合題.
16．如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）問在軸上是否存在一點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點，滿足，過作軸于點，設的內(nèi)心為，試求的最小值．
【答案】（1）；（2）點坐標為或或或時，為直角三角形；（3）最小值為.
【解析】（1）結合題意，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；
（3）根據(jù)正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.
【詳解】（1）∵拋物線過點，，
∴，解得：，
∴這條拋物線對應的函數(shù)表達式為.
（2）在軸上存在點，使得為直角三角形．
∵，
∴頂點，
∴，
設點坐標為，
∴，，
①若，則.
∴，
解得：，
∴.
②若，則，
∴，
解得：，，
∴或.
③若，則，
∴，
解得：，
∴.
綜上所述，點坐標為或或或時，為直角三角形．
（3）如圖，過點作軸于點，于點，于點，
∵軸于點，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵點為的內(nèi)心，
∴，，，，
∴矩形是正方形，
設點坐標為，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴化簡得：，
配方得：，
∴點與定點的距離為.
∴點在以點為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動，
∴當點在線段上時，最小，
∵，
∴，
∴最小值為.

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.
17．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（-1，0）和C（0，4）．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）直線y=x+1與拋物線相交于A、D兩點，點P是拋物線上一個動點，點P的橫坐標是m，且-1＜m＜3，設△ADP的面積為S，求S的最大值及對應的m值；
（3）點M是直線AD上一動點，直接寫出使△ACM為等腰三角形的點M的坐標．
【答案】（1）y=-x2+3x+4；（2）當m=1時，△ADP的面積S的最大值為8．（3）．，，.
【解析】
【詳解】解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，
得，
解得，
∴此拋物線解析式為：y=-x2+3x+4．（2）由題意得：,
，
解得： 或,，
∴點D的坐標為（3，4），
過點P作PQ∥y軸，交直線AD與點Q，
∵點P的橫坐標是m，
又點P在拋物線y=-x2+3x+4
∴P的縱坐標是-m2+3m+4，點Q的橫坐標也是m，
∵點Q在直線y=x+1上，
∴Q的縱坐標是m+1，
∴PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，
S△ADP=S△APQ+S△DPQ= (?m2+2m+3)[m?(?1)]+(?m2+2m+3)(3?m)，
=(?m2+2m+3)×4，
=-2m2+4m+6，
=-2（m-1）2+8，
當m=1，△ADP的面積S的最大值為8．

（3）∵M在直線AD：y=x+1上，設M點坐標為（x，x+1），
∵A（-1，0）和C（0，4）；
∴AC2=17，AM2=2(x+1)2，CM2=x2+（x-3）2，
Ⅰ.當AC=AM時，17=2(x+1)2，解得x=，
即點M坐標為： ，
Ⅱ.當AC=CM時，x2+（x-3）2=17，解得：，（與A重合舍去），
即點M坐標為：，
III.當AC=AM時，2(x+1)2=x2+（x-3）2，解得：x=，
即點M坐標為：，
使△ACM為等腰三角形的點M的坐標有．，，.
【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和平面內(nèi)兩點之間的距離求法等知識，二次函數(shù)這部分經(jīng)常利用數(shù)形結合以及分類討論思想相結合，綜合性較強注意不要漏解．
18．在平面直角坐標系中有，為原點，，，將此三角形繞點順時針旋轉得到，拋物線過三點．

（1）求此拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2）直線與拋物線交于兩點，若，求的值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點使得為直角三角形．
【答案】（1）；點；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．
【解析】（1）用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，進行配成頂點式即可寫出頂點坐標；
（2）將直線與拋物線聯(lián)立，通過根與系數(shù)關系得到，，再通過得出，通過變形得出代入即可求出的值；
（3）分：， ， 三種情況分別利用勾股定理進行討論即可．
【詳解】（1）∵，，

∵繞點順時針旋轉，得到，

∴點的坐標為：，
將點A,B代入拋物線中得
解得
∴此拋物線的解析式為：
∵；
∴點
（2）直線：與拋物線的對稱軸交點的坐標為，
交拋物線于，，
由得：
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴

（3）存在，或，，

∴
設點
，
若，則
即
∴或
若，則
即
∴
若，則
即
∴
即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況討論是解題的關鍵．
19．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
(1)求點A、B、C的坐標；
(2)點M(m，0)為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；
(3)當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；
(4)在(3)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G(點G在點F的上方)．若FG＝2DQ，求點F的坐標．

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周長＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【解析】（1）利用函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法，求出點A，B，C的坐標；
（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；
（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC解析式，即可；
（4）在（3）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．
【詳解】(1)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．
令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)．
(2)由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x＝﹣1．
∵M(m，0)，
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．
(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，
∴矩形的周長最大時，m＝﹣2．
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
設直線AC的解析式y(tǒng)＝kx+b，
∴
解得k＝l，b＝3，
∴解析式y(tǒng)＝x+3，
令x＝﹣2，則y＝1，
∴E(﹣2，1)，
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM×EM＝．
(4)∵M(﹣2，0)，拋物線的對稱軸為x＝﹣l，
∴N應與原點重合，Q點與C點重合，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，
∴D(﹣1，4)，
∴DQ＝DC＝．
∵FG＝2DQ，
∴FG＝4．
設F(n，﹣n2﹣2n+3)，則G(n，n+3)，
∵點G在點F的上方且FG＝4，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．
解得n＝﹣4或n＝1，
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，解本題的關鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長．
20．如圖，已知直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線
與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是上述拋物線上一點，如果△ABM和△ABC相似，求點M的坐標；
（3）連接AC，求頂點D、E、F、G在△ABC各邊上的矩形DEFC面積最大時，寫出該矩形在AB邊上的頂點的坐標．

【答案】（1）；（2）M（3，-2）；（3）D(，0)或D(，0)、E(2，0)
【解析】
試題分析：(1)先求得直線與x軸交于點B與y軸交于點C的坐標，再把點B的坐標代入，求得b值，即可得拋物線的解析式；（2）先判定△ABC為直角三角形，當△ABM和△ABC相似時，一定有∠AMB=90° ，△BAM≌△ABC，即可得點M的坐標；（3）分矩形DEFG有兩個頂點D、E在AB上和矩形一個頂點在AB上兩種情況求點的坐標.
試題解析：
(1) 由題意：直線與x軸交于點B（4,0），
與y軸交于點C點C（0，-2），
將點B（4,0）代入拋物線易得
∴所求拋物線解析式為：
(2) ∵, ∴△ABC為直角三角形，∠BCA=90°
∵點M是上述拋物線上一點∴不可能有MB與AB或者MA與AB垂直
當△ABM和△ABC相似時，一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC
此時點M的坐標為：M（3，-2）

(3)∵△ABC為直角三角形，
∠BCA=90°
當矩形DEFG只有頂點D
在AB上時，顯然點F與點
C重合時面積最大，如圖1，
設CG＝x，
∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB.
∴AG：AC＝DG∶BC，即∴DG＝2(－x)
∴S矩形DEFG＝－2(x－)＋ 即x＝時矩形DEFG的面積有最大值，
當矩形DEFG有兩個頂點D、E在AB上時，如圖2，
CO交GF于點H，設DG＝x，則OH＝x，CH＝2－x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴GF∶AB＝CH∶CO，即GF∶5＝(2－x)∶2，解得GF＝ (2－x)．
∴S矩形DEFG＝x· (2－x)＝－ (x－1)2＋，即當x＝1時矩形DEFG的面積同樣有最大值，
綜上所述，無論矩形DEFG有兩個頂點或只有一個頂點在AB上，其最大面積相同
當矩形一個頂點在AB上時， GD＝2(－x)＝，AG＝，
∴AD＝， OD＝AD－OA＝， ∴D(，0)．
當矩形DEFG有兩個頂點D、E在AB上時，∵DG＝1， ∴DE＝，
∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴AD∶AO＝DG∶OC，解得AD＝，
∴OD＝， OE＝－＝2， ∴D(－，0)，E(2，0)．
綜上所述，滿足題意的矩形在AB邊上的頂點的坐標為D(，0)或D(－，0)、E(2，0) ．
點睛：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、矩形面積的計算方法、二次函數(shù)最值的應用等知識，要注意（3）題中，矩形的擺放方法有兩種，不要漏解．
21．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點，交x軸于C、D兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個最大值；
（3）點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值為；（3）存在點P（1，6）．
【解析】
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)對稱性，可得MC=MD，根據(jù)解方程組，可得B點坐標，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案．
詳解：（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，得
，解得，
拋物線的解析式是y=x2+x+3；
（2）由拋物線的對稱性可知，點D與點C關于對稱軸對稱，
∴對l上任意一點有MD=MC，
聯(lián)立方程組 ，
解得（不符合題意，舍），，
∴B（﹣4，1），
當點B，C，M共線時，|MB﹣MD|取最大值，即為BC的長，
過點B作BE⊥x軸于點E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC=，
|MB﹣MD|取最大值為；
（3）存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，
在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在Rt△ACO中，
∵AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
過點P作PQ⊥y軸于Q點，∠PQA=90°，
設P點坐標為（x，x2+x+3）（x＞0）
①當∠PAQ=∠BAC時，△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴，即，
∴，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴P點的縱坐標為×12+×1+3=6，
∴P（1，6），
②當∠PAQ=∠ABC時，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴，
即=3，
∴，
解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）
∴此時無符合條件的點P，
綜上所述，存在點P（1，6）．
點睛：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（2）的關鍵是利用兩邊只差小于第三邊得出M，B，C共線；解（3）的關鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關于x的方程，要分類討論，以防遺漏．
22．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點A（1，﹣1），且與直線y＝kx+2相交于B（2，0）和C兩點
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）拋物線上存在點E（點E不與點A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出點E的坐標；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△BDF是等腰三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標．

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）詳見解析；（3）E（）；（4）符合條件的點F的坐標（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【解析】（1）將B（2，0）代入設拋物線解析式y(tǒng)＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，將B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分別求出AB2、BC2、AC2，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；
（3）作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點E，延長AB，與CE的延長線交于點A'，過A'作A'H垂直x軸于點H，設二次函數(shù)對稱軸于x軸交于點G．根據(jù)對稱與三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求得點E坐標；
（4）設F（1，m），分三種情況討論：①當BF＝BD時，，②當DF＝BD時，，③當BF＝DF時，，m＝1，然后代入即可．
【詳解】（1）設拋物線解析式y(tǒng)＝a（x﹣1）2﹣1，
將B（2，0）代入，
0＝a（2﹣1）2﹣1，
∴a＝1，
拋物線解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
將B（2，0）代入y＝kx+2，
0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直線BC的解析式：y＝﹣x+2；
（2）聯(lián)立，
解得，，
∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0），
∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如圖，作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點E，延長AB，與CE的延長線交于點A'，過A'作A'H垂直x軸于點H，設二次函數(shù)對稱軸于x軸交于點G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，
∴點A與A'關于直線BC對稱，
AB＝A'B，
可知△AFB≌△A'HB（AAS），
∵A（1，﹣1），B（2，0）
∴AG＝1，BG＝OG＝1，
∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，
∴A'（3，1），
∵C（﹣1，3），
∴直線A'C：，
聯(lián)立：，
解得或，
∴E（，）；
（4）∵拋物線的對稱軸：直線x＝1，
∴設F（1，m），
直線BC的解析式：y＝﹣x+2；
∴D（0，2）
∵B（2，0），
∴BD＝
，
，
①當BF＝BD時，，
m＝±，
∴F坐標（1，）或（1，﹣）
②當DF＝BD時，，
m＝2±，
∴F坐標（1，2+）或（1，2﹣）
③當BF＝DF時，，
m＝1，
F（1，1），此時B、D、F在同一直線上，不符合題意．
綜上，符合條件的點F的坐標（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【點睛】考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
23．已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OB=3OC，點P是第一象限內(nèi)的點，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求這個拋物線的表達式；
（2）求點P的坐標；
（3）點Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似，求點Q的坐標．

【答案】（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．
【解析】
試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得出結論；
（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；
（3）先判斷出點Q只能在點O左側，再分兩種情況討論計算即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax2﹣4ax+1，∴點C的坐標為（0，1）．
∵OB=3OC，∴點B的坐標為（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．
（2）如圖，過點P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．
設點P（a，a）．
∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵該拋物線對稱軸為x=2，B（3，0），∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴當△OPQ與△ABC相似時，點Q只有在點O左側時．
（i）當時，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．
（ii）當時，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．
當點Q在點A右側時，綜上所述，點Q的坐標為（﹣4，0）或（﹣2，0）．

考點：1．相似形綜合題；2．分類討論．
24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．

（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）設∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）m＝﹣1，y＝x2﹣2x﹣3；（2）sin（α﹣β）＝；（3）在坐標軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．
【解析】（1）過M作MN⊥y軸于N，連接CM，利用勾股定理可知m的值，同樣的方法可以求出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式中即可求.

（2）通過計算可得出，進而證明Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，則sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC可求.

（3）經(jīng)過分析可知，根據(jù)題意分Rt△COA∽Rt△BCE；過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2，Rt△CAP2∽Rt△BCE；過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3，Rt△P3CA∽Rt△BCE三種情況，分情況討論即可.
【詳解】（1）由題意可知C（0，﹣3），1，
∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），
過M作MN⊥y軸于N，連接CM，

則MN＝1，CM，
由勾股定理得CN＝2，ON=1，
∴m＝﹣1．
同理可求得B（3，0），
將點B代入拋物線的解析式中得
∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1．
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．
∵M到AB，CD的距離相等，OB＝OC，
∴OA＝OD，
∴點D的坐標為（0，1），
∴在Rt△BCO中，BC3，
∴，
在△BCE中，
∵BC2+CE2＝


∴△BCE是Rt△
，
∴，
即，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，
因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC．
（3）∵OB＝OC，OD＝OA，

∴Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P1（0，0）．
過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2，
則Rt△CAP2∽Rt△BCE，





∴P2（0，）．
過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3，
則Rt△P3CA∽Rt△BCE，





∴P3（9，0）．
故在坐標軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），
使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與圓、相似三角形的綜合問題，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵.
25．拋物線的圖象經(jīng)過坐標原點，且與軸另交點為.
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，直線與拋物線相交于點和點（點在第二象限），求的值（用含的式子表示）；
（3）在（2）中，若，設點是點關于原點的對稱點，如圖.平面內(nèi)是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=x2+x；（2）y2﹣y1==（m＞0）；（3）存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，點P的坐標為（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．
【解析】（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線F的解析式；
（2）將直線l的解析式代入拋物線F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；
（3）根據(jù)m的值可得出點A、B的坐標，利用對稱性求出點A′的坐標．利用兩點間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；結合菱形的性質(zhì)，可得出存在符合題意得點P，設點P的坐標為（x，y），分三種情況考慮：（i）當A′B為對角線時，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（ii）當AB為對角線時，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（iii）當AA′為對角線時，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對角線互相平分）可求出點P的坐標．綜上即可得出結論．
【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，0）和（-，0），
∴，
解得：，
∴拋物線F的解析式為y=x2+x．
（2）將y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，
解得：x1=﹣，x2=，
∴y1=﹣+m，y2=+m，
∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．
（3）∵m=，
∴點A的坐標為（﹣，），點B的坐標為（，2）．
∵點A′是點A關于原點O的對稱點，
∴點A′的坐標為（，﹣）．
由兩點距離公式可得：AA′=AB=A′B=，
∴存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為（x，y）．

（i）當A′B為對角線時，有，
解得：，
∴點P的坐標為（2，）；
（ii）當AB為對角線時，有，
解得：，
∴點P的坐標為（﹣，）；
（iii）當AA′為對角線時，有，
解得：，
∴點P的坐標為（﹣，﹣2）．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中求出x1、x2的值；（3）利用勾股定理（兩點間的距離公式）求出AB、AA′、A′B的值；可知存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形有三種情況，分A′B為對角線、AB為對角線及AA′為對角線三種情況求出點P的坐標．
26．已知：如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)、B兩點（A在B左），y軸交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段BC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以B、C、E、P為頂點且以BC為一邊的平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）P1（3，-3），P2（，3），P3（，3）.
【解析】
試題分析：（1）將的坐標代入拋物線中，求出待定系數(shù)的值，即可得出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)的坐標，易求得直線的解析式．由于都是定值，則 的面積不變，若四邊形面積最大，則的面積最大；過點作軸交于，則 可得到當面積有最大值時，四邊形的面積最大值.
（3）本題應分情況討論：①過作軸的平行線，與拋物線的交點符合點的要求，此時的縱坐標相同，代入拋物線的解析式中即可求出點坐標；②將平移，令點落在軸（即點）、點落在拋物線（即點）上；可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出點縱坐標（縱坐標的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得點坐標．
試題解析：（1）把代入，
可以求得
∴

（2）過點作軸分別交線段和軸于點，
在中，令，得

設直線的解析式為
可求得直線的解析式為：
∵S四邊形ABCD
設

當時，有最大值
此時四邊形ABCD面積有最大值
（3）如圖所示，

27．如圖，在平面直角坐標系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B；點P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D，過點D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D′（不與點D重合），連接PD′，設點P的橫坐標為m：
（1）①直接寫出a的值；
②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達式的一般式；
（2）當拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點時，設△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：
①求的值；
②直接寫出L與m之間的函數(shù)關系式；
（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．

【答案】（1）①；②y＝﹣2x；
（2）①1；
②L＝；
（3）h＝±．
【解析】（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中計算即可；②y＝﹣2x；
（2）將（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系數(shù)法求OB、AB的解析式，由點P的橫坐標為m，即可表示出相應線段求解；
（3）以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形，DD′＝OA，可知點D的縱坐標為2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．
【詳解】解：（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，
得：0＝a（0﹣2）2﹣2，
解得：a＝；
②y＝﹣2x；．
（2）∵拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點，a＝；
∴y＝x2，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
易得：直線OB解析式為：y＝﹣x，直線AB解析式為：y＝x﹣4
如圖1，

，
①

②如圖1，當0＜m≤2時，L＝OE+EF+OF＝，
當2＜m＜4時，如圖2，設PD′交x軸于G，交AB于H，PD交x軸于E，交AB于F，

則，
，

∵DD′∥EG
，即：EG?PD＝PE?DD′，得：EG?（2m）＝（2m﹣m2）?2m
∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m
∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG


；
（3）如圖3，

∵OADD′為菱形
∴AD＝AO＝DD′＝4，
∴PD＝2，


【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，拋物線的平移等，解題時要注意考慮分段函數(shù)表示方法．
28．綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.

（1）求拋物線解析式：
（2）拋物線對稱軸上存在一點，連接、，當值最大時，求點H坐標：
（3）若拋物線上存在一點，，當時，求點坐標：
（4）若點M是平分線上的一點，點是平面內(nèi)一點，若以、、、為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點坐標.
【答案】（1）；（2）點；（3）；（4），
【解析】（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，解方程組求出a、b的值即可得答案；（2）連接AC，延長AC交拋物線對稱軸與H，由A、C兩點坐標可得直線AC的解析式，根據(jù)拋物線解析式可得對稱軸方程，根據(jù)A、C、H三點在一條直線時，的值最大，即可得答案；（3）由C點坐標可得△ABC和△ABP的高為4，可得P點縱坐標n=±4，把n=±4代入拋物線解析式求出m的值，根據(jù)mn>0即可得P點坐標；（4）設∠BAC的角平分線與y軸交于E點，過點E作EF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證明△AFE≌△AOE，可得出AF的長，利用勾股定理可求出OE的長，可得E點坐標，進而利用待定系數(shù)法可求出直線AE的解析式，分兩種情況：①當∠ABM1=90°時，M1N1=AB，AN1=BM，M1B⊥x軸，可得點M1的橫坐標，代入AE的解析式可得點M1的縱坐標，即可得出BM的長，進而可得N1點坐標；②當∠AM2B=90°時，可知∠N2BA=∠BAE，過N2作N2G⊥x軸，根據(jù)點E坐標可得∠BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的長，利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的長，進而可得OG的長，即可得N2坐標；綜上即可得答案.
【詳解】（1）∵A（-3，0），B（4，0），點A、B在拋物線上，
∴
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x2-x-4.
（2）連接AC，延長AC交拋物線對稱軸與H，
∵拋物線解析式為y=x2-x-4，與軸交于點C
∴C（0，-4），對稱軸為直線x=-=，
∵≤AC，
∴A、C、H在一條直線上時取最小值，
設直線AC的解析式為y=kx+b,
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y=x-4，
當x=時，y=，
∴H點坐標為（，）.

（3）∵S△ABC=S△ABP，
∴ABOC=AB，
∴=4，
當n=4時，4=m2-m-4，
解得m=，
∵mn>0，
∴m=，
∴P點坐標為（，4）
當n=-4時，-4=m2-m-4，
解得：m=1或m=0，
∵mn>0，
∴m=1或m=0均不符合題意，
綜上：P點坐標為（，4）.
（4）設∠BAC的角平分線交y軸于E，過E作EF⊥AC于F，
∵A（-3，0），B（4，0），C（0，-4），
∴AB=7，AC=5，OA=3，OC=4，
∵AE為∠BAC的角平分線，
∴OE=EF，
又∵AE=AE，
△AOE≌△FAE，
∴AF=OA=3，
∴FC=5-3=2，
∴EF2+FC2=CE2，即OE2+22=(4-OE)2，
解得：OE=，
∵點E在y軸負半軸，
∴E點坐標為（0，-），
設直線AE的解析式為y=kx+b，
∴
解得：
∴直線AE的解析式為y=，
①當∠ABM1=90°時，
∵ANMB是矩形，
∴M1N1=AB=7，AN1=BM，M1B⊥x軸，AN1⊥x軸，
∴x=4時，y=，
∴點N1坐標為（-3，）.
②當∠AM2B=90°時，過N2作N2G⊥x軸，
∵AM2BN2是矩形，
∴∠N2BA=∠BAE，
∵OA=3，OE=，
∴AE=，
∴sin∠BAE==，cos∠BAE==，
∴sin∠N2BA =，cos∠N2BA=
∴BN2=ABcos∠N2BA=，
∴N2G=BN2sin∠N2BA=，BG=BN2cos∠N2BA=，
∴OB-BG=-，
∴點N2坐標為（-，）.

綜上所述：點N的坐標為N1（-3，），N2（-，）.
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應用，綜合性較強，注意分類思想的運用是解題關鍵.
29．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是，且經(jīng)過A（﹣4，0），C（0，2）兩點，直線l：y=kx+t（k≠0）經(jīng)過A，C．

（1）求拋物線和直線l的解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，過點P作PF⊥AC，垂足為F，當△PEF≌△AED時，求出點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，Q的坐標為：或或或或．
【解析】（1）把點A、C的坐標和對稱軸表達式代入二次函數(shù)表達式，即可求解；
（2）PEn2n+2n﹣2，DEn+2，sin∠EAD=sin∠CAO，，則AEDE（n+2），當△PEF≌△AED時，PE=AE，n2﹣2n（n+2），即可求解；
（3）等腰三角形分A為頂角頂點、以C為頂角頂點、點Q為頂角頂點，三種情況分別求解即可．
【詳解】（1）把點A、C的坐標和對稱軸表達式代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：yx2x+2；
同理把點A、C坐標代入直線l表達式并解得：yx+2；
（2）設P點坐標為（n，n2n+2），∴E點坐標為（n，n+2），∴PEn2n+2n﹣2，DEn+2．
∵A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=2．
∵PD⊥x軸于點D，∴∠ADE=90°，∴sin∠EAD=sin∠CAO，，∴AEDE（n+2），當△PEF≌△AED時，PE=AE，n2﹣2n（n+2），解得：n=﹣4或（舍去﹣4），∴n=，∴P（，）；
（3）存在，理由如下：

①以A為頂角頂點，AQ=AC，由（2）知AC=2，若設對稱軸與x軸交于點G，則AG（﹣4）；
GQ1=GQ2，故點Q1、Q2的坐標分別為（，）、（，）；
②以C為頂角頂點，CQ=CA=2，過點C作x軸的平行線，交拋物線的對稱軸于點M，則M（，2），則CM，MQ3，Q3G=2，Q4G=﹣2，故Q3、Q4坐標分別為（，2）、（，2）；
③以點Q為頂角頂點時，同理可得點Q5（，0）；
故點Q的坐標為：（，）或（，）或（，2）或（，2）或（，0）．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、三角形全等和相似等知識點，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
30．如圖，在平面直角坐標系xOy中，為原點，的邊在軸上，點在軸上，點的坐標為，，，點是邊上一點，，過、、三點，拋物線過點、、三點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若將繞點順時針旋轉，點的對應點會落在拋物線上嗎？請說明理由.
(3)若點為此拋物線的頂點，平面上是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）點的對應點E'不在拋物線上,理由見詳解；（3）N1或N2或N3.
【解析】（1）先確定出點B的坐標，進而求出點D的坐標，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先利用旋轉求出點E'的坐標，最后判定點E'是否在拋物線上；
（3）分三種情況，利用線段的中點坐標公式，和平行四邊形的對角線互相平分建立方程求解即可得出結論．
【詳解】解：（1）∵A（-2，0），AB=6，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵DO⊥AB，∠BAD=60°，
∴，
∴D，
∵拋物線過點A，B，D；
∴
解之得：，
∴拋物線的解析式為：，
（2）點的對應點E'不在拋物線上，理由：如圖1，
∵∠ADE=90°，
∴點E'落在DA的延長線上，點C'落在y軸上，
∴C'（0，-6），
由旋轉知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，
過點E'作E'H⊥DC'于H，
∴ ，，
∴，
∵點E'落在第三象限，
∴E'，
當，代入拋物線：有：

∴點E'不在拋物線上；
（3

如圖，拋物線的解析式為：
∴M，
∵B（4，0），D ，
設N（m，n），
∵以點B、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當BD與MN是對角線時，
∴ ，
∴m=3，，
∴N1 ，
②當BM與DN是對角線時，同①的方法得，N2
③當BN與DM是對角線時，同①的方法得，N3.
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉的旋轉，解（1）的關鍵是求出點D的坐標，解（2）的關鍵是利用旋轉確定出點E'的坐標，解（3的關鍵是分類討論的思想解決問題．
31．在平面直角坐標系中，如圖，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點、，與軸的交點為點．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）點為軸上一點，如果直線和直線的夾角為15o，求線段的長度；
（3）設點為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當△為直角三角形時，求點的坐標．

【答案】（1）拋物線的表達式是;(2) 或;(3) P或或或.
【解析】（1）將點A和點B坐標代入解析式求解可得；
（2）先求出點C坐標，從而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，據(jù)此知∠DBO=30°或60°，依據(jù)DO=BO?tan∠DBO求出得DO＝或3，從而得出答案；
（3）設P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分點B、點C和點P為直角頂點三種情況分別求解可得．
【詳解】（1）依題意得：，
解得：
∴拋物線的表達式是
（2）∵拋物線與軸交點為點
∴點的坐標是，又點的坐標是
∴

∴或
在直角△中，
∴或，∴或.
（3）由拋物線得：對稱軸是直線
根據(jù)題意：設，又點的坐標是，點的坐標是
∴，，，
①若點為直角頂點，則即：解之得：，
②若點為直角頂點，則即：解之得：，
③若點為直角頂點，則即：解之得：
，.
綜上所述的坐標為或或或.
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、兩點間的距離公式及直角三角形的性質(zhì)等知識點．
32．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過A（﹣3，0），B（5，﹣4）兩點，與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求△ABC的面積；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）10；（3）存在，M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）.
【解析】（1）將點A，B代入y＝ax2+bx﹣4即可求出拋物線解析式；
（2）在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，求出點C的坐標，推出BC∥x軸，即可由三角形的面積公式求出△ABC的面積；
（3）求出拋物線y＝x2﹣x﹣4的對稱軸，然后設點M（，m），分別使∠AMB＝90°，∠ABM＝90°，∠AMB＝90°三種情況進行討論，由相似三角形和勾股定理即可求出點M的坐標．
【詳解】解：（1）將點A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣4，
得，
解得，，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣4；
（2）在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，
當x＝0時，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵B（5，﹣4），
∴BC∥x軸，
∴S△ABC＝BC?OC
＝×5×4
＝10，
∴△ABC的面積為10；
（3）存在，理由如下：
在拋物線y＝x2﹣x﹣4中，
對稱軸為：，
設點M（，m），
①如圖1，

當∠M1AB＝90°時，
設x軸與對稱軸交于點H，過點B作BN⊥x軸于點N，
則HM1＝m，AH＝，AN＝8，BN＝4，
∵∠AM1H+∠M1AN＝90°，∠M1AN+∠BAN＝90°，
∴∠M1AH＝∠BAN，
又∵∠AHM1＝∠BNA＝90°，
∴△AHM1∽△BNA，
∴，
即，
解得，m＝11，
∴M1（，11）；
②如圖2，

當∠ABM2＝90°時，
設x軸與對稱軸交于點H，BC與對稱軸交于點N，
由拋物線的對稱性可知，對稱軸垂直平分BC，
∴M2C＝M2B，
∴∠BM2N＝∠AM2N，
又∵∠AHM2＝∠BNM2＝90°，
∴△AHM2∽△BNM2，
∴，
∵HM2＝﹣m，AH＝，BN＝，M2N＝﹣4﹣m，
∴，
解得，，
∴M2（，﹣）；
③如圖3，

當∠AMB＝90°時，
設x軸與對稱軸交于點H，BC與對稱軸交于點N，
則AM2+BM2＝AB2，
∵AM2＝AH2+MH2，BM2＝BN2+MN2，
∴AH2+MH2+BN2+MN2＝AB2，
∵HM＝﹣m，AH＝，BN＝，MN＝﹣4﹣m，
即，
解得，m1＝﹣2，m2＝﹣﹣2，
∴M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）；
綜上所述，存在點M的坐標，其坐標為M1（，11），M2（，﹣），M3（，﹣2），M4（，﹣﹣2）．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，直角三角形的存在性，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關鍵是注意分類討論思想在解題中的運用．

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