【例1-1】當(dāng)m是何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2 (1)是一元二次方程？ (2)是一元一次方程？
解：原方程可化為(m2-1)x2+(m-1)x-4=0
(1)當(dāng)m2-1≠0,即m≠±1時(shí),原方程是一元二次方程；
即m=-1時(shí),原方程是一元一次方程.
①化為一般式；②a≠0.
【例1-2】若m是方程2x2-3x-1=0的一個(gè)根,則6m2-9m+2020的值為_____.
解：由題意可知：2m2-3m-1=0， ∴2m2-3m=1 ∴原式=3(2m2-3m)+2020=2023
本題考查了一元二次方程及它的根及整體思想： 1.有根必代；2.整體代入；3.降次代入.
(1)x(x-1)=0,
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是__________. (2)已知等腰三角形的三邊分別為a,b,4,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩個(gè)根,則m的值為( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
∴x=0或x-1=0,
解得：x1=0,x2=1.
(-12)2-4(m+2)=0
原方程可化為：x2-12x+36=0
即a=b=6,不能構(gòu)成三角形.
【例3】下列方程沒有實(shí)數(shù)根是( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0
【例4】(1)已知m,n是方程x2+2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m2-mn+3m+n=___.(2)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,則( ) A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1(3)關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的兩實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,且x1+3x2=5,則m的值是_____.
1.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的解是x=1,則2022-a-b的值是_____.2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一個(gè)非零根-b,則a-b的值為___.3.若正數(shù)a是一元二次方程x2-5x+m=0的一個(gè)根,-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一個(gè)根,則a=____.4.下表是小明探究關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情況,則該方程的兩根之和為___.
解方程： (1)2(x-3)=3x(x-3). (2)2x2-4x-1＝0. (3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1=3，x2=2/3
x1=2，x2=8/3
1.關(guān)于x的方程mx2-2x+1=0總有實(shí)數(shù)根,則m應(yīng)滿足的條件是( ) A.m≥1 B.m=0 C.m≤1且m≠0 D.m≤12.已知命題“關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1=0,當(dāng)b＜0時(shí)必有實(shí)數(shù)解”,能說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例可以是( ) A.b=-1　　B.b=2 C.b=-2　　D.b=0
1.x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且 ,則m的值為( ) A.m=0 B.m=2 C.m=0或m=2 D.不存在2.已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3=1的兩根,則x1?x2=____.3.若 是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根,則a+b=____.4.寫出一個(gè)兩個(gè)根為2和3的一元二次方程______________,
(x-2)(x-3)=0
1.我們知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,現(xiàn)給出另一個(gè)方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是_____________.2.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,則x2+y2=____.3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為___. 4.若一元二次方程-x2+ax+x=0的兩根在-2到0之間(含-2和0),則a的取值范圍是____________.5.已知點(diǎn)P(m,n)在直線y=-x+2上,也在雙曲線 上,則m2+n2=___.6.方程(x-1)(x+2)=p2的根的情況,下列結(jié)論中正確的是( ) A.兩個(gè)正根 B.兩個(gè)負(fù)根 C.有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根 D.無實(shí)數(shù)根
x1=-1,x2=-3
7.若方程ax2=b(ab＞0)的兩個(gè)根分別是m+1與2m-4,則8.在解一元二次方程x2+bx+c=0時(shí),小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù),得到的解為x1=2,x2=3；小剛看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)c,得到的解為x1=1,x2=4；請(qǐng)你寫出正確的一元二次方程：__________.9.如果a,b是關(guān)于x的方程(x+c)(x+d)=1的兩個(gè)根,那么(a+c)(b+c)=_____.10.設(shè)x1,x2是方程x2-x-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x13+2021x2-2020=_____.
11.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,求m的取值范圍.
△≥0x1x2＞0x1+x2＞0
△≥0x1x2＞0x1+x2＜0
△≥0x1+x2=0 即b=0
△≥0x1x2=0 即c=0
△≥0x1x2=1 即a=c
12.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-3=0有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m=2時(shí),方程的根為x1,x2,求代數(shù)式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.
13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),求k的值．
14.方程x2+2kx+k2-2k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x12+x22=4,求k的值15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2=0. (1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,且x12+x22=31+|x1x2|,求實(shí)數(shù)m的值.

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