TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc158497701" 考點(diǎn)一 軸對(duì)稱
\l "_Tc158497702" 題型01 軸對(duì)稱圖形的識(shí)別
\l "_Tc158497703" 題型02 根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷
\l "_Tc158497704" 題型03 根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解
\l "_Tc158497705" 題型04 軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題
\l "_Tc158497706" 題型05 折疊問(wèn)題
\l "_Tc158497707" 類(lèi)型一 三角形折疊問(wèn)題
\l "_Tc158497708" 類(lèi)型二 四邊形折疊問(wèn)題
\l "_Tc158497709" 類(lèi)型三 圓的折疊問(wèn)題
\l "_Tc158497710" 類(lèi)型四 拋物線與幾何圖形綜合
\l "_Tc158497711" 題型06 求對(duì)稱軸條數(shù)
\l "_Tc158497712" 題型07 畫(huà)軸對(duì)稱圖形
\l "_Tc158497713" 題型08 設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案
\l "_Tc158497714" 題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497715" 題型10 與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題
\l "_Tc158497716" 題型11 軸對(duì)稱的綜合問(wèn)題
\l "_Tc158497717" 考點(diǎn)二 圖形的平移
\l "_Tc158497718" 題型01 生活中的平移現(xiàn)象
\l "_Tc158497719" 題型02 利用平移的性質(zhì)求解
\l "_Tc158497720" 題型03 利用平移解決實(shí)際生活問(wèn)題
\l "_Tc158497721" 題型04 作平移圖形
\l "_Tc158497722" 題型05 求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)
\l "_Tc158497723" 題型06 由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497724" 題型07 由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式
\l "_Tc158497725" 題型08 已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497726" 題型09 與平移有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題
\l "_Tc158497727" 題型10 平移的綜合問(wèn)題
\l "_Tc158497728" 考點(diǎn)三 圖形的旋轉(zhuǎn)
\l "_Tc158497729" 題型01 找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)
\l "_Tc158497730" 題型02 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解
\l "_Tc158497731" 題型03 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明線段或角相等
\l "_Tc158497732" 題型04 畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形
\l "_Tc158497733" 題型05 求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度
\l "_Tc158497734" 題型06 旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問(wèn)題
\l "_Tc158497735" 題型07 求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497736" 題型08 求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497737" 題型09 求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497738" 題型10 旋轉(zhuǎn)綜合題
\l "_Tc158497739" 類(lèi)型一 線段問(wèn)題
\l "_Tc158497740" 類(lèi)型二 面積問(wèn)題
\l "_Tc158497741" 類(lèi)型三 角度問(wèn)題
\l "_Tc158497742" 題型11 判斷中心對(duì)稱圖形
\l "_Tc158497743" 題型12 畫(huà)已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形
\l "_Tc158497744" 題型13 根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角度
\l "_Tc158497745" 題型14 利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案
考點(diǎn)一 軸對(duì)稱
軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形
常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形有：圓、正方形、長(zhǎng)方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.
做軸對(duì)稱圖形的一般步驟：
1）作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟：
①過(guò)已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足，并延長(zhǎng)；
②在延長(zhǎng)線上從垂足出發(fā)截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn).
2）作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟：
①找.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、線與線的交點(diǎn)）
②作.作各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)
③連.按原圖對(duì)應(yīng)連接各對(duì)稱點(diǎn)
折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問(wèn)題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問(wèn)題具有不確定性時(shí)，常常采用分類(lèi)討
1. 對(duì)稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.
2. 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的存在多條對(duì)稱軸（例：正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸等）.
3. 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的，一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的.
4. 軸對(duì)稱的性質(zhì)是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一,例如:若已知兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱,則它們的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.
論的數(shù)學(xué)思想方法．
題型01 軸對(duì)稱圖形的識(shí)別
【例1】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽如圖所示，組成會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·廣東深圳·南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
題型02 根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷
【例2】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)（P不與AA1共線），下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．AP=A1PB．△ABC與△A1B1C1的面積相等
C．MN垂直平分線段AA1D．直線AB,A1B1的交點(diǎn)不一定在MN上
【變式2-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，這條活靈活現(xiàn)的“小魚(yú)”是由若干條線段組成的，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線l，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線l的距離相等B．BC=BD
C．∠CAB=∠DABD．四邊形ADBC是菱形
【變式2-2】（2019·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）每個(gè)網(wǎng)格中均有兩個(gè)圖形，其中一個(gè)圖形關(guān)于另一個(gè)圖形軸對(duì)稱的是（ ）
A． B． C． D．
題型03 根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解
【例3】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【變式3-1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)；若EF=1，則GE+CF的最小值為 ．
【變式3-2】（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為 ．
【變式3-3】（2020·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點(diǎn)M、N分別是線段DB、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值為 ．

題型04 軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題
【例4】（2023·河北廊坊·?？家荒＃┩ㄟ^(guò)光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱（圖1）．在圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D
【變式4-1】（2022·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面AB上放一個(gè)平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【變式4-2】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，α,β是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過(guò)鏡面α反射后的光線為n，再通過(guò)鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面α的夾角的度數(shù)為x°，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為y°．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
題型05 折疊問(wèn)題
類(lèi)型一 三角形折疊問(wèn)題
【例5】（2023·新疆·統(tǒng)考一模）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB'于點(diǎn)P．若BC=12，則MP+MN= ．
【變式5-1】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為 ．
【變式5-2】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)校考三模）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝ °．
【變式5-3】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．
②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
【變式5-4】（2023·新疆和田·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到ΔAED，連接BE．

(1)當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
(3)設(shè)AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長(zhǎng)的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
類(lèi)型二 四邊形折疊問(wèn)題
【例6】（2019·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將?ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，交BC于點(diǎn)F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，則∠E為( )

A．102°B．112°C．122°D．92°
【變式6-1】（2022·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF．若∠BFE=45°，則BF的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．35C．53D．35
【變式6-2】（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長(zhǎng)為（ ）
A．2B．2+12C．5+12D．43
【變式6-3】（2021·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，則∠EFC等于（ ）
A．65°B．110°C．115°D．130°
【變式6-4】（2022·河南鄭州·一模）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將?ABCD沿著B(niǎo)F（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．
【變式6-5】（2021·江蘇常州·統(tǒng)考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．
（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE的值；
（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．
類(lèi)型三 圓的折疊問(wèn)題
【例7】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃⒁粋€(gè)半徑為1的圓形紙片，如下圖連續(xù)對(duì)折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開(kāi)，則虛線①所對(duì)的圓弧長(zhǎng)和展開(kāi)后得到的多邊形的內(nèi)角和分別為（ ）

A．π2，540°B．π4，720°C．π4，1080°D．π3，2160°
【變式7-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，∠BAC=20°，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點(diǎn)D，則∠ACD的度數(shù)等于( )．
A．40°B．50°C．80°D．100°
【變式7-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，AC、AD是⊙O中關(guān)于直徑AB對(duì)稱的兩條弦，以弦AC、AD為折線將弧AC，弧AD折疊后過(guò)圓心O，若⊙O的半徑r=4，則圓中陰影部分的面積為 ．

【變式7-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖所示，在扇形AOB中，半徑OA=4，點(diǎn)P在OA上，連接PB，將△OBP沿PB折疊得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1與弧AB所在的圓相切于點(diǎn)B．
(1)求∠APO1的度數(shù)；
(2)求AP的長(zhǎng)．
【變式7-4】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（ ）
A．3π-33B．3π-932C．2π-33D．6π-932
類(lèi)型四 拋物線與幾何圖形綜合
【例8】（2021·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝-13x2+233x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）連接AC、BC．判斷△ABC的形狀，說(shuō)明理由．
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l//x軸，點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ//y軸交直線l于點(diǎn)Q，連接CP．若將△CPQ沿CP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．是否存在這樣的點(diǎn)P，使點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-1】（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=-x2+bx+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)點(diǎn)H（2，0）且平行于y軸的一條直線．點(diǎn)P是對(duì)稱軸上位于點(diǎn)A下方的一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B，連接CA、AB．
（1）填空：b=______，點(diǎn)A的坐標(biāo)是______；
（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將△CAB沿CB翻折后得到△CDB（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D），問(wèn)點(diǎn)D能否恰好落在坐標(biāo)軸上?若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-2】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置，線段A'C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O、A點(diǎn)不重合．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)①求證：△OCD∽△A'BD；②DBBA的最小值；
(3)當(dāng)S△OCD=8S△A'BD時(shí)，求直線A'B的解析式．
【變式8-3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx-6與x軸正半軸交于點(diǎn)A6,0，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D2,0，將△ACD沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型06 求對(duì)稱軸條數(shù)
【例9】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．5
【變式9-1】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（ ）
A．B．C．D．
【變式9-2】（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形：
其中是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【變式9-3】（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（ ）
A．B．C．D．
題型07 畫(huà)軸對(duì)稱圖形
【例10】（2021·廣東中山·校聯(lián)考一模）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．
(1)在方格紙中面出△ADC，使△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上）；
(2)在方格紙中畫(huà)出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點(diǎn)G，點(diǎn)H均在小正方形的頂點(diǎn)上），且平行四邊形EFGH的面積為4．連接DH，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DH的長(zhǎng)．
【變式10-1】（2023·陜西西安·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A2，4，B1，2，C4，1，△DEF各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為D4，-4，E5，-2，F(xiàn)2，-1．
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'；
(2)若△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是___．
【變式10-2】（2022·福建莆田·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB中點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn)E，使得點(diǎn)B，E關(guān)于直線CD對(duì)稱；（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)連接DE，求證：∠CDE=2∠A．
【變式10-3】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)請(qǐng)畫(huà)出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1．
(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸的右側(cè)畫(huà)出△A2B2C2．
(3)在y軸上存在點(diǎn)P，使得△OA1P的面積為6，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
題型08 設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案
【例11】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有6個(gè)小正三角形涂黑，還需涂黑n個(gè)小正三角形，使它們與原來(lái)涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對(duì)稱軸，則n的最小值為（ ）
A．10B．6C．3D．2
【變式11-1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4正方形網(wǎng)絡(luò)中，選取一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使構(gòu)成的黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是 ．
【變式11-2】（2020·山東棗莊·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個(gè)方格，使之成為軸對(duì)稱圖形．規(guī)定：凡通過(guò)旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為要剪掉部分）
請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中要剪掉的兩個(gè)方格涂黑（每個(gè)3×3的正方形方格畫(huà)一種，例圖除外）
【變式11-3】（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）閱讀理解，并解答問(wèn)題：
觀察發(fā)現(xiàn)：
如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發(fā)現(xiàn)這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過(guò)程設(shè)計(jì)的，其中虛線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸．
問(wèn)題解決：
用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個(gè)新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫(huà)一種拼法．
(1)圖3中所畫(huà)拼圖拼成的圖案是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；
(2)圖4中所畫(huà)拼圖拼成的圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．
【變式11-4】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）在4×4的方格中，選擇6個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖1中的六個(gè)圖案的對(duì)稱性，按要求回答．
(1)請(qǐng)?jiān)诹鶄€(gè)圖案中，選出三個(gè)具有相同對(duì)稱性的圖案．選出的三個(gè)圖案是 （填寫(xiě)序號(hào)）；它們都是 圖形（填寫(xiě)“中心對(duì)稱”或“軸對(duì)稱”）；
(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中，將1個(gè)小方格涂上陰影，使整個(gè)4×4的方格也具有（1）中所選圖案相同的對(duì)稱性．
題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
【例12】（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．(-4,2)B．(4,2)C．(-4,-2)D．(4,-2)
【變式12-1】（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(-3，-2)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（ ）
A．(2，2)B．(-2，2)C．(-2，-2)D．(2，-2)
【變式12-2】（2019·四川成都·校聯(lián)考一模）若點(diǎn)A（1+m，1﹣n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
題型10 與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題
【例13】（2022·云南·云大附中?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．規(guī)定“把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個(gè)單位”為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)2022次變換后，?ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）
A．（3，﹣2019）B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018）D．（﹣3，﹣2018）
【變式13-1】（2022·河南商丘·校考一模）如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把△ABC“先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2022次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．2023,3+1B．2023,-3-1
C．2024,3+1D．2024,-3-1
【變式13-2】（2021·河北·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)A坐標(biāo)是(1,2)，則經(jīng)過(guò)第2021次變換后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．(1,-2)B．(-1,-2)C．(-1,2)D．(1,2)
【變式13-3】（2021·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)M，頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,3)、(1,1)、(3,1)，規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)2020次變換后，點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）

A．(2022,2)B．(2022,-2)
C．(2020,2)D．(2020,-2)
題型11 軸對(duì)稱的綜合問(wèn)題
【例14】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線y=kx+2k交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC(A、B、C三點(diǎn)逆時(shí)針排列)，D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-6,0)、(-1,0)，連接CD、CE，則CD+CE的最小值為（ ）
A．6B．5+3C．6.5D．7
【變式14-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE，則△BDE周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．2+23B．2+3C．4+3D．4+23
【變式14-2】（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)AM＝13AB時(shí)，PB＋PM的最小值為（ ）
A．33B．27C．23＋2D．33＋3
【變式14-3】（2022·福建廈門(mén)·福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠EGD=（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【變式14-4】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)Q是直線y=3x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AQ為邊，在AQ的右側(cè)作等邊△APQ，使得點(diǎn)P落在第一象限，連接OP，則OP+AP的最小值為（ ）
A．6B．43C．8D．63
考點(diǎn)二 圖形的平移
平移的概念：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br>平移的三大要素：1）平移的起點(diǎn)，2）平移的方向，3）平移的距離．
平移的性質(zhì)：
1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個(gè)圖形全等.
2）平移前后對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等.
3）任意兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離就是平移的距離.
作圖步驟：
1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；
2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
3）按平移方向和平移距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．
題型01 生活中的平移現(xiàn)象
【例1】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考二模）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（ ）
①方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)；③鐘擺的擺動(dòng)；④汽車(chē)雨刷的運(yùn)動(dòng)
A．①②B．②③C．①②④D．②
【變式1-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，下列圖案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
題型02 利用平移的性質(zhì)求解
【例2】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A'B'C'，點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形ACC'A'的面積是（ ）
A．96B．963C．192D．1603
【變式2-1】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，B'之間的距離為（ ）
A．1cmB．2cmC．(2－1)cmD．(22－1)cm
【變式2-2】（2023·湖北孝感·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為 cm．
【變式2-3】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，4），B（3，4），將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和DE的中點(diǎn)F，則k的值是 ．
【變式2-4】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的邊BC長(zhǎng)為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為 cm2．
題型03 利用平移解決實(shí)際生活問(wèn)題
【例3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在長(zhǎng)為37米，寬為26米的長(zhǎng)方形地塊上，有縱橫交錯(cuò)的幾條小路，寬均為1米，其它部分均種植花草，則種植花草的面積 平方米．
【變式3-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方形ABCD中，放入6個(gè)形狀，大小都相同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分面積是 cm2；若平移這六個(gè)長(zhǎng)方形，則圖中剩余的陰影部分面積 （填“有變化”或“不改變”）．
【變式3-2】（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）某景區(qū)有一座步行橋（如圖），需要把陰影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面積；
(2)若a=901，b=1，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示涂刷油漆的面積．
【變式3-3】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，計(jì)劃在長(zhǎng)為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設(shè)道路①、②的寬為x米，剩余部分為綠化．
(1)道路①的面積為_(kāi)__________平方米；道路②的面積為_(kāi)__________平方米（都用含x的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，根據(jù)實(shí)際情況，將計(jì)劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為x米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．
題型04 作平移圖形
【例4】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求畫(huà)格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)銳角三角形，使P為其中一邊的中點(diǎn)，再畫(huà)出該三角形向右平移2個(gè)單位后的圖形．
(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)以P為一個(gè)頂點(diǎn)的鈍角三角形，使三邊長(zhǎng)都不相等，再畫(huà)出該三角形繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
【變式4-1】（2022·安徽·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；
（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)（ ， ）中心對(duì)稱．

【變式4-2】（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2，3)，B(-3，0)，C(-1，-1)．將△ABC平移后得到△A'B'C'，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A'(2，3)，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B'，C'．
(1)點(diǎn)A、A'之間的距離是__________；
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A'B'C'．
題型05 求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)
【例5】（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將點(diǎn)A(a,b)向右平移3單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度正好與原點(diǎn)重合，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．(3,2)B．(3,-2)C．(-3,-2)D．(-3,2)
【變式5-1】（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）將點(diǎn)A（-3，-2）沿水平方向向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A'，若點(diǎn)A'在直線y=x+b上，則b的值為（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
題型06 由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)
【例6】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）

A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
【變式6-1】（2021·江西·統(tǒng)考一模）如圖，P（m，n）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC經(jīng)過(guò)平移得到△A′B′C′，平移后點(diǎn)P與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，1﹣2n）B．（﹣2，1﹣n）C．（﹣2，﹣1）D．（m，﹣1）
【變式6-2】（2021·廣東中山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)，將線段OA向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段BC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【變式6-3】（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ．
【變式6-4】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A-5,0，B0,-3，若將線段AB平移至線段A1B1，且A1-3,m，B12,1，則m的值為 ．
題型07 由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式
【例7】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是 (?1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對(duì)稱，則平移的方法可以是（ ）
A．將B向左平移4.5個(gè)單位B．將C向左平移4個(gè)單位
C．將D向左平移5.5個(gè)單位D．將C向左平移3.5個(gè)單位
【變式7-1】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）如圖，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,1，D2,3，要把頂點(diǎn)A平移到頂點(diǎn)C的位置，則其平移方式可以是：先向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位．
題型08 已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)
【例8】（2021·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°．邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-2,6和7,0．將正方形OCDE沿x軸向右平移當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
【變式8-1】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 ．
【變式8-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A0,2，B2,-1．平移△ABC得到△A'B'C'，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為-1,0，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是 ．
題型09 與平移有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題
【例9】（2019·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2019次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．-2016,3+1B．-2016,3-1
C．-2017,3+1D．-2017,-3-1
【變式9-1】（2023·湖南婁底·校聯(lián)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形先向右平移a個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經(jīng)γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B1C1經(jīng)γ2,180°變換后得到△A2B2C2，△A2B2C2經(jīng)γ3,180°變換后得到△A3B3C3，依此類(lèi)推??????，△An-1Bn-1Cn-1經(jīng)γn,180°變換后得到△AnBnCn，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為 ．

【變式9-2】（2018·青?！そy(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形的頂點(diǎn)A（1，1）、B（3，1），規(guī)定把等邊△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，如果這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2018次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
題型10 平移的綜合問(wèn)題
【例10】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動(dòng)，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B'移動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)△A'B'C'移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ．
【變式10-1】（2023·天津·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（6,0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，∠ABO=30°．矩形CODE的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，OD=2.．
（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形C'O'D'E'，點(diǎn)C，O，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'，O'，D'，E'．設(shè)OO'=t，矩形C'O'D'E'與ΔABO重疊部分的面積為S．
①如圖②，當(dāng)矩形C'O'D'E'與ΔABO重疊部分為五邊形時(shí)，C'E'，E'D'分別與AB相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含有t的式子表示S，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
②當(dāng)3?S?53時(shí)，求t的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．
【變式10-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？既＃┤鐖D①，直線y=-x-1交x軸于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線y1=-x2+bx+c交直線y=-x-1于另一點(diǎn)B(4,-5)，交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線y1=-x2+bx+c對(duì)稱軸上的點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
(2)當(dāng)PA=PB時(shí)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)m的值．
(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交拋物線y1=-x2+bx+c于點(diǎn)E、F，交線段AB于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q將線段AB分得的兩段線段長(zhǎng)度比為2：3時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值．
(4)將線段AC先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段MN，若拋物線y2=a(-x2+bx+c)(a≠0)與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．
【變式10-3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B1，0兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線x=-1．
(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
(2)如圖1，D為線段AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線EF∥OC，交拋物線于E點(diǎn)，交AO于F點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，且-3

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