TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158194251" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc158196849" 考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
\l "_Tc158196850" 題型01 尺規(guī)作圖-作線段
\l "_Tc158196851" 題型02 尺規(guī)作圖-作角度
\l "_Tc158196852" 類型一 作一個(gè)角等于已知角
\l "_Tc158196853" 類型二 尺規(guī)作角的和、差
\l "_Tc158196854" 類型三 過直線外一點(diǎn)作這條線的平行
\l "_Tc158196855" 類型四 作角平分線
\l "_Tc158196856" 題型03 尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158196857" 題型04 尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高
\l "_Tc158196858" 題型05 尺規(guī)作圖-作垂直平分線
\l "_Tc158196859" 題型06 尺規(guī)作圖- 畫圓
\l "_Tc158196860" 題型07 尺規(guī)作圖- 找圓心
\l "_Tc158196861" 題型08 尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線
\l "_Tc158196862" 題型09 尺規(guī)作圖-作外接圓
\l "_Tc158196863" 題型10 尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓
\l "_Tc158196864" 題型11 尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形
\l "_Tc158196865" 題型12 尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖
\l "_Tc158196866" 考點(diǎn)二 定義、命題、定理
\l "_Tc158196867" 題型01 判斷是否命題
\l "_Tc158196868" 題型02 判斷命題真假
\l "_Tc158196869" 題型03 舉反例說明命題為假命題
\l "_Tc158196870" 題型04 寫出命題的逆命題
\l "_Tc158196871" 題型05 反證法證明中的假設(shè)
\l "_Tc158196872" 題型06 用反證法證明命題
考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖
尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．
五種基本作圖：
根據(jù)基本作圖作三角形
根據(jù)基本作圖作圓
尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:
1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；
2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題；
3) 切記作圖中一定要保留作圖痕跡．
題型01 尺規(guī)作圖-作線段
【例1】（2021上·遼寧撫順·九年級(jí)校聯(lián)考周測(cè)）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)下列要求畫圖．
(1)畫直線AB；
(2)作射線BC；
(3)畫線段AD；
(4)連接CD，并延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE＝CD；（保留作圖痕跡）
(5)在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)O，使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和OA+OB+OC+OD最?。?br>【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
(5)見解析
【分析】（ 1）根據(jù)直線的概念作圖即可；
（2 ）根據(jù)射線的概念作圖即可；
（3 ）根據(jù)線段的概念作圖即可；
（4 ）以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑，畫弧交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；
（5 ）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AC、BD，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O．
【詳解】（1）如圖所示，直線AB即為所求；
（2）如圖所示，射線BC即為所求；
（3）如圖所示，線段AD即為所取；
（4）如圖所示，線段DE即為所求；
（5）如圖所示，點(diǎn)O即為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線，射線和線段的定義和作圖．熟練地掌握直線，射線和線段的定義，并正確的根據(jù)定義作圖是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023上·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面上有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，按要求作圖：
(1)作直線AC，射線BC，連接AB；
(2)延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使得BD=AB；
(3)直接寫出∠ABC+∠CBD=______°．
【答案】(1)圖見解析；
(2)圖見解析；
(3)180°
【分析】（1）按照題意用直尺作出圖形；
（2）按照題意作出圖形即可；
（3）由題意可知，∠ABC+∠CBD=180°．
【詳解】（1）解：如圖所示，直線AC，射線BC，線段AB即為所求；
（2）解：如圖所示線段 BD即為所求；
（3）解：∠ABC+∠CBD=180°，理由是：
∵延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使得BD=AB
∴∠ABD是平角
∴∠ABC+∠CBD=180°
【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線的作圖，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作圖．
【變式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+c-b．（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕跡）
(2)若a=6，b=4，c=7，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)作圖見解析
(2)4.5
【分析】（1）作射線AM，在射線AM上順次截取AE=a,EF=c，在線段FA上截取FB=b，則線段AB即為所求；
（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得AB的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：如圖，線段AB即為所求：

（2）如圖，

∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c-b=6+7-4=9
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴AC=12AB=12×9=4.5
即AC的長(zhǎng)4.5．
【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022上·廣西梧州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段a，b，用直尺和圓規(guī)作圖，分別作下列兩條線段．
①AB=a+b；
②CD=2a-b．
（2）已知：如圖，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度數(shù)．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）155°
【分析】（1）①先作線段 AC=a，再以點(diǎn)C為一端點(diǎn)，往AC延長(zhǎng)線方向作線段CB=b即可；
②先作線段 CE=2a，再以點(diǎn)E為一端點(diǎn)，往EC延長(zhǎng)線方向作線段ED=b即可；
（2）先根據(jù)已知條件求出∠AOD的度數(shù)，再由∠AOC=∠COD+∠AOD計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
①AB=a+b；
②CD=2a-b
（2）解：∵∠AOB=90°，∠BOD=25°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-25°=65°
∵∠COD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+65°=155°．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-線段的和差及計(jì)算角的和差，熟練掌握作圖技巧及知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
題型02 尺規(guī)作圖-作角度
類型一 作一個(gè)角等于已知角
【例2】（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在AB邊上找一點(diǎn)D，使∠BCD=∠A，則符合要求的作圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】過點(diǎn)D作AB的垂線，利用同角的余角相等證明即可．
【詳解】根據(jù)題意，A作圖是構(gòu)造等腰三角形，
不符合題意；
B是作的角的平分線，
故不符合題意；
C是過點(diǎn)D作AB的垂線，
∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，
∴∠BCD=∠A，
故C符合題意；
D作的是線段AC的垂直平分線，
故不符合題意，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的基本作圖，余角的性質(zhì)，熟練掌握作圖，靈活運(yùn)用互余性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·山東青島·?？家荒＃┤鐖D，BD平分∠ABC，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：以E為頂點(diǎn)，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)120°
【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法即可作∠AEF ＝∠ABC，交BD于點(diǎn)F．
（2）根據(jù)∠DFE＝150°，可得到∠EFB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義即可得到∠BEF的度數(shù)．
【詳解】（1）解：如圖，∠AEF即為所求；
（2）∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°－150°＝30°，
∵∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC．
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∠EBC+∠BEF＝180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝2∠FBC＝60°，
∴∠BEF＝180°－60°＝120°．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，掌握作一個(gè)角等于已知角，熟練運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2021下·上海閔行·上海上師初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在圖中用尺規(guī)作∠AOC=∠α，并計(jì)算∠BOC的值.（保留作圖痕跡，不得使用量角器）

【答案】見解析
【分析】分兩種情況：OC在∠AOB內(nèi)和OC在∠AOB外進(jìn)行作圖解題即可．
【詳解】解：如圖，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-53°=17°，

如圖，當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+53°=123°，

綜上所述，∠BOC=17°或∠BOC=123°．
【點(diǎn)睛】本題考查限定工具作圖—尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角的和差，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵．
類型二 尺規(guī)作角的和、差
【例3】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠ABC．
(1)請(qǐng)以射線DG為邊作一個(gè)角，使它等于∠ABC的補(bǔ)角；（尺規(guī)作圖，不必寫作法，保留作圖痕跡）

(2)若∠ABC的補(bǔ)角是∠ABC的5倍，則∠ABC= ．
【答案】(1)詳見解析
(2)30°
【分析】（1）作一個(gè)角等于已知角，反向延長(zhǎng)所作角的一邊，得其鄰補(bǔ)角即為所求．
（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義知互為補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180°，構(gòu)建方程求解．
【詳解】（1）解：作∠MDF=∠ABC，反向延長(zhǎng)射線DM，得射線DG，∠GDF即為所求；

（2）解：由題意，得∠ABC+5∠ABC=180°，
解得：∠ABC=30°，
故答案為：30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作一個(gè)角等于已知角，補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法和步驟，以及相加等于180°的兩個(gè)角互補(bǔ)．
【變式3-1】（2023上·陜西榆林·校考階段練習(xí)）已知如圖∠α、∠β，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作∠AOB，使∠AOB=∠β-∠α．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法先作∠AOC=∠β，再以O(shè)C為角的一邊作∠BOC=∠α，則∠AOB即為所求．
【詳解】解：如圖，∠AOB即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角的計(jì)算，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線BE上求作一點(diǎn)D，使得∠ADE=12∠C．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】如圖所示，作∠CAD=∠C交射線BE于D，點(diǎn)D即為所求．
【詳解】解：如圖所示，作∠CAD=∠C交射線BE于D，點(diǎn)D即為所求；
∵∠CAD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBE，
∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，
∴∠CBE=12∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ADE=12∠C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作與已知角相等的角，平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，等邊對(duì)等角等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
類型三 過直線外一點(diǎn)作這條線的平行
【例4】（2022·廣東佛山·西南中學(xué)校考三模）如圖，在△ABC中，P為AC邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AP、AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)P為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在△ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)F；④作射線PF交BC于點(diǎn)Q．若∠A=60°，∠C=40°，則∠PQC=（ ）

A．100°B．80°C．60°D．40°
【答案】B
【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到∠B=80°，再根據(jù)作圖方法可知∠CPQ=∠A，則PQ∥AB，由此即可得到∠PQC=∠B=80°．
【詳解】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，
由作圖方法可知∠CPQ=∠A，
∴PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=80°，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖—作與已知角相等的角，證明PQ∥AB是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023下·河南焦作·統(tǒng)考期中）如圖，已知∠BOP與射線OP上的點(diǎn)A，小亮用尺規(guī)過點(diǎn)A作OB 的平行線，步驟如下．
①取射線OP上的點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB 于點(diǎn)D；
②以點(diǎn)A為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M；
③以點(diǎn)M為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點(diǎn)E，直線EA 即為所求．
小亮作圖的依據(jù)是（ ）

A．同位角相等，兩直線平行
B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
D．以上結(jié)論都不正確
【答案】B
【分析】由作法可知：∠O=∠OAE，結(jié)合平行線的判定定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由作法可知：∠O=∠OAE，
根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得AE∥OB
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到∠O=∠OAE是關(guān)鍵．
【變式4-2】（2024上·陜西商洛·統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作射線CE，使得CE∥AB，且點(diǎn)E在BD上方．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查了角的基本作圖，利用同位角相等，兩直線平行，畫一個(gè)角等于∠B，且是一對(duì)同位角即可．
【詳解】根據(jù)題意，畫圖如下：
則CE即為所求．
【變式4-3】（2023上·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考期末）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖

(1)在圖①中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E，連結(jié)DE，使DE∥AC．
(2)在圖②中△ABC的邊AC上確定一點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠AFD=∠C．
(3)在圖③中△ABC的邊AC上確定一點(diǎn)G，連結(jié)DG，使∠AGD=∠B．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查網(wǎng)格作圖，中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)；
（1）利用網(wǎng)格特征作出BC的中點(diǎn)E，連接DE即可；
（2）利用網(wǎng)格特征作出線段AC的中點(diǎn)F，連接DF即可；
（3）利用網(wǎng)格特征作出∠ADE=∠C，交AC于點(diǎn)G，即可．
解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
【詳解】（1）解：如圖1中，點(diǎn)E即為所求；

（2）如圖2中，點(diǎn)F即為所求；

（3）如圖3中，利用網(wǎng)格特征作出∠ADE=∠C，交AC于點(diǎn)G，
由三角形的內(nèi)角和可知：∠AGD=∠B，
故點(diǎn)G即為所求．

類型四 作角平分線
【例5】（2024上·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB,BC于點(diǎn)D和E；②分別以點(diǎn)D,E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；③作射線BF交AC于點(diǎn)G；④過點(diǎn)G作GH∥BC交AB于點(diǎn)H，若∠BHG=110°，則∠HGB=（ ）

A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】C
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握角平分線的基本作圖思想是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和．由題意可知BG是∠ABC的平分線，得到∠ABG=∠CBG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠HGB=∠CBG，等量代換得到∠HGB=∠ABG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：由題意可知BG是∠ABC的平分線，
∴∠ABG=∠CBG，
∵HG∥BC，
∴∠HGB=∠CBG，
∴∠HGB=∠ABG，
∵∠BHG=110°，
∴∠AGB=∠HBG=12×(180°-110°)=35°，
故選：C．
【變式5-1】（2023上·廣東廣州·廣州市第七十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC．

(1)尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線，與AB交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不用寫作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【答案】(1)見解析
(2)∠CDA=100°
【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可；
（2）利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義∠ACD=∠BCD=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠CDA大小即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=30°，
∴∠CDA=180°-∠ACD-∠A=180°-30°-50°=100°．
【點(diǎn)睛】此題考查了基本作圖—角平分線，利用角平分線的定義求角度，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023上·河南駐馬店·統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC， 過點(diǎn)A 的直線l∥BC．
(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠B的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)若（1）中所作的角平分線與直線l交于點(diǎn)D． 求證：△ABD是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；
（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出∠ABD=∠ADB，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，BE即為∠B的平分線；
（2）解：∵l∥BC，
∴∠ADB=∠DBC
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——角平分線，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形判定條件是解題關(guān)鍵．
題型03 尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）
【例6】（2024上·山西呂梁·統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC．
實(shí)踐操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺規(guī)作圖，點(diǎn)D在直線AB的下方，保留作圖痕跡，不寫作法）．
推理與探究：
（2）點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE∥BD．探究：線段CE+AE與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）CE+AE=DB，見解析
【分析】本題考查了作三角形以及全等三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)：
（1）以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑在AB下方畫弧，同時(shí)以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑，在AB下方畫弧，兩弧相交一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，因?yàn)锳C=AD，AB=AB，BC=BD，所以△ABD≌△ABC，即可作答．
（2）先由全等三角形的性質(zhì)，得∠CBA=∠DBA，CB=DB，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得∠CBA=∠EAB，以及等角對(duì)等邊，即可作答．
【詳解】解：（1）如圖△ABD即為所求；
（2）CE+AE=DB．理由：
∵ △ABD≌△ABC
∴ ∠CBA=∠DBA，CB=DB
∵ AE∥BD
∴ ∠EAB=∠ABD
∴ ∠CBA=∠EAB
∴ EA=EB
∵ CB=CE+EB
∴ DB=CE+AE．
【變式6-1】（2023上·湖北襄陽·統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法. 如圖，為了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到△ACD≌△BEF的依據(jù)是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如圖，直線a是一條公路，M，N是公路a同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路a上修建一個(gè)公交候車亭O，及修建兩居民區(qū)M，N之間的道路，為了使OM+ON+MN最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O的位置(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)．
【答案】（1）B；（2）見解析
【分析】（1）本題考查了全等三角形的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及作一個(gè)角等于已知角，根據(jù)用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角的步驟，據(jù)此即可求解．
（2）本題考查將軍飲馬模型，作M關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接NM'與直線a交于點(diǎn)O,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到OM+ON+MN最短．
【詳解】（1）解：根據(jù)做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∴△ACD≌△BEFSSS，
故選：B．
（2）解：點(diǎn)O的位置如圖所示：
【變式6-2】（2024上·湖北襄陽·統(tǒng)考期末）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．
(1)利用尺規(guī)作圖，在圖中構(gòu)造出一個(gè)“黃金三角形”；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)說說（1）中的三角形是“黃金三角形”的理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的作圖是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)定義可知，黃金三角形需滿足兩個(gè)條件：①等腰三角形，②頂角為36°．因此滿足條件的黃金三角形不唯一，例如以∠C=72°為一個(gè)角構(gòu)造黃金三角形，只需作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC是黃金三角形；
（2）由AB=AC及三角形內(nèi)角和定理可知∠ABC=∠C=72°，由角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD=36°，則∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C，故△BDC是黃金三角形．
【詳解】（1）如圖，△BDC就是所求作的黃金三角形；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180°-∠A2=72°，
由作圖可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
所以△BDC是黃金三角形．
【變式6-3】（2024上·江西南昌·校聯(lián)考期末）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，僅用無刻度直尺在圖①和圖②中按要求作圖．
(1)在圖①中，畫等腰三角形ABC，使其面積為3（畫出一個(gè)即可）；
(2)在圖②中，畫等腰直角三角形ABD，使其面積為52（畫出一個(gè)即可）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定：
（1）取格點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC即為所求；
（2）取格點(diǎn)D，連接AD、BD，則△ABD即為所求；
【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；
（2）解：如圖所示，△ABD即為所求。
【變式6-4】（2023上·江蘇南京·校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB，用兩種不同的方法作一個(gè)含30°角的直角三角形ABC，使其斜邊為AB（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見解析
【分析】方法一，作線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，再以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧與前弧相交于點(diǎn)C，△ABC即為所作；
方法二，作線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，再作射線AC,在射線AC上截取AC=12AB，過點(diǎn)C作AC的垂線CB，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交CB于點(diǎn)B，△ABC即為所作．
【詳解】解：方法一：含30°角的直角三角形ABC如圖所示：
方法二：含30°角的直角三角形ABC如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-復(fù)雜作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-5】（2022下·福建漳州·統(tǒng)考期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要求：
(1)根據(jù)給出的線段AB及∠B，以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△ABC的斜邊AC，使得∠A=30°，保留作圖痕跡，不寫作法；
(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；
（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫出求證，再寫出證明過程即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，線段AC為所求作的線段；
（2）已知：如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
求證：BC=12AC．
解法一：如圖，在AC上截取一點(diǎn)D，使得CD=CB，連接DB．
∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等邊三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．
∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
∵BC=CD=DB，∴BC=12AC．
解法二：如圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使CB=BD，連接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABDSAS．∴AC=AD．
∴△ACD是等邊三角形．
∴AC=CD．
∵BC=12CD，∴BC=12AC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【變式6-6】．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．
(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；
(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．
【答案】(1)作圖及理由見解析；
(2)作圖及理由見解析．
【分析】（1）首先作線段BC=a，再作出BC的垂直平分線，然后截取高為h，連接AB、CA即可．
（2）首先作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，再直線DE上取線段FC=h，然后AB=AC=a，連接AB、CB即可．
【詳解】（1）解：
作法：1. 作線段BC=a，（如圖1）
2.作線段BC的垂直平分線MN，最足為O，
3.在直線MN上取線段OA=h，
4.連接AB、AC，
△ABC為所求作的三角形；
理由：∵線段BC的垂直平分線是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高為h，
∴△ABC為等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h的等腰三角形；
（2）解：
作法：1. 作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，（如圖2）
2. 在直線DE上取線段FC=h，
3.以點(diǎn)C為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線GH于點(diǎn)A，
4. 以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AF于點(diǎn)B，
5.連接BC、AC，
△ABC為所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC為等腰三角形，
∵直線GH垂直于直線DE，垂足為F，F(xiàn)C=h，
∴△ABC是腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h的等腰三角形；
【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線段垂直平分線的作法和等腰三角形的性質(zhì)．
題型04 尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高
【例7】（2023下·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）

(1)分別畫出△ABC的中線BG、高CH；
(2)畫出先將△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；
(3)畫一個(gè)直角三角形MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），使其面積等于△ABC的面積的2倍．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形的高和中線的定義結(jié)合網(wǎng)格作圖即可；
（2）根據(jù)平移變換的定義和性質(zhì)作圖即可；
（3）由△ABC的面積為3知所作三角形的面積為6，據(jù)此結(jié)合網(wǎng)格作圖即可得解；
【詳解】（1）如圖所示，中線BG、高CH即為所求；

（2）如圖所示，△DEF即為所求；

（3）如圖所示，直角三角形MNP即為所求；

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-基本作圖及平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高，中線的定義和平移變換的定義與性質(zhì)．
【變式7-1】（2023·吉林·一模）如圖，圖①、圖②均是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn).只用無刻度的直尺，按下列要求作圖：
(1)在圖①中，作△ABC的BC邊上的高；
(2)在圖②中，過點(diǎn)B作直線l，使得直線l平分△ABC的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）在CB的延長(zhǎng)線上，找到格點(diǎn)D，使得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，連接AD，即可求解．
（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到AC的中點(diǎn)，過AC的中點(diǎn)與點(diǎn)B作直線l，即可求解．
【詳解】（1）解：線段AD即為所求；
∵AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=12+12 =2
∴AB2=AD2+BD2
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD即為所求；
（2）直線l即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，作三角形的高，中線，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上作一點(diǎn)P，使得S△ABC=4S△ADP.（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線，與三角形中線有關(guān)的面積的計(jì)算，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于M、N，作直線MN角AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求，
，
∵在△ABC中，AD是BC邊上的中線，
∴S△ABC=2S△ACD，
由作圖可得：MN垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴S△ACD=2S△APD，
∴S△ABC=4S△APD．
【變式7-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃﹫D①、那②，圖③積是6×6的間格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在圖①，圖②，圖③給定網(wǎng)格中按要求作圖，并保留作圖痕跡．
(1)網(wǎng)格中∠B的度數(shù)是 ___________°；
(2)在圖①中畫出△ABC中BC邊上的中線AD；
(3)在圖②中確定一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E在AC邊上，且滿足BE⊥AC；
(4)在圖③中畫出△BMN，使得△BMN與△BCA是位似圖形，且點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在BC、AB邊上，位似比為13．
【答案】(1)45
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】（1）直接根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)求解即可；
（2）找到BC的中點(diǎn)D，連接AD即可；
（3）根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)畫出AC的垂線，與AC交于點(diǎn)E即可；
（4）在BC上找到點(diǎn)M，使得BMBC=13，再過點(diǎn)M畫AC的平行線，與AB交于點(diǎn)N，即可得解．
【詳解】（1）解：由圖可知：
∠B的度數(shù)是45°
（2）在圖①中，中線AD即為所求；
（3）在圖②中，點(diǎn)E即為所求；
（4）在圖③中，△BMN即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握位似變換．
題型05 尺規(guī)作圖-作垂直平分線
【例8】（2023下·河北石家莊·?？奸_學(xué)考試）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（ ）

A．FH>HGB．FH=HGC．EF>FHD．EF=FH
【答案】A
【分析】由作圖可得：PC是∠APB的角平分線，DE是線段PQ的垂直平分線，過H作HK⊥AP于K，證明HG=HK，結(jié)合HK

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