TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc158497701" 考點(diǎn)一 軸對稱
\l "_Tc158497702" 題型01 軸對稱圖形的識別
\l "_Tc158497703" 題型02 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷
\l "_Tc158497704" 題型03 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解
\l "_Tc158497705" 題型04 軸對稱中的光線反射問題
\l "_Tc158497706" 題型05 折疊問題
\l "_Tc158497707" 類型一 三角形折疊問題
\l "_Tc158497708" 類型二 四邊形折疊問題
\l "_Tc158497709" 類型三 圓的折疊問題
\l "_Tc158497710" 類型四 拋物線與幾何圖形綜合
\l "_Tc158497711" 題型06 求對稱軸條數(shù)
\l "_Tc158497712" 題型07 畫軸對稱圖形
\l "_Tc158497713" 題型08 設(shè)計(jì)軸對稱圖案
\l "_Tc158497714" 題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497715" 題型10 與軸對稱有關(guān)的規(guī)律探究問題
\l "_Tc158497716" 題型11 軸對稱的綜合問題
\l "_Tc158497717" 考點(diǎn)二 圖形的平移
\l "_Tc158497718" 題型01 生活中的平移現(xiàn)象
\l "_Tc158497719" 題型02 利用平移的性質(zhì)求解
\l "_Tc158497720" 題型03 利用平移解決實(shí)際生活問題
\l "_Tc158497721" 題型04 作平移圖形
\l "_Tc158497722" 題型05 求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)
\l "_Tc158497723" 題型06 由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497724" 題型07 由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式
\l "_Tc158497725" 題型08 已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497726" 題型09 與平移有關(guān)的規(guī)律問題
\l "_Tc158497727" 題型10 平移的綜合問題
\l "_Tc158497728" 考點(diǎn)三 圖形的旋轉(zhuǎn)
\l "_Tc158497729" 題型01 找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點(diǎn)
\l "_Tc158497730" 題型02 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解
\l "_Tc158497731" 題型03 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等
\l "_Tc158497732" 題型04 畫旋轉(zhuǎn)圖形
\l "_Tc158497733" 題型05 求旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度
\l "_Tc158497734" 題型06 旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題
\l "_Tc158497735" 題型07 求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497736" 題型08 求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497737" 題型09 求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)
\l "_Tc158497738" 題型10 旋轉(zhuǎn)綜合題
\l "_Tc158497739" 類型一 線段問題
\l "_Tc158497740" 類型二 面積問題
\l "_Tc158497741" 類型三 角度問題
\l "_Tc158497742" 題型11 判斷中心對稱圖形
\l "_Tc158497743" 題型12 畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對稱圖形
\l "_Tc158497744" 題型13 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角度
\l "_Tc158497745" 題型14 利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計(jì)圖案
考點(diǎn)一 軸對稱
軸對稱與軸對稱圖形
常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.
做軸對稱圖形的一般步驟：
1）作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的一般步驟：
①過已知點(diǎn)作已知直線（對稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足，并延長；
②在延長線上從垂足出發(fā)截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn).
2）作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形的一般步驟：
①找.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、線與線的交點(diǎn)）
②作.作各個特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)
③連.按原圖對應(yīng)連接各對稱點(diǎn)
折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．
1. 對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.
2. 軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的存在多條對稱軸（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸等）.
3. 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到的，一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對稱變換得到的.
4. 軸對稱的性質(zhì)是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一,例如:若已知兩個圖形關(guān)于某直線成軸對稱,則它們的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.
題型01 軸對稱圖形的識別
【例1】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）北京2022年冬奧會會徽如圖所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可
【詳解】A,B,C都不是軸對稱圖形，故不符合題意；
D是軸對稱圖形，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·廣東深圳·南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用軸對稱圖形的定義得出答案．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，符合題意；
C．不是軸對稱圖形，不符合題意；
D.不是軸對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【變式1-2】（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各項(xiàng)分析判斷即可得解．
【詳解】A．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查判斷軸對稱圖形，理解軸對稱圖形的概念是解答的關(guān)鍵．
題型02 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷
【例2】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(diǎn)（P不與AA1共線），下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．AP=A1PB．△ABC與△A1B1C1的面積相等
C．MN垂直平分線段AA1D．直線AB,A1B1的交點(diǎn)不一定在MN上
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷，即可得．
【詳解】解：∵△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(diǎn)（P不與AA1共線），
∴AP=A1P，△ABC與△A1B1C1的面積相等，MN垂直平分線段AA1，
即選項(xiàng)A、B、C正確，
∵直線AB,A1B1關(guān)于直線MN對稱，
∴直線AB,A1B1的交點(diǎn)一定在MN上，
即選項(xiàng)D不正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．
【變式2-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，這條活靈活現(xiàn)的“小魚”是由若干條線段組成的，它是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線l，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線l的距離相等B．BC=BD
C．∠CAB=∠DABD．四邊形ADBC是菱形
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱軸圖形的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可，
【詳解】解：圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線l，點(diǎn)C和點(diǎn)D是對稱點(diǎn)，
所以△ABC?△ABD，點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線l的距離相等，
所以BC=BD，∠CAB=∠DAB，AC=AD，
無法判斷AC與BC是否相等，故四邊形ADBC是菱形不一定正確，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱軸圖形的性質(zhì)，軸對稱圖形具有以下的性質(zhì)：
（1）軸對稱的兩個圖形是全等圖形；軸對稱圖形的兩個部分也是全等圖形. （2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. （3）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)一定在在對稱軸上.
【變式2-2】（2019·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）每個網(wǎng)格中均有兩個圖形，其中一個圖形關(guān)于另一個圖形軸對稱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱定義：如果一個圖形沿某條直線對折能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱進(jìn)行分析即可．
【詳解】A、其中一個圖形不與另一個圖形成軸對稱，故此選項(xiàng)錯誤；
B、其中一個圖形與另一個圖形成軸對稱，故此選項(xiàng)正確；
C、其中一個圖形不與另一個圖形成軸對稱，故此選項(xiàng)錯誤；
D、其中一個圖形不與另一個圖形成軸對稱，故此選項(xiàng)錯誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱，關(guān)鍵是掌握軸對稱定義．
題型03 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解
【例3】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【答案】C
【分析】在BA上截取BE=BN，構(gòu)造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．
【詳解】解：如圖，在BA上截取BE=BN，
因?yàn)椤螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，
所以∠EBM=∠NBM，
在△BME與△BMN中，
BE=BN∠EBM=∠NBMBM=BM
所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME=MN．
所以CM+MN=CM+ME≥CE．
因?yàn)镃M+MN有最小值．
當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，即C到直線AB的垂線段時(shí)，CE取最小值
此時(shí)，∵∠ABC=60°，CE⊥AB，
∴∠BCE=30°，
∴BE=12BC=2，
∴CE=BC2-BE2=23，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的應(yīng)用，最短路徑問題，垂線段最短等知識．易錯易混點(diǎn)：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯誤．規(guī)律與趨勢：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．
【變式3-1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動；若EF=1，則GE+CF的最小值為 ．
【答案】32
【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴HG'=DH2+DG'2=32+32=32，
即GE+CF的最小值為32．
故答案為：32
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為 ．
【答案】3
【分析】連接AC，CQ，則CQ的長即為AP+PQ的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠BCD=120°得出∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△ABC是等邊三角形，故△BCQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出CQ的長．
【詳解】解：連接AC，CQ，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴A、C關(guān)于直線BD對稱，
∴CQ的長即為AP+PQ的最小值，
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵Q是AB的中點(diǎn)，
∴CQ⊥AB，BQ=12BC=12×2=1，
∴CQ=BC2-BQ2=22-12=3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2020·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點(diǎn)M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點(diǎn)，則AM+MN的最小值為 ．

【答案】15
【分析】如圖，過A作AG⊥BD于G，延長AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交BD于M，則AM+MN=EN最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解EN即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過A作AG⊥BD于G，延長AG，使AG=EG，過E作EN⊥AB于N，交BD于M，則AM+MN=EN最短，
∵ 四邊形ABCD為矩形，BC=10，∠ABD=30°，
∴AD=10,BD=20,AB=BD?cs30°=103,
∵AG?BD=AD?AB,
∴20AG=10×103,
∴AG=53,AE=2AG=103,
∵AE⊥BD,EN⊥AB,∠EMG=∠BMN,
∴∠E=∠ABD=30°,
∴EN=AE?cs30°=103×32=15,
∴AM+MN=15,
即AM+MN的最小值為15.
故答案為：15.
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查利用軸對稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識．
題型04 軸對稱中的光線反射問題
【例4】（2023·河北廊坊·?？家荒＃┩ㄟ^光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對稱（圖1）．在圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可．
【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如下圖所示：
根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面AB上放一個平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算．
【詳解】解：∵入射光線垂直于水平光線，
∴它們的夾角為90°，虛線為法線，∠1為入射角，
∴∠1=12×90°=45°
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°
∴∠3=90°-∠1=45°
∵兩水平線平行
∴∠α=∠3=45°
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，α,β是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面α反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面α的夾角的度數(shù)為x°，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為y°．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【答案】2x+y=180
【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．
【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，
∴反射后的光線n 與鏡面α夾角度數(shù)為x°，
∵α,β是兩面互相平行的平面鏡，
∴反射后的光線n 與鏡面β夾角度數(shù)也為x°，
又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，
∴反射后的光線k與鏡面β的夾角度數(shù)也為x°，
∴x°+x°+y°=180° ，
∴2x+y=180 ．
故答案為：2x+y=180．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
題型05 折疊問題
類型一 三角形折疊問題
【例5】（2023·新疆·統(tǒng)考一模）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB'于點(diǎn)P．若BC=12，則MP+MN= ．
【答案】6
【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得BD=DB'=12BB'和AD⊥BC，由第二次折疊得到AM=DM，MN⊥AD，進(jìn)而得到MN∥BC，易得MN是△ADC的中位線，最后由三角形的中位線求解．
【詳解】解：∵已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D，
∴BD=DB'=12BB'，AD⊥BC．
∵第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB'于點(diǎn)P，
∴AM=DM，AN=ND，
∴MN⊥AD，
∴MN∥BC．
∵AM=DM，
∴MN是△ADC的中位線，
∴MP=12DB'，MN=12DC．
∵BC=12，BD+DC=CB'+2BD=BC，
∴MP+MN=12DB'+12DC=12DB'+DB'+B'C=12BC=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為 ．
【答案】53
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE為△ABC的中位線，利用中位線定理求出DE的長度，再解Rt△ACE求出AF的長度，即可求解．
【詳解】解：∵將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，
∴DE垂直平分AF，AD=DF，AE=EF，∠ADE=∠EDF，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，∠AFC=90°，
∴∠B=∠BFD，
∴BD=DF，
∴BD=AD，即D為AB的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=12BC=5，
∵AF＝EF，
∴△AEF是等邊三角形，
在Rt△ACE中，∠CAF=60°，CF=6，
∴AF=CFtan60°=23，
∴AG=3，
∴四邊形ADFE的面積為12DE?AG×2=53，
故答案為：53．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·廣東珠海·珠海市文園中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝ °．
【答案】130
【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B′DC=80°，進(jìn)而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．
【詳解】解：由折疊的定義得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，
∵EB′∥BC，
∴∠B′=∠B′DC=80°，
∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠CDE＝180°-∠BDE=130°．
故答案為：130
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識，熟知相關(guān)知識并根據(jù)圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC邊上的高線長．
（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．
②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長．
【答案】（1）4;（2）①90°；②26
【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①證明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解決問題．
②如圖3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，證明△AEF∽△ACB，推出AFAB=AEAC，由此求出AF即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
在Rt△ABD中，AD=AB?sin45°=42×22=4.
（2）①如圖2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如圖3，由（1）可知：在Rt△ADC中，AC=ADsin60°=833.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，則∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴AFAB＝AEAC，即AF42＝22833，
∴AF＝23,
在Rt△AFP中，AF＝PF，則AP＝2AF＝26.
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
【變式5-4】（2023·新疆和田·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OC上的動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到ΔAED，連接BE．

(1)當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
(3)設(shè)AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【答案】(1)60
(2)∠AEB=30°+∠CAD
(3)y=(23-x)2+4
【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)可得AC=AE=AB，再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；
（2）首先由折疊的性質(zhì)可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AE=AB，∠ABE=∠AEB，最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AO的長，由勾股定理可求OD的長，最后根據(jù)面積和差關(guān)系可求解．
【詳解】（1）∵∠ABC=30°，AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAE=60°，
∵將ΔACD沿AD折疊得到ΔAED，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
故答案為：60；
（2）∠AEB=30°+∠CAD，理由如下：
∵將ΔACD沿AD折疊得到ΔAED，
∴AE=AC，∠CAD=∠EAD，
∵∠ABC=30°，AB=AC，
∴∠BAC=120°，
∴∠BAE=120°-2∠CAD，
∵AB=AE=AC，
∴∠AEB=180°-(120°-2∠CAD)2=30°+∠CAD；
（3）如圖，連接OA，
∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴OA⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB=30°，AC=4，
∴AO=2，OC=23，
∵OD2=AD2-AO2，
∴OD= y-4，
∵SΔADC=12×OC×AO-12×OD×OA，
∴x=12×2×23-12×2×y-4，
∴y=(23-x)2+4．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用．
類型二 四邊形折疊問題
【例6】（2019·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，交BC于點(diǎn)F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，則∠E為( )

A．102°B．112°C．122°D．92°
【答案】B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性質(zhì)求出∠BDF=∠DBC=12∠DFC=20°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠A，即可得到結(jié)果．
【詳解】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折疊可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠ADB的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF．若∠BFE=45°，則BF的長為（ ）
A．5B．35C．53D．35
【答案】C
【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC 于H，由折疊知識得：∠BFG=90° ，再由銳角三角函數(shù)可得AH=53，然后根據(jù)AD//BC，可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC 于H，
由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
∵∠BFE=45°，
∴∠BFG=90° ，
在Rt△ABH 中，AB=10，∠B=60°，
AH=sinB×AB=sin60°×10=32×10=53 ，
∵AD//BC，
∴∠GAH=∠AHB=90° ，
∴∠GAH=∠AHB=∠BFG=90° ，
∴ 四邊形AHFG是矩形，
∴FG=AH=53 ，
∴BF=GF=53 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·浙江臺州·模擬預(yù)測）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（ ）
A．2B．2+12C．5+12D．43
【答案】A
【分析】第一次翻折可得DM=2，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折疊，可得CD=2，EC=2-1，由∠DCN=45°，可得EF=2-1，則CF=2-2，再求ΔECF的周長即可．
【詳解】如圖，
第一次折疊，如圖②，
∵BC=1，
∴AD=AM=DE=1，
∴DM=2，
由折疊的性質(zhì)，∠ADM=∠EDM=45°，
∴EM=1，
第二次折疊，如圖③，CN=BC=1，∠DNC=90°，
∴DN=1，
∴CD=2，
∴EC=2-1，
∵∠DCN=45°，
∴EF=2-1，
∴CF=2-2，
∴ΔECF的周長=2-1+2-1+2-2=2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，對應(yīng)兩次翻折求出∠EDM=45°是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2021·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，則∠EFC等于（ ）
A．65°B．110°C．115°D．130°
【答案】C
【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠D'EF=∠DEF=12∠DED'，因?yàn)椤螦ED'=50°，結(jié)合平角可求得∴∠D'EF=∠DEF=12∠DED'=65°，再結(jié)合平行可求得∠EFC=180°-∠DEF=115°．
【詳解】解：∵∠AED'=50°，
∴∠DED'=180°-∠AED'=180°-50°=130°，
∵長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D'、C'的位置，
∴∠D'EF=∠DEF=12∠DED'=12×130°=65°，
∵AD∥BC，
∴∠EFC=180°-∠DEF=115°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2022·河南鄭州·一模）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長交AB于點(diǎn)G，請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
【答案】（1）EF=BF；見解析；（2）AG=BG，見解析；（3）223．
【分析】（1）如圖，分別延長AD，BF相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PDF=∠C，∠P=∠FBC，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FP=FB，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EF=12BP，即可得EF=BF；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=12∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=12AB，可得AG=BG；
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)A'B⊥CD可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【詳解】（1）EF=BF．
如圖，分別延長AD，BF相交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，
∴∠PDF=∠C，∠P=∠FBC,
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
在△PDF和△BCF中，∠P=∠FBC∠PDF=∠CDF=CF，
∴△PDF≌△BCF，
∴FP=FB，即F為BP的中點(diǎn)，
∴BF=12BP，
∵BE⊥AD，
∴∠BEP=90°，
∴EF=12BP，
∴EF=BF．
（2）AG=BG．
∵將?ABCD沿著BF所在直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，
∴∠CFB=∠C′FB=12∠CFC′，F(xiàn)C'=FC，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴FC=FD=12CD，
∴FC'=FD，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵∠CFC'=∠FDC′+∠FC′D，
∴∠FC'D=12∠CFC'，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴DG//FB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴四邊形DGBF為平行四邊形，
∴BG=DF，
∴BG=12AB，
∴AG=BG．
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，
∵?ABCD的面積為20，邊長AB=5，A'B⊥CD于點(diǎn)H，
∴BH=50÷5=4，
∴CH=BC2-BH2=2，A′H=A′B-BH=1，
∵將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵A'B⊥CD于點(diǎn)H，AB//CD，
∴A'B⊥AB，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴CHA'H=BHNH，即21=4NH，
解得：NH=2，
∵A'B⊥CD，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴A'HA'Q=NHMQ，即15-MQ=2MQ，
解得：MQ=103，
∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=12A′B·MQ-12A′H·NH=12×5×103-12×1×2=223．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
【變式6-5】（2021·江蘇常州·統(tǒng)考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．
（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE的值；
（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．
【答案】（1）23；（2）BF＝3．
【分析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG=x，則BG=4-x．證明△EGP∽△PHD，推出EGPH=PGDH=EPPD=13，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴POPM=CDPD=812=23，
∴AODE=2PO2PM=23．
（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴EGPH=PGDH=EPPD=412=13，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝165（負(fù)值已經(jīng)舍棄），
∴BG＝4﹣165＝45，
在Rt△EGP中，GP＝EP2-EG2=125，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴EGEB=GPBF，
∴1654=125BF，
∴BF＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
類型三 圓的折疊問題
【例7】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃⒁粋€半徑為1的圓形紙片，如下圖連續(xù)對折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開，則虛線①所對的圓弧長和展開后得到的多邊形的內(nèi)角和分別為（ ）

A．π2，540°B．π4，720°C．π4，1080°D．π3，2160°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，圓形紙片連續(xù)對折三次，其圓心角被平均分成8份，虛線①所對的圓弧長為整圓的18，展開后得到的多邊形是八邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式解題即可．
【詳解】解：由題意得：形成的多邊形是正八邊形，
其內(nèi)角和是8-2×180°=1080°，
虛線①所對的圓弧長l=18?2πr=π4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊，其中涉及弧長公式、多邊形的內(nèi)角和公式，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，∠BAC=20°，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點(diǎn)D，則∠ACD的度數(shù)等于( )．
A．40°B．50°C．80°D．100°
【答案】B
【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)優(yōu)弧AC所對的圓周角為∠ADC，得到∠ADC+∠B=180°，然后根據(jù)∠DCA=∠CDB-∠A，計(jì)算求得∠ACD的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°．
根據(jù)翻折的性質(zhì)，AC所對的圓周角為∠B，優(yōu)弧AC所對的圓周角為∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=70°，
∴∠ACD=∠CDB-∠A=70°-20°=50°，
故選:B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意作出直徑所對的圓周角，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是理解∠ADC+∠B=180°.
【變式7-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，AC、AD是⊙O中關(guān)于直徑AB對稱的兩條弦，以弦AC、AD為折線將弧AC，弧AD折疊后過圓心O，若⊙O的半徑r=4，則圓中陰影部分的面積為 ．

【答案】83
【分析】根據(jù)對稱性和直角三角形的邊角關(guān)系求出扇形圓心角度數(shù)，再根據(jù)各個部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接OD，

則OA=OE=OD，由折疊對稱可知，
OF=EF=12OA=2，
∴∠OAD=30°, ∠OED=2∠OAD=60°，△ODE是等邊三角形，
∴∠AOE=∠DOE=∠BOD=60°，
∵⊙O的半徑r=4，DF=23，
由題意可知，S陰影部分=2S△ODE=2×12×4×23=83，
故答案為：83．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，垂徑定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及折疊軸對稱的性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及軸對稱的性質(zhì)是正確解答的提．
【變式7-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖所示，在扇形AOB中，半徑OA=4，點(diǎn)P在OA上，連接PB，將△OBP沿PB折疊得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1與弧AB所在的圓相切于點(diǎn)B．
(1)求∠APO1的度數(shù)；
(2)求AP的長．
【答案】(1)60°
(2)4-463
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得∠OBP=∠O1BP，∠OPB=∠O1PB，由切線的性質(zhì)可得∠OBP=∠O1BP=45°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠OPB=60°，由此根據(jù)平角的定義即可求出答案；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥PB于點(diǎn)H，則三角形OBH是等腰直角三角形，求出OH=22，進(jìn)而求出OP=463，則AP=4-463．
【詳解】（1）解：∵將△OBP沿PB折疊得到△O1BP，
∴∠OBP=∠O1BP，∠OPB=∠O1PB，
又∵BO1與弧AB所在的圓相切于點(diǎn)B，
∴∠OBO1=90°，
∴∠OBP=∠O1BP=45°，
又∵∠O=75°，
∴∠OPB=180°-∠O-∠OBP=60°，
∴∠APO1=180°-2∠OPB=60°；
（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥PB于點(diǎn)H，
由①得∠OBP=∠O1BP=45°，
∴三角形OBH是等腰直角三角形，
∵OA=4，
∴OB=4，
∴OH=22，
又∵∠OPB=60°，
∴OP=OHsin60°=2232=463，
∴AP=4-463．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式7-4】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（ ）
A．3π-33B．3π-932C．2π-33D．6π-932
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊，△ACB≌△AOB，進(jìn)一步得到四邊形OACB是菱形；進(jìn)一步由OC=OB=BC=3得到△OBC是等邊三角形；最后陰影部分面積=扇形AOB面積-菱形的面積，即可
【詳解】依題意：△ACB≌△AOB，AO=BO=3
∴AC=BC=AO=BO=3
∴四邊形OACB是菱形
∴AB⊥CO
連接OC
∵OC=OB=3
∴OC=OB=BC=3
∴△OBC是等邊三角形
同理：△OAC是等邊三角形
故∠AOB=120°
由三線合一，在Rt△OBD中：
∠OBD=12∠OBC=30°
OD=12OB=32
BD=3OD=323
S菱形OACB=12×2BD?2OD=12×2×323×2×32=923
S扇形AOB=120°360°?π?32=3π
S陰影=S菱形OACB-S扇形AOB=3π-923
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，菱形面積公式，扇形面積公式；解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△OBC是等邊三角形
類型四 拋物線與幾何圖形綜合
【例8】（2021·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝-13x2+233x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）連接AC、BC．判斷△ABC的形狀，說明理由．
（3）過點(diǎn)C作直線l//x軸，點(diǎn)P是拋物線上對稱軸右側(cè)一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ//y軸交直線l于點(diǎn)Q，連接CP．若將△CPQ沿CP對折，點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．是否存在這樣的點(diǎn)P，使點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．
【答案】（1）(-3,0),(33,0)；（2）直角三角形，見解析；（3）存在，Q(23+3,3)或Q(21,3)
【分析】（1）用因式分解或者求根公式求出相應(yīng)的一元二次方程的根即可；
（2）觀察后猜想是直角三角形，用勾股定理的逆定理檢驗(yàn)△ABC三邊即可；
（3）根據(jù)對折前后的三角形是全等的，得到相應(yīng)的邊的關(guān)系，再應(yīng)用勾股定理；注意分類討論坐標(biāo)軸是x軸還是y軸．
【詳解】解：（1）二次函數(shù)為y=-13x2+233x+3=-13(x2-23x-9)=-13(x+3)(x-33)，
當(dāng)y＝0時(shí)，得-13(x+3)(x-33)=0，
解得x1=-3,x2=33，
∴拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(33,0)；
（2）如題圖，不妨設(shè)A(-3,0),B(33,0)，
當(dāng)x＝0時(shí)，相應(yīng)的拋物線的函數(shù)值為y＝3，
∴C（0，3），
那么OA=3,OB=33,OC=3，
而AB=OA+OB=43．
在平面直角坐標(biāo)系中，
∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC和△BOC都是直角三角形，
根據(jù)勾股定理，
AC2=OA2+OC2=(3)2+32=12 ，
BC2=OB2+OC2=(33)2+32=36，
AB2=(43)2=48 ，
所以AC2+BC2＝12+36＝48＝AB2，
根據(jù)勾股定理的逆定理，
∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為直線x=-2332×(-13)=3 ，
設(shè)P（x0，y0），
∵P是拋物線上對稱軸右側(cè)的動點(diǎn)，所以x0>3，
且有y0=-13x02+233x0+3
點(diǎn)Q（x0，3），且根據(jù)題目的作法，有∠CQP＝90°，
分兩種情況：
①若點(diǎn)M在y軸上，如下圖所示
根據(jù)PQ//y軸，一定有∠QCM＝90°，
而根據(jù)折疊性，CQ＝CM，∠CMP＝∠CQP＝90°，
根據(jù)“平面內(nèi)有三個角是直角的四邊形是矩形”知，四邊形CQPM是矩形，
再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”知，四邊形CQPM是正方形．
即，不管P在拋物線對稱軸右側(cè)何處，
只要折疊后的M點(diǎn)在y軸上，一定有四邊形CQPM是正方形，
于是一定有對角線CP是邊長CQ的2倍，即CP=2CQ，
也就是CP2＝2CQ2，
而CQ指的是Q的橫坐標(biāo)的絕對值，
即CQ＝x0，
以及C（0，3），P（x0，y0），那么CQ＝x0，
QP為Q的縱坐標(biāo)與P的縱坐標(biāo)之差的絕對值，
即QP＝|3﹣y0|，
于是根據(jù)勾股定理，
CP2=CQ2+QP2=x02+3-y02=x02+(y0-3)2，
代入之前的數(shù)值，得到
2x02=x02+(y0-3)2，即x02=(y0-3)2，
注意y0=-13x02+233x0+3?y0-3=-13x02+233x0=-13x0(x0-23) ，
代入得x02=[-13x0(x0-23)]2=19x02(x0-23)2 ，
因?yàn)閤0>3，等式兩邊可以約去x0，
即1=19(x0-23)2，
解得x0=23+3或x0=23-3（舍棄，因?yàn)?3-33，等式兩邊可以約去x0，
得到23=OM=x02-9，
解得x0=21 或x0=-21（負(fù)值舍去），
所以當(dāng)M落在x軸時(shí)，解得Q(21,3)．
綜上，存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上，相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(23+3,3)或Q(21,3)．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理及其逆定理，因式分解，坐標(biāo)系中點(diǎn)的距離表示，折疊的性質(zhì)，正確畫出兩種情況的草圖，并在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=-x2+bx+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為A，對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)H（2，0）且平行于y軸的一條直線．點(diǎn)P是對稱軸上位于點(diǎn)A下方的一點(diǎn)，連接CP并延長交拋物線于點(diǎn)B，連接CA、AB．
（1）填空：b=______，點(diǎn)A的坐標(biāo)是______；
（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將△CAB沿CB翻折后得到△CDB（點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D），問點(diǎn)D能否恰好落在坐標(biāo)軸上?若能，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．
【答案】（1）4，（2，6）；（2）P（2，83）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(2，83)、P2(2，6-25)、P3（2，0）．
【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸的定義，可求出b=4，代入解析式，即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AH，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，則CE=2，利用勾股定理可求出AC=25，從而△AFP∽△AEC，可得PFAF=CEAE=24=12，可得到CF=PF，設(shè)CF=PF=m，則AF=2m，則AC=AF+CF=m+2m,根據(jù)AC=25，可求出m，即可求解；
（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的正半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，即可解答．
【詳解】解：（1）∵對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)H（2，0），
∴對稱軸-b2×(-1)=b2=2，
∴b=4，
∴拋物線的解析式：y=-x2+4x+2
將x=2代入，得y=6，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；
（2）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AH，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，則CE=2，
∵二次函數(shù)y=-x2+bx+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)C（0，2），
∴AE=4，
∴AC=22+42=25，
∵∠AFP=∠AEC=90°，∠FAP=∠EAC，
∴△AFP∽△AEC，
∴PFAF=CEAE=24=12，
∵∠ACB=45°，
∴CF=PF，
設(shè)CF=PF=m，則AF=2m，則AC=AF+CF=m+2m,
∴m+2m=25，
解得：m=253，
∴AP＝AF2+PF2=m2+(2m)2=5m=103，
∴PH=AH-AP=6-103 =83，
∴P（2，83）；
（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的正半軸上時(shí)，則CD=AC=25，
又∵OC=2，
在Rt△COD 中，由勾股定理得：
OD=4，
∴HD＝OD-OH＝2，
由對稱性可知AP=PD，設(shè)PH=n，則AP=PD=6-n，
在Rt△DPH中，有PH2+HD2=PD2，
即n2+22=(6-n)2，解得n=83，
∴P1(2，83)；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，則CD=AC=25，
由對稱性可知∠DCP=∠ACP，
又∵AH∥OC，
∴∠DCP=∠APC，
∴∠APC=∠ACP，
∴AC＝AP＝25，
∴PH=6-25，
∴P2(2，6-25)；
③如圖4，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，則CD=AC=25，
又∵OC=2，
在Rt△COD 中，由勾股定理得：OD=4，
∴DH=AH=6，
連接AD，
∴直線CH是線段AD的中垂線，
又點(diǎn)P在直線AH上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，
∴P3（2，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1(2，83)、P2(2，6-25)、P3（2，0）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．
【變式8-2】（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'的位置，線段A'C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O、A點(diǎn)不重合．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)①求證：△OCD∽△A'BD；②DBBA的最小值；
(3)當(dāng)S△OCD=8S△A'BD時(shí)，求直線A'B的解析式．
【答案】(1)y=12x2-2x
(2)①證明見解析；②22
(3)y=-43x+4
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似即可證明；②由△OCD∽△A'BD得出OCA'B=CDBD，則BDAB=CDOC，所以CD最小，BDAB的值最小，求出此時(shí)CD=2，即可得出答案；
（3）先求出點(diǎn)A'和B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，
∴c=08+4b+c=0，
解得：b=-2c=0，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=12x2-2x．
（2）①由翻折得：∠OAC=∠A'，
∵二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，
∴點(diǎn)O、A關(guān)于對稱軸對稱．
∴OC=AC．
∴∠COA=∠CAO=∠A'．
∵∠CDO=∠A'DB，
∴△OCD∽△A'BD．
②∵△OCD∽△A'BD，
∴OCA'B=CDBD．
∵AB=A'B，
∴BDAB=CDOC．
∴BDAB的最小值就是CDOC的最小值．
∵y=12x2-2x=12x-22-2，
∴C2,-2．
∴OC=22．
∴當(dāng)CD⊥OA時(shí)，CD最小，BDAB的值最?。?br>此時(shí)D2,0，CD=2，
∴BDAB的最小值是222=22．
（3）連接AA'，過點(diǎn)A'作A'G⊥OA于G，延長CB交AA'于點(diǎn)H，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，如圖所示：

∵△OCD∽△A'BD，S△OCD=8S△A'BD，
∴S△OCDS△A'BD=OCA'B2=8．
∵OC=22，
∴AB=A'B=1．
∴OB=OA-AB=4-1=3，BF=2-1=1．
∴B3,0．
由翻折知，CH⊥AA'，
∵∠CFB=∠AHB=90°，∠FBC=∠HBA，
∴∠BCF=∠BAH．
∵tan∠BCF=BFCF=12，
∴tan∠BAH=A'GAG=12．
設(shè)A'G=a，則AG=2a，BG=2a-1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2=A'B2，
∴2a-12+a2=12．
解得：a1=0（舍去），a2=45，
∴A'G=45，AG=85．
∴OG=OA-AG=125．
∴A'125,45．
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b1，把A'125,45和B3,0代入得：
125k+b1=453k+b1=0，
解得：k=-43b1=4，
∴直線A'B的解析式為y=-43x+4．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的對稱性，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx-6與x軸正半軸交于點(diǎn)A6,0，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D2,0，將△ACD沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=12x2-2x-6
(2)存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE，P點(diǎn)坐標(biāo)為8,10或4,-6．
【分析】（1）由翻折可求出E-2,0，再將A6,0，E-2,0代入y=ax2+bx-6，解方程組，求出a，b的值，即得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出B0,-6．分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時(shí)，即為點(diǎn)P1，如圖，易求出直線AB的解析式為y=x-6．根據(jù)∠P1EA=∠BAE，即得出P1E∥AB，從而可直線P1E的解析式為y=x+m'，再將E-2,0代入，即可求出直線P1E的解析式為y=x+2．最后聯(lián)立y=12x2-2x-6y=x+2，解出x，y的值，即得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，即為點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q，易求出OA=OB=6，從而得出∠P2EA=∠BAE=45°。進(jìn)而可求出P2Q=QE．設(shè)P2x,12x2-2x-6，則P2Q=yQ=-12x2+2x+6，QE=xP2-xE=x+2，從而可得出關(guān)于x的方程，解出x的值即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵△ACD沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處，且A6,0，
∴E-2,0．
將A6,0，E-2,0代入y=ax2+bx-6，
得：0=36a+6b-60=4a-2b-6，解得：a=12b=-2，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=12x2-2x-6；
（2）解：對于y=12x2-2x-6，令x=0，則y=-6，
∴B0,-6．
分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時(shí)，即為點(diǎn)P1，如圖，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
則0=6k+m-6=m，解得：k=1m=-6，
∴直線AB的解析式為y=x-6．
∵∠P1EA=∠BAE，
∴P1E∥AB，
∴可設(shè)直線P1E的解析式為y=x+m'．
∵E-2,0，
∴0=-2+m'，解得：m'=2，
∴直線P1E的解析式為y=x+2．
聯(lián)立y=12x2-2x-6y=x+2，解得：x1=8y1=10，x2=-2y2=0（舍）．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為8,10；
②當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，即為點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖，
∵B0,-6，A6,0，
∴OA=OB=6，
∴∠BAE=45°，
∴∠P2EA=∠BAE=45°，
∴△P2QE為等腰直角三角形，
∴P2Q=QE．
設(shè)P2x,12x2-2x-6，
則P2Q=yQ=-12x2+2x+6，QE=xQ-xE=xP2-xE=x+2，
∴-12x2+2x+6=x+2，
解得：x1=-2（舍），x2=4，
∴yP2=12×42-2×4-6=-6，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,-6．
綜上可知存在點(diǎn)P，使∠PEA=∠BAE，P點(diǎn)坐標(biāo)為8,10或4,-6．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形綜合等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及其與幾何知識的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．
題型06 求對稱軸條數(shù)
【例9】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，畫出該圖形的對稱軸，即可求解．
【詳解】解∶如圖，

一共有5條對稱軸．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用軸對稱圖形的定義逐一判斷即可．
【詳解】解：A是軸對稱圖形，對稱軸有1條；
B不是軸對稱圖形；
C不是軸對稱圖形；
D是軸對稱圖形，對稱軸有2條；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查識別軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列圖形：
其中是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】A
【分析】根據(jù)題意首先將各圖形的對稱軸畫出，在數(shù)對稱軸的條數(shù)即可.
【詳解】1有兩條對稱軸；2有兩條對稱軸；3有四條對稱軸；4不是對稱圖形
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的對稱軸，關(guān)鍵在于對稱軸的概念的掌握.
【變式9-3】（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱及對稱軸的定義，判斷各選項(xiàng)的對稱軸數(shù)量，繼而可得出答案．
【詳解】A.有1數(shù)條對稱軸，
B.有無數(shù)條對稱軸，
C.有2條對稱軸，
D.有3條對稱軸，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
題型07 畫軸對稱圖形
【例10】（2021·廣東中山·校聯(lián)考一模）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．
(1)在方格紙中面出△ADC，使△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對稱（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上）；
(2)在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點(diǎn)G，點(diǎn)H均在小正方形的頂點(diǎn)上），且平行四邊形EFGH的面積為4．連接DH，請直接寫出線段DH的長．
【答案】(1)見解析
(2)圖見解析，DH=5
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△ADC；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形，利用勾股定理可得DH的長．
【詳解】（1）如圖
（2）如圖，DH=32+42=5
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，軸對稱變換，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A2，4，B1，2，C4，1，△DEF各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為D4，-4，E5，-2，F(xiàn)2，-1．
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；
(2)若△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是___．
【答案】(1)見解析
(2)3，0
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，先在坐標(biāo)系中描出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A'、B'、C'，然后順次連接A'、B'、C'即可；
（2）如圖所示，連接AD與CF交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，△A'B'C'即為所求；
（2）解：如圖所示，連接AD與CF交于點(diǎn)P，
由圖可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為3，0（此坐標(biāo)可以利用P是AD的中點(diǎn)進(jìn)行求解），
故答案啊為：3，0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱，找對稱中心，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2022·福建莆田·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB中點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn)E，使得點(diǎn)B，E關(guān)于直線CD對稱；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接DE，求證：∠CDE=2∠A．
【答案】(1)作圖見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）過B點(diǎn)作CD的垂線，然后畫出點(diǎn)E，使E點(diǎn)和B點(diǎn)到CD的距離相等；
（2）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于CD對稱可得∠CDE=∠BDC．進(jìn)而在Rt△ABC中論證CD=AD得∠A=∠ACD，再由∠BDC=∠A+∠ACD即可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：（1）如圖，點(diǎn)E為所求作的點(diǎn)；
（2）證明：
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于CD對稱，
∴∠CDE=∠BDC．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD．
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠CDE=2∠A．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的外角定理，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)請畫出與△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1．
(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，得到△A2B2C2，請?jiān)趛軸的右側(cè)畫出△A2B2C2．
(3)在y軸上存在點(diǎn)P，使得△OA1P的面積為6，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)P（0，4）或（0，-4）
【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用關(guān)于位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；
（3）直接利用三角形面積公式求出OP的長，故可得出答案．
【詳解】（1）如圖，△A1B1C1為所求；
（2）如圖，△A2B2C2為所求；
（3）如圖，∵y軸上存在點(diǎn)P，使得△OA1P的面積為6，
∴12OP×xA=6
∴12OP×3=6
解得OP=4
∴P（0，4）或（0，-4）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱變換以及位似變換，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
題型08 設(shè)計(jì)軸對稱圖案
【例11】（2020·河北·模擬預(yù)測）如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有6個小正三角形涂黑，還需涂黑n個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則n的最小值為（ ）
A．10B．6C．3D．2
【答案】C
【分析】由等邊三角形有三條對稱軸可得答案．
【詳解】如圖所示，n的最小值為3．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)．
【變式11-1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4正方形網(wǎng)絡(luò)中，選取一個白色的小正方形并涂黑，使構(gòu)成的黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率是 ．
【答案】313
【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的位置，進(jìn)而利用概率的公式得出答案．
【詳解】解：由示意圖可知，我們涂黑一個白色小方塊可以使圖形為軸對稱圖形的情況總共為3種，我們可以涂的白色小方塊的個數(shù)總共為13個，所以圖中黑色部分的圖形能構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率為313．
故答案為：313．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，概率公式的應(yīng)用，正確把握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（2020·山東棗莊·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為要剪掉部分）
請?jiān)趫D中畫出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）
【答案】見解析.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念作圖即可得．
【詳解】解：根據(jù)剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形；即如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念．
【變式11-3】（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）閱讀理解，并解答問題：
觀察發(fā)現(xiàn)：
如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發(fā)現(xiàn)這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過程設(shè)計(jì)的，其中虛線所在的直線是正方形的對稱軸．
問題解決：
用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫一種拼法．
(1)圖3中所畫拼圖拼成的圖案是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
(2)圖4中所畫拼圖拼成的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）按照軸對稱的意義得出答案即可；
（2）按照軸對稱的定義和中心對稱的定義設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的圖案既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．
【詳解】（1）解：（1）參考圖案，如圖所示：
（2）（2）參考圖案，如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對稱或中心對稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是理解軸對稱和中心對稱的定義．
【變式11-4】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）在4×4的方格中，選擇6個小方格涂上陰影，請仔細(xì)觀察圖1中的六個圖案的對稱性，按要求回答．
(1)請?jiān)诹鶄€圖案中，選出三個具有相同對稱性的圖案．選出的三個圖案是 （填寫序號）；它們都是 圖形（填寫“中心對稱”或“軸對稱”）；
(2)請?jiān)趫D2中，將1個小方格涂上陰影，使整個4×4的方格也具有（1）中所選圖案相同的對稱性．
【答案】(1)①③⑤；軸對稱；
(2)見解析
【分析】（1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)定義進(jìn)行判斷選擇即可；
（2）根據(jù)軸對稱圖形的定義將1個小方格涂上陰影即可．
【詳解】（1）解：①③⑤三個圖案是軸對稱圖形，
故答案為：①③⑤；軸對稱；
（2）解：如圖所示（答案不唯一），
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
【例12】（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．(-4,2)B．(4,2)C．(-4,-2)D．(4,-2)
【答案】C
【分析】關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：(-4,-2).
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查的是關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，掌握“關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．”是解題的關(guān)鍵．
【變式12-1】（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(-3，-2)向右平移5個單位長度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（ ）
A．(2，2)B．(-2，2)C．(-2，-2)D．(2，-2)
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律左減右加可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．
【詳解】解：點(diǎn)A(-3，-2)向右平移5個單位長度得到點(diǎn)B(2，-2)，
點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（-2，-2），
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的平移和關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．
【變式12-2】（2019·四川成都·校聯(lián)考一模）若點(diǎn)A（1+m，1﹣n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，據(jù)此求出m、n的值，代入計(jì)算可得．
【詳解】∵點(diǎn)A（1+m，1﹣n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，
∴1+m=3，1﹣n=2，
解得：m=2，n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，熟練掌握關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是解題的關(guān)鍵．
題型10 與軸對稱有關(guān)的規(guī)律探究問題
【例13】（2022·云南·云大附中?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．規(guī)定“把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個單位”為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，?ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）
A．（3，﹣2019）B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018）D．（﹣3，﹣2018）
【答案】A
【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再將前幾次變換后D點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，觀察規(guī)律即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
∵把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個單位為一次變換，
又∵沿y軸翻折橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，
∴第一次變換后，D（-3，2），第二次變換后，D（3，1），……
∴對于橫坐標(biāo)，奇數(shù)次變換為-3，偶數(shù)次變換為3，對于縱坐標(biāo)，每次變換減一，
∴經(jīng)過2022次變換后，D（3，﹣2019）.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，點(diǎn)的坐標(biāo)一規(guī)律性，平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是先求出D的坐標(biāo)，再利用變換的規(guī)律求解．
【變式13-1】（2022·河南商丘·?？家荒＃┤鐖D，等邊△ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把△ABC“先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．2023,3+1B．2023,-3-1
C．2024,3+1D．2024,-3-1
【答案】C
【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱變換和軸對稱變換的性質(zhì)求得第一次變換，第二次變換，第三次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)，按此找出規(guī)律即可求解 ．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，
∵△ABC是等邊三角形，A1,1，B3,1，
∴AB=AC=2，AD=12AB=1，AB∥x軸，D的坐標(biāo)為(2，1)，
∴CD=AC2-AD2=22-12=3
∴點(diǎn)C到x軸的距離為：1+3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，
∴C2，1+3，
由題意得，
第一次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1，-1-3，即3，-1-3；
第二次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1+1，1+3，即4，1+3；
第三次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)為2+1+1+1，-1-3，即5，-1-3；
……
由此可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)總是比次數(shù)大2，而縱坐標(biāo)，當(dāng)奇次變換時(shí)是-1-3，偶次變換時(shí)是1+3，故連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為2024,3+1，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化—翻折變換與平移變換，讀懂題意，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式13-2】（2021·河北·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)A坐標(biāo)是(1,2)，則經(jīng)過第2021次變換后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．(1,-2)B．(-1,-2)C．(-1,2)D．(1,2)
【答案】C
【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)A所在的象限，然后解答即可．
【詳解】解：點(diǎn)A第一次關(guān)于y軸對稱后在第二象限，
點(diǎn)A第二次關(guān)于x軸對稱后在第三象限，
點(diǎn)A第三次關(guān)于y軸對稱后在第四象限，
點(diǎn)A第四次關(guān)于x軸對稱后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，
所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2021÷4＝505余1，
∴經(jīng)過第2021次變換后所得的A點(diǎn)與第一次變換的位置相同，在第二象限，坐標(biāo)為（?1，2）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【變式13-3】（2021·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)M，頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,3)、(1,1)、(3,1)，規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2020次變換后，點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋? ）

A．(2022,2)B．(2022,-2)
C．(2020,2)D．(2020,-2)
【答案】A
【分析】由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)M坐標(biāo)，由折疊性質(zhì)和平移性質(zhì)可得點(diǎn)M的變化規(guī)律，即可求解；
【詳解】∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別是(1,3)、(1,1)、(3,1)，
∴正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)，
∵把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，
∴第一次變換后M的坐標(biāo)為(3，-2)，第二次變換后的坐標(biāo)(4,2)，第三次變換后的坐標(biāo)(5，-2)，第四次變換后的坐標(biāo)(6,2) ?，
可發(fā)現(xiàn)第n次后，當(dāng)n為偶數(shù)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(n+2,2)，
∴連續(xù)經(jīng)過第2020次時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2020+2,2)，故坐標(biāo)為(2022,2)．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律性點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．
題型11 軸對稱的綜合問題
【例14】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線y=kx+2k交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC(A、B、C三點(diǎn)逆時(shí)針排列)，D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-6,0)、(-1,0)，連接CD、CE，則CD+CE的最小值為（ ）
A．6B．5+3C．6.5D．7
【答案】D
【分析】在x軸上方作等邊△AOF，證明△AOB≌△AFC（SAS），所以點(diǎn)C的軌跡為定直線CF，作點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)E'，連接CE'，CE＝CE'，當(dāng)點(diǎn)D、C、E'在同一條直線上時(shí)，DE'＝CD+CE的值最小，再根據(jù)勾股定理，即可解答．
【詳解】解：∵點(diǎn)B在直線y=kx+2k上，
∴k(x+2)=0，
∵k≠0，
∴x-2=0.，
∴B(-2,0)，
∵E(-1,0)，D(-6,0)，
在x軸上方作等邊△AOF，
∵∠CAB=∠FAO=60°，
∴∠CAB+∠BAF=∠BAF+∠FAO，即∠CAF=∠BAO，
又∵CA=BA，AF=AO，
∴△AOB≌△AFC(SAS)，
∴∠AFC=∠AOB=90°，
∴點(diǎn)C的軌跡為定直線CF，
作點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)E'，連接CE'，CE=CE'，
∴CD+CE=CD+CE'，
∴當(dāng)點(diǎn)D、C、E'在同一條直線上時(shí)，DE'=CD+CE的值最小，
∵AF=AO=2，∠FAO=60°，∠AFG=90°，
∴∠AGF=30°，AG=2×2=4，EG=3，
∴EM=32 ,GM=32+(32)2=323
∴M(-14,343)
∵E關(guān)于M的對稱E'，
∴E'(12,323)，
∴(CD+CE)的最小值=DE'=(-6-12)2+(0-323)2=7
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對稱等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)、根據(jù)條件好問題作出輔助線
【變式14-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）△ABC是邊長為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個動點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE，則△BDE周長的最小值是（ ）
A．2+23B．2+3C．4+3D．4+23
【答案】A
【分析】先證明∠BCE=30°，作B關(guān)于C E的對稱點(diǎn)F，連接DF,CF，根據(jù)對稱性可得△BDE周長=BD+DE+BE=BD+DE+FE≥BD+DF，當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，據(jù)此即可求解．
【詳解】
將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，
∴△BPE是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥CB，
∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CPE，
∵BA=BC，BP=BE，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE
∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是射線CE（∠BCE=30°），
如圖，作B關(guān)于C E的對稱點(diǎn)F，連接DF,CF，
∴CB=CF,∠BCE=∠FCE=30°，
∴∠BCF=60°，
∴△BCF是等邊三角形，
∴DF=32BC=23
∴ △BDE周長=BD+DE+BE=BD+DE+FE≥BD+DF
當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為BD+DF=2+23
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，線段和最短問題，勾股定理，求得點(diǎn)E的軌跡是解題的關(guān)鍵．
【變式14-2】（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)P是線段AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)AM＝13AB時(shí)，PB＋PM的最小值為（ ）
A．33B．27C．23＋2D．33＋3
【答案】B
【分析】作B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，則PB＋PM的最小值為B'M的長，過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，在Rt△BB'H中，B'H＝33，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝27，所以PB＋PM的最小值為27．
【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值為B'M的長，
過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：B'H=B'B2-BH2=62-32=33，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝13AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，B'M=B'H2+MH2=(33)2+12=27，
∴PB＋PM的最小值為27，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱—最短路線問題，涉及到解直角三角形，解題的關(guān)鍵是做輔助線，找出PB＋PM的最小值為B'M的長．
【變式14-3】（2022·福建廈門·福建省廈門第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長最小時(shí)，則∠EGD=（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【答案】C
【分析】如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．證明當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)， EG+DG的值最小，△DEG的周長最小，即求出∠EGD可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．
∵正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，AF⊥DC，
∴D，C關(guān)于AF對稱，
∴GD=GC，
∵EG+GD=EG+GC≥EC，
∴當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，EG+DG的值最小，△DEG的周長最小，
∵ABCDE是正五邊形，
∴ED=DC，∠EDC=108°，
∴∠DEC=∠DCE=36°，
∵G′D=G′C，
∴∠G′DC=∠DCG′=36°，
∴∠D G′C=108°，
∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱-最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
【變式14-4】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)Q是直線y=3x上的一個動點(diǎn)，以AQ為邊，在AQ的右側(cè)作等邊△APQ，使得點(diǎn)P落在第一象限，連接OP，則OP+AP的最小值為（ ）
A．6B．43C．8D．63
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動先證明點(diǎn)P在直線PM是運(yùn)動，再根據(jù)軸對稱最值問題，作點(diǎn)P關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)B，連接AB，求出AB的長即可．
【詳解】解：如圖，作∠OAM＝60°，邊AM交直線OQ于點(diǎn)M，作直線PM，
由直線y=3x可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等邊三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等邊三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x軸，即點(diǎn)P在直線PM上運(yùn)動，
過點(diǎn)O關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)B，連接AB，AB即為所求最小值，
此時(shí)，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與幾何綜合題，涉及勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)P在直線PM是運(yùn)動．
考點(diǎn)二 圖形的平移
平移的概念：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運(yùn)動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br>平移的三大要素：1）平移的起點(diǎn)，2）平移的方向，3）平移的距離．
平移的性質(zhì)：
1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.
2）平移前后對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等.
3）任意兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)點(diǎn)之間的距離就是平移的距離.
作圖步驟：
1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；
2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
3）按平移方向和平移距離平移各個關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；
4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．
題型01 生活中的平移現(xiàn)象
【例1】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（ ）
①方向盤的轉(zhuǎn)動；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運(yùn)動
A．①②B．②③C．①②④D．②
【答案】D
【分析】直接根據(jù)平移的定義分別判斷．
【詳解】解：①方向盤的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；
②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動是平移，故符合題意；
③鐘擺的擺動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；
④汽車雨刷的運(yùn)動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；
綜上分析可知，屬于平移的是②，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，熟練掌握平移的定義是解答本題的關(guān)鍵． 平移是指在平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點(diǎn)都按照某個方向作相同距離的移動．平移不改變圖形的形狀和大小，只是改變位置．
【變式1-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)來源于生活，下列圖案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，選出正確答案．
【詳解】根據(jù)平移的性質(zhì)，平移后不改變圖形的形狀和大小，也不改變圖形的方向（角度），符合條件的只有A．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型02 利用平移的性質(zhì)求解
【例2】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點(diǎn)A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A'B'C'，點(diǎn)A'對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形ACC'A'的面積是（ ）
A．96B．963C．192D．1603
【答案】B
【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形ACC'A'的面積為AA'?ACsin60°=2ABsin60°?AA'，即可求解．
【詳解】解：依題意ACC'A'為平行四邊形，
∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，AA'=12．
∴AC=2AB
∴平行四邊形ACC'A'的面積=AA'?ACsin60°=2ABsin60°?AA' =2×8×12×32=963
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一個“方勝”圖案，則點(diǎn)D，B'之間的距離為（ ）
A．1cmB．2cmC．(2－1)cmD．(22－1)cm
【答案】D
【分析】先求出BD，再根據(jù)平移性質(zhì)求得BB'=1cm，然后由BD-BB'求解即可．
【詳解】解：由題意，BD=22cm，
由平移性質(zhì)得BB'=1cm，
∴點(diǎn)D，B'之間的距離為DB'=BD-BB'=（22-1）cm，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平移性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·湖北孝感·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長為 cm．
【答案】8+23
【分析】通過勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，分別計(jì)算出四邊形的四條邊長，再計(jì)算出周長即可．
【詳解】解：∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm，
∴AB=2BC=4，
∴AC=AB2-BC2=16-4=23，
∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，
∴CC'=1，AB'=4+1=5， B'C'=BC=2，
∴四邊形的周長為：23+1+5+2=8+23，
故答案為：8+23．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函數(shù)，能夠熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，4），B（3，4），將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對應(yīng)點(diǎn)是C，O的對應(yīng)點(diǎn)是E，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C和DE的中點(diǎn)F，則k的值是 ．
【答案】6
【分析】作FG⊥x軸，DQ⊥x軸，F(xiàn)H⊥y軸，設(shè)AC=EO=BD=a，表示出四邊形ACEO的面積，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出FG，EG，即可表示出四邊形HFGO的面積，然后根據(jù)k的幾何意義得出方程，求出a，可得答案．
【詳解】過點(diǎn)F作FG⊥x軸，DQ⊥x軸，F(xiàn)H⊥y軸，根據(jù)題意，得AC=EO=BD，
設(shè)AC=EO=BD=a，
∴四邊形ACEO的面積是4a．
∵F是DE的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥x軸，DQ⊥x軸，
∴FG是△EDQ的中位線，
∴FG=12DQ=2，EG=12EQ=32，
∴四邊形HFGO的面積為2(a+32)，
∴k=4a=2(a+32)，
解得a=32，
∴k=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，正確的作出輔助線構(gòu)造矩形是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為 cm2．
【答案】8
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，
∴四邊形B′C′CB為平行四邊形，
∵BB′⊥BC，
∴四邊形B′C′CB為矩形，
∵陰影部分的面積=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC
=S矩形B′C′CB
=4×2
=8(cm2)．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．
題型03 利用平移解決實(shí)際生活問題
【例3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在長為37米，寬為26米的長方形地塊上，有縱橫交錯的幾條小路，寬均為1米，其它部分均種植花草，則種植花草的面積 平方米．
【答案】900
【分析】可以根據(jù)平移的性質(zhì)，種植花草的面積相當(dāng)于一條橫向長為37-1米與一條縱向長為26-1米的長方形面積，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，種植花草的面積相當(dāng)于一條橫向長為37-1米與一條縱向長為26-1米的長方形面積，
∴種植花草的面積=37-126-1=900m2 ．
故答案為：900．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移在實(shí)際中的應(yīng)用，將兩條小路平移至長方形的邊上，使種植花草的面積等于一個長方形的面積是解決此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）在長方形ABCD中，放入6個形狀，大小都相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分面積是 cm2；若平移這六個長方形，則圖中剩余的陰影部分面積 （填“有變化”或“不改變”）．
【答案】 72 不改變
【分析】（1）設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖性質(zhì)小長方形的長、寬和大長方形的長、寬之間的關(guān)系，列出方程組，解方程組得出x、y的值，再用大長方形的面積減去六個小長方形的面積即可得出答案；
（2）在平移的過程中，大長方形的面積不變，小長方形的面積不變，因此陰影部分面積不變．
【詳解】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意得：
x+y=2y+8x+3y=16，
解得：x=10y=2，
∴圖中陰影部分面積為：
16×8+2y-6xy=16×8+2×2-6×10×2=72cm2；
無論怎么平移這六個長方形，陰影部分的面積總是大長方形的面積減去六個長方形的面積，均為72cm2，保持不變．
故答案為：72；不改變．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、平移性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中大、小長方形之間的長、寬之間的關(guān)系列出方程組．
【變式3-2】（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）某景區(qū)有一座步行橋（如圖），需要把陰影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面積；
(2)若a=901，b=1，請用科學(xué)記數(shù)法表示涂刷油漆的面積．
【答案】(1)4(a-b)2
(2)3.24×106
【分析】（1）已知陰影部分的寬為a-b，利用平移的性質(zhì)可得陰影部分的長可以表示為2a+4b+2(a-4b)，然后利用矩形的面積公式計(jì)算出陰影部分的面積即可；
（2）科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】（1）解：涂刷油漆的面積=[2a+4b+2(a-4b)](a-b)
=(2a+4b+2a-8b)(a-b)=(4a-4b)(a-b)=4(a-b)(a-b)=4(a-b)2
（2）解：當(dāng)a=901，b=1時(shí)，原式=4(a-b)2=4×(901-1)2=4×810000=3.24×106．
【點(diǎn)睛】此題考查了平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于能夠用代數(shù)式表示出平移后矩形的長度，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
【變式3-3】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，計(jì)劃在長為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設(shè)道路①、②的寬為x米，剩余部分為綠化．
(1)道路①的面積為___________平方米；道路②的面積為___________平方米（都用含x的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，根據(jù)實(shí)際情況，將計(jì)劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為x米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．
【答案】(1)20x，20x
(2)1米
【分析】（1）道路①根據(jù)長方形的面積公式求解即可，道路②利用平移，可轉(zhuǎn)化為道路①求解；
（2）設(shè)道路的寬x米，則余下部分可合成長為30-xm，寬為20-xm的長方形，根據(jù)草坪的面積為551平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】（1）解∶道路①的面積為20x平方米，道路②的面積為20x平方米
（2）解：根據(jù)題意，得30-x20-x=551，
解得x1=1，x2=49（不符合題意，舍去）
答：道路的寬度為1米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
題型04 作平移圖形
【例4】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
(1)在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點(diǎn)，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．
(2)在圖2中畫一個以P為一個頂點(diǎn)的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可；
（2）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可．
【詳解】（1）畫法不唯一，如圖1或圖2等．
（2）畫法不唯一，如圖3或圖4等．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換、作圖—平移變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，注意不要忘記畫出平移后或旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【變式4-1】（2022·安徽·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對應(yīng)的△A2B2C2，請畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；
（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)（ ， ）中心對稱．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）﹣2，0．
【分析】（1）依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依據(jù)△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；
（3）依據(jù)對稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)的位置，即可得到對稱中心的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）如圖所示，分別確定A,B,C平移后的對應(yīng)點(diǎn)A1,B1,C1，
得到△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，分別確定A,B,C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A2,B2,C2，
得到△A2B2C2即為所求；

（3）由圖可得，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)-2,0成中心對稱．
故答案為：﹣2，0．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)的作圖，以及判斷中心對稱的對稱中心的坐標(biāo)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2，3)，B(-3，0)，C(-1，-1)．將△ABC平移后得到△A'B'C'，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A'(2，3)，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是B'，C'．
(1)點(diǎn)A、A'之間的距離是__________；
(2)請?jiān)趫D中畫出△A'B'C'．
【答案】(1)4
(2)見解析
【分析】（1）由A(-2，3)， A'(2，3)得，A、A'之間的距離是2-（-2）=4；
（2）根據(jù)題意找出平移規(guī)律，求出B'（1，0），C'（3，-1），進(jìn)而畫圖即可．
【詳解】（1）解：由A(-2，3)， A'(2，3)得，
A、A'之間的距離是2-（-2）=4．
故答案為：4．
（2）解：由題意，得B'（1，0），C'（3，-1），
如圖，△A'B'C'即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離求解以及平移求點(diǎn)坐標(biāo)畫圖，題目相對較簡單，掌握平移規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
題型05 求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)
【例5】（2023·湖南長沙·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將點(diǎn)A(a,b)向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正好與原點(diǎn)重合，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．(3,2)B．(3,-2)C．(-3,-2)D．(-3,2)
【答案】C
【分析】根據(jù)“橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減”，即可求解．
【詳解】解：∵將點(diǎn)A(a,b))向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正好與原點(diǎn)重合，
∴a+3=0,b+2=0，
∴a=-3,b=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,-2)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化?平移，解題的關(guān)鍵是熟記平移中點(diǎn)的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．
【變式5-1】（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）將點(diǎn)A（-3，-2）沿水平方向向左平移5個單位長度得到點(diǎn)A'，若點(diǎn)A'在直線y=x+b上，則b的值為（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
【答案】A
【分析】由點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)A′，A之間的關(guān)系，可求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，由點(diǎn)A'在直線y=x+b上，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出-2=-8+b，解之即可得出b的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)A（-3，-2）沿水平方向向左平移5個單位長度得到點(diǎn)A'，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-8，-2）．
又∵點(diǎn)A'在直線y=x+b上，
∴-2=-8+b，
∴b=6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及坐標(biāo)與圖形變化-平移，利用點(diǎn)的平移及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于b的方程是解題的關(guān)鍵．
題型06 由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)
【例6】（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）

A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
【答案】D
【分析】先過點(diǎn)C做出x軸垂線段CE，根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計(jì)算出對應(yīng)D點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】
如圖過點(diǎn)C作x軸垂線，垂足為點(diǎn)E，
∵∠ABC=90°
∴∠ABO+∠CBE=90°
∵∠CBE+BCE=90°
∴∠ABO=∠BCE
在ΔABO和ΔBCE中，
{∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90° ，
∴ΔABO∽ΔBCE，
∴ABBC=AOBE=OBEC=12 ，
則BE=2AO=6 ,EC=2OB=2
∵點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，
∴點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，3)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(6，5)，選項(xiàng)D符合題意，
故答案選D
【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)找出圖象左右、上下平移的距離是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2021·江西·統(tǒng)考一模）如圖，P（m，n）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABC經(jīng)過平移得到△A′B′C′，平移后點(diǎn)P與其對應(yīng)點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，1﹣2n）B．（﹣2，1﹣n）C．（﹣2，﹣1）D．（m，﹣1）
【答案】A
【分析】根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)變化得到平移坐標(biāo)公式，然后可以得到解答．
【詳解】解：由題意可得P'坐標(biāo)為（m，-n），
∴平移坐標(biāo)公式為：x'=xy'=y-2n，
∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為：x=-2y=1-2n，
故選：A ．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的坐標(biāo)變換，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)的變換得到坐標(biāo)平移公式是解題關(guān)鍵．
【變式6-2】（2021·廣東中山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)，將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【答案】(5,2)
【分析】由將線段OA向右平移4個單位長度，可得點(diǎn)A(1,2)向右邊平移了4個單位與C對應(yīng)，再利用“右移加”即可得到答案．
【詳解】解：∵將線段OA向右平移4個單位長度，
∴點(diǎn)A(1,2)向右邊平移了4個單位與C對應(yīng)，
∴C(1+4,2), 即C(5,2),
故答案為：(5,2).
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的坐標(biāo)變化規(guī)律，熟記“右移加，左移減，上移加，下移減”是解本題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ．
【答案】-2,-1
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)的平移即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ DA∥CB，即將D點(diǎn)平移到A的過程與將C點(diǎn)平移到B的過程保持一致，
∵將D點(diǎn)平移到A的過程是：x:-1-3=-4（向左平移4各單位長度）；y:2-2=0（上下無平移）；
∴將C點(diǎn)平移到B的過程按照上述一致過程進(jìn)行得到B2-4,-1，即B-2,-1，
故答案為：-2,-1．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)的平移，掌握點(diǎn)的平移的代數(shù)表示是解決問題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A-5,0，B0,-3，若將線段AB平移至線段A1B1，且A1-3,m，B12,1，則m的值為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中線段平移時(shí)所有對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)平移長度都相同進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，線段A1B1是由線段AB平移得到的，
且A-5,0，B0,-3，A1-3,m，B12,1，
∴m-0=1--3，
∴m=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中線段的平移規(guī)律，熟練線段平移的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．
題型07 由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式
【例7】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是 (?1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對稱，則平移的方法可以是（ ）
A．將B向左平移4.5個單位B．將C向左平移4個單位
C．將D向左平移5.5個單位D．將C向左平移3.5個單位
【答案】C
【分析】直接利用利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A (?1，b) 關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為B (1，b)，
C (2，b)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為(-2，b)，
需要將點(diǎn)D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5個單位，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖，平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,1，D2,3，要把頂點(diǎn)A平移到頂點(diǎn)C的位置，則其平移方式可以是：先向右平移 個單位，再向上平移 個單位．
【答案】 4 2
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后即可求得平移方式，即可求解．
【詳解】解：∵平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,1，D2,3，
∴AB=DC=4-1=3，
∴C2+3,3即C5,3，
將A1,1平移到頂點(diǎn)C5,3的位置，可以是先向右平移4個單位，再向上平移2個單位．
故答案為：4，2．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
題型08 已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)
【例8】（2021·河北·模擬預(yù)測）如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°．邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-2,6和7,0．將正方形OCDE沿x軸向右平移當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
【答案】B
【分析】先畫出E落在AB上的示意圖，如圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解O'B的長度，結(jié)合正方形的性質(zhì)，從而可得答案．
【詳解】解：由題意知：C-2,0,
∵ 四邊形COED為正方形，
∴CO=CD=OE, ∠DCO=90°,
∴D-2,2,E0,2,
如圖，當(dāng)E落在AB上時(shí)，
∵A-2,6,B7,0,
∴AC=6,BC=9,
由tan∠ABC=ACBC=EO'O'B,
∴69=2O'B,
∴O'B=3,
∴OO'=7-3=4,OC'=2,
∴D2,2.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 ．
【答案】（1，3）
【分析】根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)A1的坐標(biāo)可得出平移規(guī)律，從而進(jìn)一步可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），
又-3+5=2,4+1=5
∴平移ΔABC至ΔA1B1C1的規(guī)律為：將ΔABC向右平移5個單位，再向上平移1個單位即可得到ΔA1B1C1
∵B（﹣4，2）
∴B1的坐標(biāo)是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案為：（1，3）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，正確找出平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A0,2，B2,-1．平移△ABC得到△A'B'C'，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為-1,0，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是 ．
【答案】1,-3
【分析】根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)及其對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)的變化規(guī)律可得平移后對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)減小2，即可得到答案．
【詳解】∵平移△ABC得到△A'B'C'，點(diǎn)A0,2的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為-1,0，
∴ △ABC向左平移了1個單位長度，向下平移了2個單位長度，
即平移后對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)減小2，
∴ B2,-1的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是1,-3，
故答案為：1,-3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移坐標(biāo)的變化規(guī)律，即左減右加，上加下減，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
題型09 與平移有關(guān)的規(guī)律問題
【例9】（2019·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2019次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．-2016,3+1B．-2016,3-1
C．-2017,3+1D．-2017,-3-1
【答案】D
【分析】先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，第一次變換，根據(jù)軸對稱判斷出點(diǎn)C變換后在x軸下方然后求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，再根據(jù)平移的距離求出點(diǎn)C變換后的橫坐標(biāo)，最后寫出第一次變換后點(diǎn)C坐標(biāo)，同理可以求出第二次變換后點(diǎn)C坐標(biāo)，以此類推可求出第n次變化后點(diǎn)C坐標(biāo).
【詳解】∵△ABC是等邊三角形AB=3-1=2
∴點(diǎn)C到x軸的距離為1+2×32=3+1，橫坐標(biāo)為2
∴C(2，3+1)
由題意可得:第1次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)變?yōu)?2-1，-3-1)，即(1，-3-1)，
第2次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)變?yōu)?2-2，3+1)，即(0，3+1)
第3次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)變?yōu)?2-3，-3-1)，即(-1，-3-1)
第n次變換后點(diǎn)C的坐標(biāo)變?yōu)?2-n，-3-1)(n為奇數(shù))或(2-n，3+1)(n為偶數(shù))，
∴連續(xù)經(jīng)過2019次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2017，-3-1)，
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了利用翻折變換和平移的特點(diǎn)求解點(diǎn)的坐標(biāo)，在求解過程中找到規(guī)律是關(guān)鍵.
【變式9-1】（2023·湖南婁底·校聯(lián)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經(jīng)γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B1C1經(jīng)γ2,180°變換后得到△A2B2C2，△A2B2C2經(jīng)γ3,180°變換后得到△A3B3C3，依此類推??????，△An-1Bn-1Cn-1經(jīng)γn,180°變換后得到△AnBnCn，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為 ．

【答案】-20252,-32
【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換、中心對稱變換規(guī)律分別求出點(diǎn)A1,A2,A3,A4,A5的坐標(biāo)，歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵等邊△ABC的邊長為1，
∴AB=BC=1,BD=12,AD=AB2-BD2=32，
∴A12,32，
由題意得：點(diǎn)A1的坐標(biāo)為A1-12+1,-32，即A1-32,-32，
點(diǎn)A2的坐標(biāo)為A2--32+2,32，即A2-12,32，
點(diǎn)A3的坐標(biāo)為A3--12+3,-32，即A3-52,-32，
點(diǎn)A4的坐標(biāo)為A4--52+4,32，即A4-32,32，
點(diǎn)A5的坐標(biāo)為A5--32+5,-32，即A5-72,-32，
歸納類推得：點(diǎn)An的縱坐標(biāo)為-1n?32，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為-n+22；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為-n-12，
則當(dāng)n=2023時(shí)，點(diǎn)A2023的橫坐標(biāo)為-2023+22=-20252，點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為-12023?32=-32，
即A2023-20252,-32，
故答案為：-20252,-32．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換和中心對稱變換，讀懂圖形的γa,θ變換，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式9-2】（2018·青海·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形的頂點(diǎn)A（1，1）、B（3，1），規(guī)定把等邊△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如果這樣連續(xù)經(jīng)過2018次變換后，等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
【答案】（﹣2016，3 +1）
【分析】據(jù)軸對稱判斷出點(diǎn)C變換后在x軸上方，然后求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，再根據(jù)平移的距離求出點(diǎn)A變換后的橫坐標(biāo)，最后寫出即可．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形AB＝3﹣1＝2，
∴點(diǎn)C到x軸的距離為1+2×32＝3+1，
橫坐標(biāo)為2，
∴C（2，3 +1），
第2018次變換后的三角形在x軸上方，
點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3+1，
橫坐標(biāo)為2﹣2018×1＝﹣2016，
所以，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2016，3+1）
故答案為（﹣2016，3+1）
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化，平移和軸對稱變換，等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，確定出連續(xù)2018次這樣的變換得到三角形在x軸上方是解題的關(guān)鍵．
題型10 平移的綜合問題
【例10】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開始時(shí)，點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B'移動到與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)△A'B'C'移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ．
【答案】y=34x2(0CD，
∴O到CD的距離

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