2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.10-圓錐曲線中的最值與范圍問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(2,3)為橢圓上一點(diǎn),且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:y=kx-4交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓的外部,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
2.已知雙曲線 x24-y25=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上任意一點(diǎn).
(1)求PA1→·PF2→的最小值;
(2)若M是雙曲線左支上任意一點(diǎn),F1為左焦點(diǎn),寫出|MF1|的最小值.
3.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),過F與l垂直的直線交C于D,E兩點(diǎn),其中B,D在x軸上方,M,N分別為AB,DE的中點(diǎn).
(1)證明:直線MN過定點(diǎn);
(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn),求△GMN面積的最小值.
4.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知直線x+y=1與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,且a≠b)交于M,N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓過原點(diǎn).
(1)求證:1a2-1b2為定值;
(2)在(1)的條件下,若雙曲線的離心率不大于3,求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍.
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5.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)A(0,-2),以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為45.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(0,-3)的直線l斜率為k,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB交y=-3于點(diǎn)M,直線AC交y=-3于點(diǎn)N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范圍.
6.已知直線x-2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=415.
(1)求p;
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn),M,N為C上兩點(diǎn),且FM→·FN→=0,求△MFN面積的最小值.
參考答案
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1.解:(1)由題意可得4a2+9b2=1,2a=8,解得a2=16,b2=12,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y212=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x216+y212=1,y=kx-4,
得(4k2+3)x2-32kx+16=0,
所以x1+x2=32k4k2+3,x1x2=164k2+3.
由Δ>0,得(-32k)2-4×16(4k2+3)>0,
解得k>12或k0,
所以O(shè)A→·OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-4)·(kx2-4)
=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16
=(k2+1)·164k2+3-4k·32k4k2+3+16
=16(4-3k2)4k2+3>0,
解得-2330,且m≠1,所以yG=y2y3-4y2+y3=2(m+m2+1)·2(-1m+1m2+1)-42(m-1m+m2+1+1m2+1)=2(m-1)m+1,
G(-1,2(m-1)m+1)到MN的距離d=|-4mm2-1-2(m-1)m+1|1+(mm2-1) 2=2m2+2m2-11+(mm2-1) 2,
|MN|=1+(mm2-1) 2·|2m2-2m2|,
所以S△GMN=12·2|m2-1m2|1+(mm2-1) 2·2m2+2m2-11+(mm2-1) 2=|m4-1m2·2(m2+1)m2-1|=
2(m2+1)2m2=2(m4+2m2+1)m2=2(m2+1m2+2)>8,
當(dāng)m=1時(shí),直線MN:x=3,且|MN|=4,
點(diǎn)G(-1,0),
故S△GMN=12×4×4=8.
綜上,△GMN面積的最小值為8.
4.(1)證明:由x+y=1,x2a2-y2b2=1,
消y得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.
由題意得b2-a2≠0,Δ=(2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)>0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=-2a2b2-a2,x1x2=-a2+a2b2b2-a2.
因?yàn)橐訫N為直徑的圓過原點(diǎn),所以O(shè)M→·ON→=0,即x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(1-x1)(1-x2)
=1-(x1+x2)+2x1x2
=1+2a2b2-a2-2(a2+a2b2)b2-a2=0,
即b2-a2-2a2b2=0,所以1a2-1b2=2為定值.
(2)解:因?yàn)?a2-1b2=2,所以b2=a21-2a2.
因?yàn)閑≤3,所以e2=a2+b2a2≤3,
所以1+11-2a2≤3,
解得00,所以xMxN>0.
又|PM|+|PN|=|xM+xN|=|x1y1+2+x2y2+2|
=|x1kx1-1+x2kx2-1|
=|2kx1x2-(x1+x2)k2x1x2-k(x1+x2)+1|
=|50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1|=5|k|,
故5|k|≤15,即|k|≤3.
綜上,k的取值范圍為[-3,-1)∪(1,3].
6.解:(1)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
由x-2y+1=0,y2=2px可得,y2-4py+2p=0,
所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以|AB|=1+22×(yA+yB)2-4yAyB=415,
即2p2-p-6=0,因?yàn)閜>0,解得p=2.
(2)因?yàn)镕(1,0),顯然直線MN的斜率不可能為零,
設(shè)直線MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
由y2=4x,x=my+n可得,y2-4my-4n=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4n,
Δ=16m2+16n>0?m2+n>0,
因?yàn)镕M→·FN→=0,
所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,
亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,
將y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得,
4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0,
所以n≠1,且n2-6n+1≥0,
解得n≥3+22或n≤3-22.
設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d,
所以d=|n-1|1+m2,
|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+m2|y1-y2|=1+m216m2+16n=1+m24(n2-6n+1)+16n=21+m2|n-1|,
所以△MFN的面積S=12×|MN|×d=12×|n-1|1+m2×21+m2|n-1|=(n-1)2,
而n≥3+22或n≤3-22,
所以當(dāng)n=3-22時(shí),
△MFN的面積Smin=(2-22)2=12-82.

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