2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.11-圓錐曲線——最值、范圍問題-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．
2．如圖，已知雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1，經(jīng)過點(diǎn)T(1,1)且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)(從左至右的順序依次為A，M，N，B)，其中k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
(1)若點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，求k的值；
(2)求△OBN面積的最小值．
3．已知F(eq \r(3)，0)是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且kOA＋kOB＝－eq \f(1,2)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率的取值范圍．
4．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)，P(4，y0)為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5.
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線PA與PB斜率乘積為－4.
①證明：直線AB過定點(diǎn)；
②求|FA|·|FB|的最小值．
參考答案
1．[解析] (1)由題設(shè)可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))
則C：eq \f(x2,4)－y2＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM>0，
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，則直線l：x＝2，
易知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為xM＝2；
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k≠±\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)－y2＝1，,y＝kx＋m，))
整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1.
則x1＋x2＝－eq \f(8km,4k2－1)＝－eq \f(8km,m2)＝－eq \f(8k,m)，
則xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(4k,m)>0，即km4，即xM>2，
∴此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大于2；
綜上所述，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最小距離為2.
2．[解析] (1)解法一：設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),2)－y\\al(2,1)＝0，,\f(x\\al(2,2),2)－y\\al(2,2)＝0，))得eq \f(?x1－x2??x1＋x2?,2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
又T(1,1)為MN的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2＝2，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,2).
解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?＋1，,\f(x2,2)－y2＝1，))消去y得(1－2k2)x2－4k(1－k)x－2(1－k)2－2＝0，
由韋達(dá)定理可知，
x1＋x2＝eq \f(4k－4k2,1－2k2)，x1·x2＝eq \f(－2?1－k?2－2,1－2k2)，
聯(lián)立直線l與其中一條漸近線方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?＋1，,y＝\f(\r(2),2)x，))
解得x＝eq \f(1－k,\f(\r(2),2)－k)，即xN＝eq \f(1－k,\f(\r(2),2)－k)，
同理可得xM＝eq \f(k－1,\f(\r(2),2)＋k)，
則xM＋xN＝eq \f(4k－4k2,1－2k2)＝x1＋x2，
則可知AB的中點(diǎn)與MN中點(diǎn)重合．
由于T(1,1)是MN的中點(diǎn)，所以eq \f(4k?1－k?,1－2k2)＝2，
解得k＝eq \f(1,2).
(2)y＝k(x－1)＋1與eq \f(x2,2)－y2＝1聯(lián)立，消去y得(1－2k2)x2－4k(1－k)x－2(1－k)2－2＝0，
由(1)知，|BN|＝|AM|＝eq \f(|AB|－|MN|,2)或S△OBN＝eq \f(1,2)(S△OAB－S△OMN)
由于|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(2\r(2)\r(?1－k?2＋1－2k2),1－2k2)，
|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(2\r(2)\r(?1－k?2),1－2k2)，所以
|BN|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(2)[\r(?1－k?2＋1－2k2)－\r(?1－k?2)],1－2k2)，
又O到直線的距離d＝eq \f(1－k,\r(1＋k2))，所以
S△OBN＝eq \f(1,2)|BN|·d
＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(?1－k?[\r(?1－k?2＋1－2k2)－\r(?1－k?2)],1－2k2)
＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(?1－k?,\r(?1－k?2＋1－2k2)＋\r(?1－k?2))，
整理得S△OBN＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(1,\r(1＋\f(1－2k2,?1－k?2))＋1)，
令t＝1－k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)，1))，
則eq \f(1－2k2,?1－k?2)＝eq \f(－2t2＋4t－1,t2)＝－eq \f(1,t2)＋eq \f(4,t)－2，
當(dāng)eq \f(1,t)＝2，即k＝eq \f(1,2)時(shí)，eq \f(1－2k2,?1－k?2)的最大值為2，
所以S△OBN的最小值為eq \f(\r(6)－\r(2),4).
3．[解析] (1)由題意，橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為(－eq \r(3)，0)，
根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為eq \r(?\r(3)＋\r(3)?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－0))2)＋eq \f(1,2)＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因?yàn)閏＝eq \r(3)，可得b＝eq \r(a2－c2)＝1，
所以橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，結(jié)合橢圓的對稱性可知，kOA＋kOB＝0，不符合題意．
故設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
則x1＋x2＝eq \f(－8km,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4?m2－1?,4k2＋1)，
所以kOA＋kOB＝eq \f(y1,x1)＋eq \f(y2,x2)
＝eq \f(?kx1＋m?x2＋?kx2＋m?x1,x1x2)＝2k＋eq \f(m?x1＋x2?,x1x2)
＝2k＋eq \f(－8km2,4?m2－1?)＝eq \f(－2k,m2－1)，
因?yàn)閗OA＋kOB＝－eq \f(1,2)，可得m2＝4k＋1，
所以k≥－eq \f(1,4)，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k1，
綜上可得，直線l的斜率的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪(1，＋∞)．
4．[解析] (1)由題可知4＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝2.
所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.
(2)①由(1)知，yeq \\al(2,0)＝4×4，且y0>0，
解得y0＝4，所以P(4,4)．
設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，則kPA＝eq \f(y1－4,\f(y\\al(2,1),4)－4)＝eq \f(4,y1＋4)，
同理可得，kPB＝eq \f(4,y2＋4)，
則kPA·kPB＝eq \f(4,y1＋4)·eq \f(4,y2＋4)＝－4，
即4(y1＋y2)＋y1y2＋20＝0.
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，直線AB的方程為
y－y1＝eq \f(y1－y2,\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,2),4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y\\al(2,1),4)))，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0.
所以4x－20－(y1＋y2)(y＋4)＝0，
即y＋4＝eq \f(4,y1＋y2)(x－5)，
所以直線AB過定點(diǎn)(5，－4)；
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)y1＋y2＝0，
可得yeq \\al(2,1)＝20，x1＝5.綜上，直線AB過定點(diǎn)(5，－4)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－5)－4＝kx－5k－4，
與拋物線E聯(lián)立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx－5k－4，))
消去x得k2x2－(10k2＋8k＋4)x＋(5k＋4)2＝0，
由題意Δ>0，所以x1＋x2＝eq \f(10k2＋8k＋4,k2)，x1x2＝eq \f(?5k＋4?2,k2)，
所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝eq \f(?5k＋4?2,k2)＋eq \f(10k2＋8k＋4,k2)＋1＝eq \f(48k＋20,k2)＋36＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋\f(6,5)))2＋eq \f(36,5)≥eq \f(36,5)，所以當(dāng)eq \f(1,k)＝－eq \f(6,5)，k＝－eq \f(5,6)時(shí)，|FA|·|FB|的最小值為eq \f(36,5)；
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，x1＝x2＝5.
由拋物線定義知|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝36.
故|FA|·|FB|的最小值為eq \f(36,5).

相關(guān)試卷

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共49頁。

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-考點(diǎn)突破練13-圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-考點(diǎn)突破練13-圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共11頁。試卷主要包含了已知拋物線C，已知橢圓C，已知橢圓E等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的最值、范圍問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的最值、范圍問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共4頁。

相關(guān)試卷更多

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-重難專攻（八）圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-重難專攻（八）圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-圓錐曲線中的最值、范圍問題【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-圓錐曲線中的最值、范圍問題【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-重難專攻（八）圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-重難專攻（八）圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)9.8.1《圓錐曲線中的證明、范圍(最值)問題》(含解析)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)9.8.1《圓錐曲線中的證明、范圍(最值)問題》(含解析)

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請及時(shí)更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請精品資源制作，工作室入駐。

高考專區(qū)

精品推薦

重難點(diǎn) 易錯(cuò) 考點(diǎn)專練專項(xiàng)練習(xí) 總復(fù)習(xí)

查看更多精品資料

歡迎來到教習(xí)網(wǎng)

900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，一鍵下載

請輸入手機(jī)號

忘記密碼

免費(fèi)注冊

微信掃碼注冊

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」

手機(jī)號注冊

微信注冊

注冊成功

0

資料籃
在線客服

官方
微信

添加在線客服

獲取1對1服務(wù)
官方微信

官方
微信

關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

打開微信就能找資料
賽課定制

賽課
定制

添加在線客服

獲取1對1定制服務(wù)
職稱咨詢

職稱
咨詢

添加在線客服

獲取1V1專業(yè)指導(dǎo)服務(wù)
免費(fèi)福利

返回
頂部

<bdo id="ixpnt"></bdo>