1.(10分)(2024·海口模擬)已知拋物線T:y2=2px(p>0),點F為其焦點,直線l:x=4與拋物線交于M,N兩點,O為坐標原點,S△OMN=86.
(1)求拋物線T的方程;
(2)過x軸上一動點E(a,0)(a>0)作互相垂直的兩條直線,與拋物線T分別相交于點A,B和C,D,點H,K分別為AB,CD的中點,求|HK|的最小值.
2.(10分)(2024·深圳模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22,且點(4,1)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若經(jīng)過定點(0,-1)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記橢圓的上頂點為M,當直線l的斜率變化時,求△MPQ面積的最大值.
3.(10分)(2024·畢節(jié)模擬)已知拋物線M:y2=4x的焦點為F,過點(2,0)的直線與拋物線M交于A,B兩點,點A在第一象限,O為坐標原點.
(1)設P為拋物線M上的動點,求|OP||FP|的取值范圍;
(2)記△AOB的面積為S1,△BOF的面積為S2,求S1+S2的最小值.
4.(10分)(2024·湛江模擬)已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,橢圓E的離心率為12,過F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓E交于A,B兩點,△F1AB的周長為8.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)過F1且與l垂直的直線l'與橢圓E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.
圓錐曲線中的最值（范圍）問題-專項訓練【解析版】
(時間:45分鐘 分值:40分)
1.(10分)(2024·海口模擬)已知拋物線T:y2=2px(p>0),點F為其焦點,直線l:x=4與拋物線交于M,N兩點,O為坐標原點,S△OMN=86.
(1)求拋物線T的方程;
【解析】(1)直線方程為x=4,將其代入拋物線可得y=±22p,
由已知得S△OMN=12×4×42p=86,解得p=3,故拋物線T的方程為y2=6x.
(2)過x軸上一動點E(a,0)(a>0)作互相垂直的兩條直線,與拋物線T分別相交于點A,B和C,D,點H,K分別為AB,CD的中點,求|HK|的最小值.
【解析】(2)因為E(a,0),若直線AB,CD分別與兩坐標軸垂直,
則直線AB,CD中有一條與拋物線只有一個交點,不合題意,所以直線AB,CD的斜率均存在且不為0.設直線AB的斜率為k(k≠0),
則直線AB的方程為y=k(x-a).
聯(lián)立y2=6xy=k(x-a),得ky2-6y-6ka=0,則Δ=36+24k2a>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=6k,設H(xH,yH),則yH=y1+y22=3k,則xH=yHk+a=3k2+a,
所以H(3k2+a,3k),同理可得K(3k2+a,-3k),
故|HK|=(3k2-3k2)2+(-3k-3k)2=9k4+9k4+9k2+9k2≥32k4·1k4+2k2·1k2=6,
當且僅當k4=1k4且k2=1k2,即k=±1時等號成立,
故|HK|的最小值為6.
2.(10分)(2024·深圳模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22,且點(4,1)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
【解析】(1)橢圓C的離心率e=22,
則22=ca=1-b2a2,即b2a2=12,
所以a=2b=2c,橢圓方程為x22b2+y2b2=1.
將點(4,1)代入方程得b2=9,
故所求方程為x218+y29=1.
(2)若經(jīng)過定點(0,-1)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記橢圓的上頂點為M,當直線l的斜率變化時,求△MPQ面積的最大值.
【解析】(2)點(0,-1)在橢圓C內(nèi),直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx-1,由x218+y29=1,y=kx-1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k2k2+1,x1x2=-162k2+1,Δ>0.|PQ|=(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]=4(k2+1)(9k2+4)2k2+1.
點M(0,3)到l的距離d=4k2+1,S△MPQ=12|PQ|·d=89k2+42k2+1.令t=2k2+1(t≥1),則k2=t-12,則S△MPQ=89(t-1)2+4t2=8818-12(1t-92)2.
因為00,y2b>0)的左、右焦點,橢圓E的離心率為12,過F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓E交于A,B兩點,△F1AB的周長為8.
(1)求橢圓E的標準方程;
【解析】(1)由題意,橢圓E的離心率為12,可得ca=12,
又由橢圓的定義,可知|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8,所以a=2,c=1,
又因為a2=b2+c2,所以b2=3,
所以橢圓E的標準方程為x24+y23=1.
(2)過F1且與l垂直的直線l'與橢圓E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.
【解析】(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+1,
由x24+y23=1x=my+1,
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
則有y1+y2=-6m3m2+4,y1·y2=-93m2+4,
故|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=(1+m2)[(-6m3m2+4) 2+363m2+4]=12×m2+13m2+4,
設直線l'的方程為x=-1my-1,
設C(x3,y3),D(x4,y4),
聯(lián)立方程得x24+y23=1x=-1my-1,
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
則有y3+y4=-6m3m2+4,y3·y4=-93m2+4,
則|CD|=(1+1m2)[(y3+y4)2-4y3y4]=12×1m2+13m2+4=12×m2+14m2+3,
所以四邊形ACBD的面積:S=12|AB||CD|=72×m2+13m2+4×m2+14m2+3=72×m2+13(m2+1)+1×m2+14(m2+1)-1=72(3+1m2+1)(4-1m2+1),
因為(3+1m2+1)(4-1m2+1)≤ (3+1m2+1+4-1m2+12)2=494,
當且僅當m2=1時,等號成立,
所以S=72(3+1m2+1)(4-1m2+1)≥28849,
綜上,四邊形ACBD面積的最小值為28849.

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