1. 下面四個說法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；③垂直于同一平面的兩條直線互相平行；④經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直.其中正確的說法個數(shù)是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知m，n是不同的直線，α ，β 是不同的平面，則下列條件能使n⊥α 成立的是（ ）.
A. α⊥β ，n?βB. α//β ，n⊥βC. α⊥β ，n//βD. m//α ，n⊥m
3. 如圖，在三棱錐D?ABC中，若AB=CB,AD=CD，E是AC的中點，則下列說法中正確的是（ ）.
A. 平面ABC⊥ 平面ABD
B. 平面ABC⊥ 平面BCD
C. 平面ABC⊥ 平面BDE，且平面ACD⊥ 平面BDE
D. 平面ABC⊥ 平面ACD，且平面ACD⊥ 平面BDE
4. [2024·濟南摸底]若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的（ ）.
A. 內(nèi)心B. 外心C. 重心D. 垂心
5. （改編）閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是（ ）.
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥ 底面ABCD，E是線段PC上的任意一點，求證：平面PAC⊥ 平面BDE.
證明：因為PO⊥ 底面ABCD，所以PO⊥BD.
又因為AC⊥BD，且AC∩PO=O，所以 .
又因為BD? 平面BDE，所以平面PAC⊥ 平面BDE.
A. BD⊥ 平面PBCB. AC⊥ 平面PBDC. BD⊥ 平面PACD. AC⊥ 平面BDE
6. 如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB:BB1=2:1，則AB1與平面BB1C1C所成的角的大小為（ ）.
A. 45°B. 60°C. 30°D. 75°
7. （改編）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則（ ）.
A. 直線A1D與直線D1B相交，直線MN//平面ABCD
B. 直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥ 平面ABCD
C. 直線A1D與直線D1B垂直，直線MN//平面ABCD
D. 直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥ 平面ABCD
8.(2024·九省適應(yīng)性測試)設(shè)α,β是兩個平面,m,l是兩條直線,則下列命題為真命題的是( ).
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,則m⊥l
B.若m?α,l?β,m∥l,則α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,則m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,則α⊥β
綜合提升練
9. （多選題）下列說法中正確的是（ ）.
A. 夾在兩個平行平面間的平行線段相等
B. 三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直
C. 如果直線a//平面α ，P∈α ，那么過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條，且一定在α 內(nèi)
D. 已知m，n為異面直線，m⊥ 平面α ，n⊥ 平面β ，若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α ，l?β ，則α 與β 相交，且交線平行于l
10. （多選題）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥ 底面ABC,∠ABC=π2，作AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A. BC⊥ 平面PABB. AF⊥ 平面PBC
C. 三棱錐A?BCE是鱉臑D. 三棱錐A?CEF是鱉臑
11. 已知在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為線段CD上任意一點,現(xiàn)將△AED沿AE折起，使得平面ABD⊥ 平面ABCE，則CE的取值范圍是___________.
12. 在三棱錐P?ABC中，能證明AP⊥BC的條件是_________
①AP⊥PB，AP⊥PC；
②AP⊥PB，BC⊥PB；
③平面BCP⊥ 平面PAC，BC⊥PC；
④PB=PC，AB=AC.
應(yīng)用情境練
13. 如圖，四邊形ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60° ，AB=AD=4 dm.現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A?BD?C是90° 的加熱零件，則A,C間的距離是_____dm.（所有器件厚度忽略不計）
.
14. 廡殿頂是中國古代建筑的一種屋頂樣式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一條正脊，兩山屋面全等與前后屋面相交成四條垂脊，由于屋頂四面斜坡，也稱“四阿頂”.廡殿頂?shù)捻斏w幾何模型圖如圖所示，底面ABCD是矩形，若四個側(cè)面與底面所成的角均相等，且BC=2,EF=1，則AB=______.
創(chuàng)新拓展練
15. 如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF=_________ 時，CF⊥ 平面B1DF.
16. 如圖，五邊形SBADC中的四邊形ABCD是矩形，BC=2AB，SB=SC，沿BC折疊成四棱錐S?ABCD，M是BC的中點，SM=2.
（1）在四棱錐S?ABCD中，可以滿足條件①SA=6，②cs∠SBM=55，③sin∠SAM=63.請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SBC⊥ 底面ABCD.（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分）
（2）在（1）的條件下,求點M到平面SAD的距離.
7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【解析版】
基礎(chǔ)鞏固練
1. 下面四個說法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；③垂直于同一平面的兩條直線互相平行；④經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直.其中正確的說法個數(shù)是（ C ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
[解析]如果一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行線垂直，那么這條直線可能在平面內(nèi)，可能與平面平行，也可能與平面斜交，故①錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可知，過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直，故②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知，垂直于同一平面的兩條直線互相平行，故③正確；由面面垂直的判定定理可知，經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直，故④正確.故選C.
2. 已知m，n是不同的直線，α ，β 是不同的平面，則下列條件能使n⊥α 成立的是（ B ）.
A. α⊥β ，n?βB. α//β ，n⊥βC. α⊥β ，n//βD. m//α ，n⊥m
[解析]由α⊥β ，n?β ，不能說明n 與α 的關(guān)系，A錯誤；由α//β ，n⊥β 能夠推出n⊥α ，B正確；由α⊥β ，n//β 可以得到n 與平面α 平行、相交或在平面α 內(nèi)，C錯誤；m//α ，n⊥m，則n 與平面α 可能平行，D錯誤.故選B.
3. 如圖，在三棱錐D?ABC中，若AB=CB,AD=CD，E是AC的中點，則下列說法中正確的是（ C ）.
A. 平面ABC⊥ 平面ABD
B. 平面ABC⊥ 平面BCD
C. 平面ABC⊥ 平面BDE，且平面ACD⊥ 平面BDE
D. 平面ABC⊥ 平面ACD，且平面ACD⊥ 平面BDE
[解析]對于C，因為AB=CB,AD=CD，E是AC 的中點，所以DE⊥AC,BE⊥AC，因為DE∩BE=E，DE? 平面BDE,BE? 平面BDE，所以AC⊥ 平面BDE，因為AC? 平面ABC，所以平面ABC⊥ 平面BDE，同理，平面ACD⊥ 平面BDE，C正確；對于A，B，由于平面ABC⊥ 平面BDE，而平面BDE∩ 平面ABD=BD，故平面ABC 與平面ABD 不垂直，同理可得，平面ABC 與平面BCD 不垂直，A，B錯誤；對于D，平面ABC 與平面ACD 不一定垂直，D錯誤.故選C.
4. [2024·濟南摸底]若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的（ D ）.
A. 內(nèi)心B. 外心C. 重心D. 垂心
[解析]如圖所示，因為PA⊥BC,PO⊥BC，且PA∩PO=P，PA，PO? 平面PAO，
所以BC⊥ 平面PAO，所以BC⊥OA，
同理，OB⊥AC，所以O(shè) 是△ABC 的垂心.故選D.
5. （改編）閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是（ C ）.
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥ 底面ABCD，E是線段PC上的任意一點，求證：平面PAC⊥ 平面BDE.
證明：因為PO⊥ 底面ABCD，所以PO⊥BD.
又因為AC⊥BD，且AC∩PO=O，所以 .
又因為BD? 平面BDE，所以平面PAC⊥ 平面BDE.
A. BD⊥ 平面PBCB. AC⊥ 平面PBDC. BD⊥ 平面PACD. AC⊥ 平面BDE
[解析]因為PO⊥ 底面ABCD，所以PO⊥BD.又因為AC⊥BD，且AC∩PO=O，AC? 平面PAC,PO? 平面PAC，所以BD⊥ 平面PAC.又因為BD? 平面BDE，所以平面PAC⊥ 平面BDE.故選C.
6. 如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB:BB1=2:1，則AB1與平面BB1C1C所成的角的大小為（ A ）.
A. 45°B. 60°C. 30°D. 75°
[解析]如圖，取BC 的中點D，連接AD，B1D，
∵AD⊥BC 且AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC? 平面BCC1B1，BB1? 平面BCC1B1，
∴AD⊥ 平面BCC1B1，
∴∠AB1D 為AB1 與平面BB1C1C 所成的角.
設(shè)AB=2，則AA1=1，AD=62，AB1=3，
∴sin∠AB1D=ADAB1=22，∴∠AB1D=45° .
即AB1 與平面BB1C1C 所成的角為45° .故選A.
7. （改編）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則（ C ）.
A. 直線A1D與直線D1B相交，直線MN//平面ABCD
B. 直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥ 平面ABCD
C. 直線A1D與直線D1B垂直，直線MN//平面ABCD
D. 直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥ 平面ABCD
[解析]如圖，連接AD1，易知A1D 與AD1 互相平分，即M 是AD1 的中點，又N 是D1B 的中點，所以MN//AB，而MN? 平面ABCD，AB? 平面ABCD，故MN// 平面ABCD，又四邊形ADD1A1 是正方形，則A1D⊥AD1，又AB⊥A1D，所以A1D⊥ 平面ABD1，所以A1D⊥D1B.故選C.
8.(2024·九省適應(yīng)性測試)設(shè)α,β是兩個平面,m,l是兩條直線,則下列命題為真命題的是( C ).
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,則m⊥l
B.若m?α,l?β,m∥l,則α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,則m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,則α⊥β
[解析] 對于A,m,l可能平行、相交或異面,故A錯誤;對于B,α,β可能相交或平行,故B錯誤;對于D,α,β平行,故D錯誤.由線面平行的性質(zhì)可知C正確.
故選C.
綜合提升練
9. （多選題）下列說法中正確的是（ ABD ）.
A. 夾在兩個平行平面間的平行線段相等
B. 三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直
C. 如果直線a//平面α ，P∈α ，那么過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條，且一定在α 內(nèi)
D. 已知m，n為異面直線，m⊥ 平面α ，n⊥ 平面β ，若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α ，l?β ，則α 與β 相交，且交線平行于l
[解析]如圖1，α//β ,AB//CD,且A∈α ,C∈α ,B∈β ,D∈β ，求證：AB=CD.
因為AB//CD,所以過AB,CD可作平面γ ，且平面γ 與平面α 和β 分別相交于AC 和BD.
因為α//β ，所以BD//AC，所以四邊形ABDC 是平行四邊形，所以AB=CD,故A 正確；
如圖2，平面α⊥β ，α⊥γ ，β⊥γ ，α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，
在平面α 內(nèi)作異于a 的直線m⊥b，因為α⊥γ ，α∩γ=b，所以m⊥γ ，
因為β⊥γ ，所以m//β ，m?α ，α∩β=a，所以m//a，則a⊥γ ，
又因為α∩γ=b，β∩γ=c，所以b?γ ,c?γ ，則a⊥b,a⊥c，
同理可得，b⊥c，所以a⊥b,a⊥c,b⊥c，故B 正確；
若直線a// 平面α ，P∈α ，在平面α 內(nèi)過點P 且平行于直線a 的直線有且只有一條，故C 錯誤；
因為m，n為異面直線，m⊥ 平面α ，n⊥ 平面β ，所以α 與β 相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，
又直線l 滿足l⊥m，l⊥n，所以交線平行于l，故D 正確.故選ABD.
10. （多選題）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥ 底面ABC,∠ABC=π2，作AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F，則下列結(jié)論正確的是（ ACD ）.
A. BC⊥ 平面PABB. AF⊥ 平面PBC
C. 三棱錐A?BCE是鱉臑D. 三棱錐A?CEF是鱉臑
[解析]對于A，因為PA⊥ 平面ABC，且BC? 平面ABC，所以PA⊥BC，由∠ABC=π2，可得AB⊥BC，因為AB∩PA=A 且AB? 平面PAB,PA? 平面PAB，所以BC⊥ 平面PAB，所以A 正確；
對于B，因為BC⊥ 平面PAB，AE? 平面PAB，所以AE⊥BC，又因為AE⊥PB，且PB∩BC=B，PB? 平面PBC,BC? 平面PBC，所以AE⊥ 平面PBC，所以AF 與平面PBC 不垂直，所以B 不正確；
對于C，因為AE⊥ 平面PBC，且CE? 平面PBC,BE? 平面PBC，所以AE⊥CE,AE⊥BE，所以△AEC,△ABE都為直角三角形，又∠ABC=π2，所以△ABC 為直角三角形，因為BC⊥ 平面PAB，BE? 平面PAB，所以BC⊥BE，所以△BCE 為直角三角形，根據(jù)鱉臑的定義，可得三棱錐A?BCE 是一個鱉臑，所以C 正確；
對于D，因為AE⊥ 平面PBC，且CE? 平面PBC,EF? 平面PBC，所以AE⊥CE,AE⊥EF，所以△AEC,△AEF都為直角三角形，因為AF⊥PC，所以△ACF 為直角三角形，因為AE⊥ 平面PBC，CF? 平面PBC，所以AE⊥CF，因為CF⊥AF，且AE∩AF=A，AE? 平面AEF,AF? 平面AEF，所以CF⊥ 平面AEF，又因為EF? 平面AEF，所以CF⊥EF，所以△CEF 為直角三角形，根據(jù)鱉臑的定義，可得三棱錐A?CEF 是一個鱉臑，所以D 正確.故選ACD.
11. 已知在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為線段CD上任意一點,現(xiàn)將△AED沿AE折起，使得平面ABD⊥ 平面ABCE，則CE的取值范圍是[0,1) .
[解析]當平面ABD⊥ 平面ABCE 時，點D 恰好在直線AB 的正上方，則當△ADE 沿AE 翻折到平面ABCE 上時，點D 一定在直線AB 的下方，如圖.
當E 為CD 的中點時，∠EAD=45° ，所以∠EAD>45° ,則ED>AD=1,即ED∈(1,2]，
所以CE 的取值范圍是[0,1).
12. 在三棱錐P?ABC中，能證明AP⊥BC的條件是①③④.
①AP⊥PB，AP⊥PC；
②AP⊥PB，BC⊥PB；
③平面BCP⊥ 平面PAC，BC⊥PC；
④PB=PC，AB=AC.
[解析]對于①，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，PB? 平面PBC,PC? 平面PBC，所以AP⊥ 平面PBC，因為BC? 平面PBC，所以AP⊥BC，①滿足條件；對于②，AP⊥PB，BC⊥PB，無法證明AP⊥BC，②不滿足條件；對于③，因為平面BCP⊥ 平面PAC，平面BCP∩ 平面PAC=PC，BC⊥PC，BC? 平面BCP，所以BC⊥ 平面PAC，又AP? 平面PAC，所以AP⊥BC，③滿足條件；對于④，如圖，取BC 的中點D，連接AD,PD，因為PB=PC，D為BC 的中點，所以BC⊥PD，同理可得BC⊥AD，因為AD∩PD=D，AD? 平面PAD,PD? 平面PAD，所以BC⊥ 平面PAD，因為AP? 平面PAD，所以AP⊥BC，④滿足條件.
應(yīng)用情境練
13. 如圖，四邊形ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60° ，AB=AD=4 dm.現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A?BD?C是90° 的加熱零件，則A,C間的距離是4dm.（所有器件厚度忽略不計）
[解析]∵ 四邊形ABCD 是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60° ，AB=AD=4 dm，∴△DAB為等邊三角形，BC=23 dm,DC=2 dm，如圖，設(shè)E 為BD 的中點，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A?BD?C 是90° ，
∴AE⊥ 平面BCD，CE? 平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2 dm，AE=23 dm，∴AC=AE2+CE2=4dm.
14. 廡殿頂是中國古代建筑的一種屋頂樣式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一條正脊，兩山屋面全等與前后屋面相交成四條垂脊，由于屋頂四面斜坡，也稱“四阿頂”.廡殿頂?shù)捻斏w幾何模型圖如圖所示，底面ABCD是矩形，若四個側(cè)面與底面所成的角均相等，且BC=2,EF=1，則AB=3.
[解析]如圖，取AD,BC的中點G,M，連接GM，過點F 作FO⊥ 平面ABCD 于點O，過點E 作EL⊥ 平面ABCD 于點L，作OH⊥AB 于點H，連接FG,FH，因為底面ABCD 是矩形，所以AB//CD，又因為CD? 平面CDFE，AB? 平面CDFE，所以AB// 平面CDFE，又因為AB? 平面ABEF，平面CDFE∩ 平面ABEF=EF，所以AB//EF，因為平面ABEF，平面CDFE 與底面ABCD 所成的角相等，所以點O,L在直線GM 上，且OL=EF=1，OH=12BC=1，根據(jù)三垂線定理可得，∠FGO為平面FAD 與平面ABCD 所成的角，∠FHO為平面ABEF 與平面ABCD 所成的角，所以∠FGO=∠FHO，又OF 為公共邊，所以Rt△OFG≌Rt△OFH，所以O(shè)G=OH=1，同理ML=1，所以AB=GM=OG+OL+LM=1+1+1=3.
創(chuàng)新拓展練
15. 如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF=a 或2a 時，CF⊥ 平面B1DF.
[解析]由已知得△A1B1C1 是等腰直角三角形，A1B1=B1C1，D是A1C1 的中點，∴B1D⊥A1C1.
∵ 平面A1B1C1⊥ 平面A1ACC1，平面A1B1C1∩ 平面A1ACC1=A1C1，∴B1D⊥ 平面A1ACC1.
又CF? 平面A1ACC1，∴B1D⊥CF.
若CF⊥ 平面B1DF，則CF⊥DF.
設(shè)AF=x0≤x≤3a，則CF2=x2+4a2，
DF2=a2+3a?x2,CD2=a2+9a2=10a2，
∴10a2=x2+4a2+a2+3a?x2，
解得x=a 或x=2a.
16. 如圖，五邊形SBADC中的四邊形ABCD是矩形，BC=2AB，SB=SC，沿BC折疊成四棱錐S?ABCD，M是BC的中點，SM=2.
（1）在四棱錐S?ABCD中，可以滿足條件①SA=6，②cs∠SBM=55，③sin∠SAM=63.請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SBC⊥ 底面ABCD.（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分）
（2）在（1）的條件下,求點M到平面SAD的距離.
[解析]（1）方案一：選條件①②.
因為在四棱錐S?ABCD 中，SB=SC，M為BC 的中點，所以SM⊥BC，
在Rt△SBM 中，SM=2，cs∠SBM=BMSB=BMSM2+BM2=BM4+BM2=55，解得BM=1，
又因為四邊形ABCD 為矩形，BC=2AB，所以BM=AB=1，AM=AB2+BM2=12+12=2.
因為SA=6，AM=2，SM=2，所以SA2=AM2+SM2，則SM⊥AM.
因為AM∩BC=M，AM,BC? 平面ABCD，所以SM⊥ 平面ABCD.
因為SM? 側(cè)面SBC，所以側(cè)面SBC⊥ 平面ABCD.
方案二：選條件①③.
因為在四棱錐S?ABCD 中，SB=SC，M為BC 的中點，所以SM⊥BC，
在△SAM 中，SA=6，sin∠SAM=63，SM=2，
由正弦定理可得SAsin∠SMA=SMsin∠SAM，即6sin∠SMA=263，
所以sin∠SMA=1，所以∠SMA=π2，即SM⊥AM，
因為AM∩BC=M，AM,BC? 平面ABCD，所以SM⊥ 平面ABCD，
因為SM? 側(cè)面SBC，所以側(cè)面SBC⊥ 平面ABCD.
方案三：選條件②③.
因為在四棱錐S?ABCD 中，SB=SC，M為BC 的中點，
所以SM⊥BC，
在Rt△SBM 中，SM=2，cs∠SBM=BMSB=BMSM2+BM2=BM4+BM2=55，解得BM=1，
又因為四邊形ABCD 為矩形，BC=2AB，所以BM=AB=1，
所以AM=AB2+BM2=12+12=2，
在△SAM 中，sin∠SAM=63，則cs∠SAM=1?sin2∠SAM=1?632=33，
設(shè)SA=x，由余弦定理可得SM2=SA2+AM2?2SA?AMcs∠SAM，
整理可得3x2?26x?6=0，解得x=6 或x=?63（舍去），所以SA=6.
因為SA=6，AM=2，SM=2，所以SA2=AM2+SM2，
則SM⊥AM.
因為AM∩BC=M，AM，BC? 平面ABCD，所以SM⊥ 平面ABCD，
因為SM? 側(cè)面SBC，所以側(cè)面SBC⊥ 平面ABCD.
（2）在（1）的條件下，SM⊥ 平面ABCD，
因為M 為BC 的中點，SM=2，BM=AB=1，
在△ADM 中，AM=DM=2，AD=2，則AM2+DM2=AD2，
所以AM⊥DM，則S△ADM=12AM?DM=12×22=1，
V三棱錐S?ADM=13S△ADM?SM=13×1×2=23，
在△SAD 中，SA=SD=6，AD=2，則cs∠ASD=SA2+SD2?AD22SA?SD=6+6?412=23，
所以sin∠ASD=1?cs2∠ASD=53，
所以S△ASD=12SA?SDsin∠ASD=12×6×53=5，
設(shè)點M 到平面SAD 的距離為?，由V三棱錐S?ADM=V三棱錐M?ASD 可得13S△SAD??=23，所以?=2S△SAD=25=255.
因此點M 到平面SAD 的距離為255.

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2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-專項訓(xùn)練【含解析】
2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練《空間直線、平面的垂直》

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