TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22198" 【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22198 \h 3
\l "_Tc9065" 【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】 PAGEREF _Tc9065 \h 4
\l "_Tc25390" 【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc25390 \h 5
\l "_Tc2159" 【題型4 利用向量共線求參數(shù)】 PAGEREF _Tc2159 \h 5
\l "_Tc10347" 【題型5 利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc10347 \h 6
\l "_Tc8428" 【題型6 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】 PAGEREF _Tc8428 \h 6
1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
2．應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
3．用平面向量基本定理解決問題的一般思路：
用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
【知識(shí)點(diǎn)2 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略】
1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
2．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
3．共線的坐標(biāo)表示
(1)兩向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
(2)三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線，則有=，
??????? 從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線.
4．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若與不共線，且，則.
2．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(,)，B(,)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.
3．已知△ABC的重心為G，若A(,)，B(,)，C(,)，則G.
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【例1】（2024·山東濰坊·二模）在△ABC中，BD=13BC，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，記AB=a，AC=b，則BE=（ ）
A．?13a+13bB．?23a+16bC．?13a?13bD．23a?16b
【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上且滿足ADDB=2，E為BC的中點(diǎn)，直線DE交AC的延長線于點(diǎn)F，則BF=（ ）
A．BA+2BCB．?BA+2BCC．2BA?BCD．?2BA+BC
【變式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形ABCD，若點(diǎn)M是邊BC的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B處），點(diǎn)N是邊AB的中點(diǎn)，直線BD與MN相交于點(diǎn)H，則BHBD=（ ）
A．23B．25C．15D．14
【變式1-3】（2023·湖南婁底·三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5?12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且點(diǎn)E為線段BO的黃金分割點(diǎn)，則BF=（ ）

A．3?52BA+5+510BGB．3?52BA+5?510BG
C．5?12BA+5?510BGD．3?52BA+55BG
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】
【例2】（2024·陜西西安·一模）在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且CD=DA，AP=23AB+λAC，則λ=（ ）
A．16B．13C．23D．56
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊AB上任意一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)P，若CP=xCA+yCB，則3x+4y=（ ）
A．34B．?34C．3D．-3
【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若AP=34AC?14BC，則λ+t的值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
【變式2-3】（2024·河南商丘·三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若BF=xAB+yAC，則3x+y=（ ）
A．?1B．?34C．?12D．?14
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知點(diǎn)A?1,1,AB=1,?2，則OB=（ ）
A．2,?3B．0,?1C．?2,3D．0,1
【變式3-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量AB=2,?1，AC=3,2，點(diǎn)C?1,2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．?2,?1B．0,5C．2,?5D．2,?1
【變式3-2】（2023·寧夏銀川·二模）已知向量a=2,?3，b=1,2，c=9,4，若c=ma+nb，則m+n=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E是線段CB上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，則DC=（ ）
A．65AE+415DFB．415AE+65DF
C．45AE+415DFD．415AE+45DF
【題型4 利用向量共線求參數(shù)】
【例4】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）設(shè)向量a=1,k?12，b=2,k2，若a//b，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．?2B．?1C．2D．1
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知向量a=m,2m+3，b=1,4m+1，則“m=?34”是“a與b共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【變式4-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=1,?1,b=?1,2,c=?3,3．若非零實(shí)數(shù)m,n滿足na+b//b?mc，則nm=（ ）
A．3B．13C．?13D．?3
【變式4-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知平面向量a=2λ2+1,λ，b=μ,1，其中λ>0，若a//b，則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是（ ）
A．22,+∞B．2,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．1,+∞
【題型5 利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例5】（2024·河北邯鄲·三模）已知向量a=(m,2)與b=(?2,?4)共線，則3a?b=（ ）
A．(1,10)B．(5,10)C．(5,2)D．(1,2)
【變式5-1】（2024·四川廣安·二模）已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，若DE=3,4，B?2,?3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．4,5B．1,1C．?5,?7D．?8,?11
【變式5-2】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知點(diǎn)A1,3，Bm?5,1，C3,m+1，若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB的坐標(biāo)為（ ）
A．?2，2 B．2，?2 C．2，2 D．?2，?2
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量a=2,?1，b=m,2，若向量a與a?b共線，則a+b=（ ）
A．?2,1B．?2,?1C．?4,2D．?2,?4
【題型6 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】
【例6】（23-24高一下·山東·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R)，則λ+μ的最大值為（ ）
A．3B．5C．52D．2
【變式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC//AB，AD=DC=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動(dòng)（如圖所示），若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R，則2λ?μ的取值范圍是（ ）
A．?2,1B．?2,2C．?12,12D．?22,22
【變式6-2】（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓上移動(dòng)，設(shè)AP=λAD+μAB(λ,μ∈R)，則λμ最大值是 .
【變式6-3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四個(gè)半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖），若P在BC上，且AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為 ．
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量e1、e2，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（ ）
A．2e1+e2和e1?e2B． e1+3e2和e2+3e1
C． 3e1?e2和2e2?6e1D． e1和e1+e2
2．（2024·陜西渭南·二模）已知向量a=t?3,?1，b=2,t，則“t=2”是“a∥b”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，若DF=3EF，則AF=（ ）
A．12AB+56ACB．12AB+34AC
C．12AB+ACD．12AB+32AC
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知M4,?2，N?6,?4，且MP=?12MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．1,1B．9,?1C．?2,2D．2,?1
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若BD=2DA?3DC，且AC=?2,1，則AB=（ ）
A．4,?2B．?4,2C．6,?3D．?6,3
6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CE=2EA，若AB=λAD+μBE，則λ+μ的值為（ ）
A．12B．14C．?12D．?14
7．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a ∥ b且xy>0，則x2+yxy的最小值為（ ）
A．2+1B．2+2C．4D．2?1
8．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)C在半徑為2的AB上運(yùn)動(dòng)，∠AOB=π3若OC=mOA+nOB，則m+n的最大值為（ ）
A．1B．2C．233D．3
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=(1,2),b=(?2,1).若(xa?b)//(a?xb)，則x=（ ）
A．?1B．0C．1D．2
10．（2023·廣東梅州·三模）如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD∥AB，CD=12AB，E，F(xiàn)分別為DC，AE的中點(diǎn)，若AD=λAB+μBFλ,μ∈R，則（ ）

A．λ=72B．μ=2
C．λ=74D．μ=1
11．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，BM=λBE+μBD，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)M為線段AD上的中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=32
B．λμ的最大值為12
C．μ的取值范圍為0,1
D．λ+μ的取值范圍為12,2
三、填空題
12．（2024·上?！つM預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，若將AB=a，AD=b作為平面向量的一個(gè)基，則向量AF可表示為 （用a、b表示）.

13．（2024·陜西西安·二模）向量AB=(?3,6)，AC=(m,5)，CD=(?1,4)．若A,B,D三點(diǎn)共線，則m=
．
14．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE＝2CD．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，AP=λAB+μAE，則λ+μ的取值范圍為 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知A0,1，B3,2，C?1,5．
(1)若AB?2AC=m,n，求m，n；
(2)若AD=2AB+4AC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
16．（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=2a，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)M.
(1)用AD，AE表示BF；
(2)求線段AM的長.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量a=3,2，b=?1,2，c=4,1．
(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n；
(2)若a+kc//2b?a，求實(shí)數(shù)k．
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如圖，在?ABCD中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF=2FB，G為DF與BE的交點(diǎn)．
(1)記向量AB=a，AD=b，試以向量a，b為基底表示BE，DF；
(2)若AC=mBE+nDF，求m，n的值；
(3)求證：A，G，H三點(diǎn)共線．
19．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2e1+e2,BE=?e1+λe2,EC=?2e1+e2，且A,E,C三點(diǎn)共線．
(1)求實(shí)數(shù)λ的值；
(2)若e1=2,1,e2=2,?2，求BC的坐標(biāo)；
(3)已知D3,5，在（2）的條件下，若A,B,C,D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意義
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件
2022年全國乙卷（文數(shù)）：第3題，5分
2022年新高考全國I卷：第3題，5分
2023年天津卷：第14題，5分
2024年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分
2024年上海卷：第5題，5分
平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對向量的線性運(yùn)算法則、向量共線與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)行求解.
區(qū) 別
表示形
式不同
向量=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x,y)中間沒有等號(hào).
意義
不同
點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y).
聯(lián)系
向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.
專題5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【六大題型】
【新高考專用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22198" 【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22198 \h 3
\l "_Tc9065" 【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】 PAGEREF _Tc9065 \h 6
\l "_Tc25390" 【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc25390 \h 8
\l "_Tc2159" 【題型4 利用向量共線求參數(shù)】 PAGEREF _Tc2159 \h 9
\l "_Tc10347" 【題型5 利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc10347 \h 11
\l "_Tc8428" 【題型6 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】 PAGEREF _Tc8428 \h 12
1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
2．應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
3．用平面向量基本定理解決問題的一般思路：
用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
【知識(shí)點(diǎn)2 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略】
1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
2．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
3．共線的坐標(biāo)表示
(1)兩向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
(2)三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線，則有=，
??????? 從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線.
4．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若與不共線，且，則.
2．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(,)，B(,)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.
3．已知△ABC的重心為G，若A(,)，B(,)，C(,)，則G.
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【例1】（2024·山東濰坊·二模）在△ABC中，BD=13BC，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，記AB=a，AC=b，則BE=（ ）
A．?13a+13bB．?23a+16bC．?13a?13bD．23a?16b
【解題思路】根據(jù)三角形中向量對應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用AB、AC表示出BE即可.
【解答過程】由題設(shè)BE=12(BA+BD)=12(BA+13BC)=12[BA+13(BA+AC)]=?23AB+16AC，
所以BE= ?23a+16b.
故選：B.
【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上且滿足ADDB=2，E為BC的中點(diǎn)，直線DE交AC的延長線于點(diǎn)F，則BF=（ ）
A．BA+2BCB．?BA+2BCC．2BA?BCD．?2BA+BC
【解題思路】根據(jù)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線及D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量基本定理用BA和BC表示出BF，然后根據(jù)向量相等即可得解．
【解答過程】

由題，A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則BF=λBA+1?λBC，
D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則BF=μBD+1?μBE=μ3BA+1?μ2BC，
∴λ=μ31?λ=1?μ2 ，得λ=?1μ=?3 ，
∴BF=?BA+2BC．
故選：B.
【變式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形ABCD，若點(diǎn)M是邊BC的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B處），點(diǎn)N是邊AB的中點(diǎn)，直線BD與MN相交于點(diǎn)H，則BHBD=（ ）
A．23B．25C．15D．14
【解題思路】
設(shè)BM=a,BN=b，設(shè)BH=λBD，MH=μMN，利用向量的基本定理可得3λ=1?μ2λ=μ，求得λ=15，從而問題可解.
【解答過程】
設(shè)BM=a,BN=b，則BD=3a+2b，MN=b?a，
設(shè)BH=λBD，MH=μMN，
則BH=3λa+2λb，MH=μb?μa，
因?yàn)锽H=BM+MH=a+μb?μa=1?μa+μb，
所以3λ=1?μ2λ=μ，解得λ=15，
所以BH=15BD，即BHBD=|BH||BD|=15.
故選：C.
【變式1-3】（2023·湖南婁底·三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5?12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且點(diǎn)E為線段BO的黃金分割點(diǎn)，則BF=（ ）

A．3?52BA+5+510BGB．3?52BA+5?510BG
C．5?12BA+5?510BGD．3?52BA+55BG
【解題思路】由題意得BE=5?12BO，結(jié)合矩形的特征可用BG表示出BO，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.
【解答過程】由題意得BE=5?12BO，顯然BE=DG，BO=OD=12BD，
同理有AF=5?12AO，DG=5?12DO，
所以BG=2?5?12BO=5?52BO，故BO=25?5BG=255?1BG，
因?yàn)锽F=BA+AF=BA+5?12AO
=BA+5?12BO?BA=3?52BA+5?12BO，
所以BF=3?52BA+55BG.
故選：D.
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】
【例2】（2024·陜西西安·一模）在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且CD=DA，AP=23AB+λAC，則λ=（ ）
A．16B．13C．23D．56
【解題思路】依題意可得AC=2AD，即可得到AP=23AB+2λAD，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到23+2λ=1，解得即可.
【解答過程】因?yàn)镃D=DA，所以AD=12AC，即AC=2AD，
又AP=23AB+λAC，所以AP=23AB+2λAD，
因?yàn)辄c(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，即B、P、D三點(diǎn)共線，
所以23+2λ=1，解得λ=16.
故選：A.
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊AB上任意一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)P，若CP=xCA+yCB，則3x+4y=（ ）
A．34B．?34C．3D．-3
【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算，得CP=CE+EP=tCA+34?34tCB，再利用平面向量基本定理，可得x=t,y=34?34t，然后就可得到結(jié)果.
【解答過程】∵A?P?E三點(diǎn)共線，設(shè)EP=tEA(00)，若AP=34AC?14BC，則λ+t的值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解題思路】表達(dá)出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.
【解答過程】由題意及圖可得，
∵BP=λPN，
∴AP=AB+BP=AB+λλ+1BN=AB+λλ+1?AB+AN=AB1+λ+λAN1+λ，
∵AN=tNC(t>0)，
∴AN=tt+1AC,AP=AB1+λ+tλ(1+t)(1+λ)AC．
∵AP=34AC?14BC=34AC?14?AB+AC=14AB+12AC，
∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=12，解得：λ=3，t=2，λ+t=5，
故選：C．
【變式2-3】（2024·河南商丘·三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若BF=xAB+yAC，則3x+y=（ ）
A．?1B．?34C．?12D．?14
【解題思路】由題意推出DE∥AC，可得DFFC=DEAC=14，推出DF=15DC，根據(jù)向量的加減運(yùn)算，用基底AB,AC表示出BF，和BF=xAB+yAC比較，可得x,y，即得答案.
【解答過程】連結(jié)DE，
由題意可知，BDBA=BEBC=14，
所以DE∥AC，則DEAC=BDBA=14，
所以DFFC=DEAC=14，所以BD=?14AB，DC=AC?AD=AC?34AB，
則DF=15DC=15AC?320AB，
故BF=BD+DF=?14AB+15AC?320AB=?25AB+15AC，
又BF=xAB+yAC，所以x=?25，y=15，則3x+y=?1，
故選：A.
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知點(diǎn)A?1,1,AB=1,?2，則OB=（ ）
A．2,?3B．0,?1C．?2,3D．0,1
【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算，即可求解.
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)A?1,1,AB=1,?2，則OA=(?1,1)，
可得OB=OA+AB=?1,1+1,?2=0,?1.
故選：B．
【變式3-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量AB=2,?1，AC=3,2，點(diǎn)C?1,2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．?2,?1B．0,5C．2,?5D．2,?1
【解題思路】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解即可.
【解答過程】由題意得，CB=AB?AC=(2,?1)?(3,2)=(?1,?3)，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y)，則CB=(x+1,y?2)=(?1,?3)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?2,?1).
故選：A.
【變式3-2】（2023·寧夏銀川·二模）已知向量a=2,?3，b=1,2，c=9,4，若c=ma+nb，則m+n=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解題思路】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.
【解答過程】由題意，得c=2m+n,?3m+2n=9,4，
所以2m+n=9?3m+2n=4，解得m=2n=5，
所以m+n=7.
故選：C.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E是線段CB上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，則DC=（ ）
A．65AE+415DFB．415AE+65DF
C．45AE+415DFD．415AE+45DF
【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.
【解答過程】作出圖形如圖所示.記線段AC,BD交于點(diǎn)O，
分別以AC,BD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=BD=2，則A?3,0,D0,?1，E33,23,F?34,34,C3,0，
故DC=3,1,AE=433,23，DF=?34,74，設(shè)DC=xAE+yDF，
則3=433x?34y1=23x+74y，解得x=45y=415,∴DC=45AE+415DF.
故選：C.

【題型4 利用向量共線求參數(shù)】
【例4】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）設(shè)向量a=1,k?12，b=2,k2，若a//b，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．?2B．?1C．2D．1
【解題思路】利用向量平行得到方程，求出答案.
【解答過程】a//b，故k2?2k?12=0，解得k=1.
故選：D.
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知向量a=m,2m+3，b=1,4m+1，則“m=?34”是“a與b共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求出m的值，判斷得解.
【解答過程】向量a=m,2m+3，b=1,4m+1，
若a與b共線，則m4m+1?2m+3=0.解得m=?34或m=1，
所以“m=?34”是“a與b共線”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式4-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=1,?1,b=?1,2,c=?3,3．若非零實(shí)數(shù)m,n滿足na+b//b?mc，則nm=（ ）
A．3B．13C．?13D．?3
【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的充要條件計(jì)算即可.
【解答過程】由題意可知，na+b=n1,?1+?1,2=n?1,?n+2，b?mc=?1,2?m?3,3=?1+3m,2?3m．
因?yàn)閚a+b//b?mc，所以n?12?3m=?n+2?1+3m，
整理得n=3m，即nm=3．
故選:A．
【變式4-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知平面向量a=2λ2+1,λ，b=μ,1，其中λ>0，若a//b，則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是（ ）
A．22,+∞B．2,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．1,+∞
【解題思路】根據(jù)向量平行，得到μ=2λ2+1λ，結(jié)合基本不等式即可求.
【解答過程】由題意，因?yàn)閍//b，所以λμ=2λ2+1，又λ>0，
所以μ=2λ2+1λ=2λ+1λ≥22λ×1λ=22，當(dāng)且僅當(dāng)2λ=1λ即λ=22時(shí)等號(hào)成立．
故選：A.
【題型5 利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例5】（2024·河北邯鄲·三模）已知向量a=(m,2)與b=(?2,?4)共線，則3a?b=（ ）
A．(1,10)B．(5,10)C．(5,2)D．(1,2)
【解題思路】
根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.
【解答過程】
因?yàn)閍//b，所以(?4)×m=2×(?2)，解得m=1，
所以3a?b=3(1,2)?(?2,?4)=(5,10)．
故選：B.
【變式5-1】（2024·四川廣安·二模）已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，若DE=3,4，B?2,?3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．4,5B．1,1C．?5,?7D．?8,?11
【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系可解.
【解答過程】因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，
所以BC?=2DE?=6,8，
設(shè)Cx,y，又B?2,?3，所以x+2,y+3=6,8
即x+2=6y+3=8，解得x=4y=5.
故選：A.
【變式5-2】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知點(diǎn)A1,3，Bm?5,1，C3,m+1，若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB的坐標(biāo)為（ ）
A．?2，2 B．2，?2 C．2，2 D．?2，?2
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.
【解答過程】由題意可知AB=m?6,?2,AC=2,m?2, 由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以AB與AC共線，
所以m?6m?2=?4?m?42=0?m=4，
所以AB=?2,?2,
故選：D.
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量a=2,?1，b=m,2，若向量a與a?b共線，則a+b=（ ）
A．?2,1B．?2,?1C．?4,2D．?2,?4
【解題思路】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出m的值，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求a+b.
【解答過程】向量a=2,?1，b=m,2，則a?b=2?m,?3，
若向量a與a?b共線，有2×?3=?2?m，解得m=?4，則b=?4,2，
所以a+b=?2,1.
故選：A.
【題型6 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問題】
【例6】（23-24高一下·山東·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R)，則λ+μ的最大值為（ ）
A．3B．5C．52D．2
【解題思路】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令A(yù)P=(csθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組得{csθ=2μsinθ=λ，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.
【解答過程】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：AB=(0,1),AD=(2,0)，令A(yù)P=(csθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，
由AP=λAB+μAD(λ,μ∈R)可得：{csθ=2μsinθ=λ，
則λ+μ=sinθ+csθ2=52sin(θ+φ)且tanφ=12，
所以當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí)，λ+μ的最大值為52.
故選：C.
【變式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC//AB，AD=DC=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動(dòng)（如圖所示），若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R，則2λ?μ的取值范圍是（ ）
A．?2,1B．?2,2C．?12,12D．?22,22
【解題思路】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由AP=λED+μAF得到csα=?λ+32μ，sinα=λ+12μ，從而得到2λ?μ=2sinα?π4，由此可求得2λ?μ的取值范圍.
【解答過程】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)，如圖所示：
.
則A0,0，E1,0，D0,1，C1,1，B2,0，Pcsα,sinα?π2≤α≤π2，
則F32,12，AP=csα,sinα，ED=?1,1，AF=32,12，
∵AP=λED+μAF，
∴csα,sinα=λ?1,1+μ32,12=?λ+32μ,λ+12μ，
∴csα=?λ+32μ，sinα=λ+12μ，
∴λ=143sinα?csα，μ=12csα+sinα，
∴2λ?μ=123sinα?csα?12csα+sinα=sinα?csα=2sinα?π4，
∵?π2≤α≤π2，∴?3π4≤α?π4≤π4，∴?1≤sinα?π4≤22，
∴?2≤2sinα?π4≤1，故?2≤2λ?μ≤1，即2λ?μ∈?2,1.
故選：A.
【變式6-2】（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓上移動(dòng)，設(shè)AP=λAD+μAB(λ,μ∈R)，則λμ最大值是 4 .
【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程，設(shè)出Px,y，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，用P的坐標(biāo)表μ,λ，則λμ=2?yx=2?y?0x?0，根據(jù)直線AP:y=kx與x?12+y?12=15有交點(diǎn),求出范圍．
【解答過程】解：以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD方向?yàn)閤,y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系：
所以A0,0，B2,0，C1,1，D0,1，所以AD=0,1，AB=2,0，
因?yàn)閳AC與直線BD相切，而lBD:x+2y?2=0，圓心C1,1，
所以半徑r=15=55，所以圓C：x?12+y?12=15，
設(shè)Px,y,則AP=x,y，AD=0,1，AB=2,0
又AP=λAD+μAB=λ0,1+μ2,0=2μ,λ
所以x,y=2μ,λ，則x=2μ,y=λ，所以μ=x2,λ=y
所以λμ=2?yx=2?y?0x?0表示坐標(biāo)原點(diǎn)A與點(diǎn)P兩點(diǎn)之間連線的斜率k的2倍，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在圓C上移動(dòng)，所以直線AP:y=kx與x?12+y?12=15有交點(diǎn)，
則圓心C1,1到y(tǒng)=kx的距離為k?1k2+12≤15
解得:12≤k≤2，則1≤2?yx≤4
所以1≤λμ≤4，則λμ最大值是4.
故答案為：4．
【變式6-3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四個(gè)半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖），若P在BC上，且AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為 3+22 ．
【解題思路】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Pcsθ,sinθ，θ∈π,2π,又A?1,2,B?1,0,C1,0,D1,2,，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.
【解答過程】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)Pcsθ,sinθ，θ∈π,2π
又A?1,2,B?1,0,C1,0,D1,2,，
則AP=csθ+1,sinθ?2,AD=2,0,AB=0,?2，
∵AP=λAD+μAE，即csθ+1,sinθ?2=λ0,?2+μ2,0
∴csθ+1=2μsinθ?2=?2λ，
解得μ=csθ+12λ=2?sinθ2，
λ+μ=2?sinθ2+csθ+12=12csθ?sinθ+3=122csθ+π4+3,
因?yàn)棣取师?2π，則θ+π4∈5π4,9π4，
所以當(dāng)θ+π4=2π時(shí)，csθ+π4取得最大值1，
則λ+μ的最大值為3+22.
故答案為：3+22.
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量e1、e2，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（ ）
A．2e1+e2和e1?e2B． e1+3e2和e2+3e1
C． 3e1?e2和2e2?6e1D． e1和e1+e2
【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.
【解答過程】對A：不存在實(shí)數(shù)λ，使得2e1+e2=λe1?e2，
故2e1+e2和e1?e2不共線，可作基底；
對B：不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1+3e2=λe2+3e1，
故e1+3e2和e2+3e1不共線，可作基底；
對C：對 3e1?e2和2e2?6e1，因?yàn)閑1,e2是不共線的兩個(gè)非零向量，
且存在實(shí)數(shù)?2，使得2e2?6e1=?23e1?e2，
故3e1?e2和2e2?6e1共線，不可作基底；
對D：不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1=λe1+e2，故e1和e1+e2不共線，可作基底.
故選：C.
2．（2024·陜西渭南·二模）已知向量a=t?3,?1，b=2,t，則“t=2”是“a∥b”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，求出t=1或2，從而結(jié)合充分條件、必要條件判斷出結(jié)論.
【解答過程】若a∥b，則tt?3??1×2=0，解得t=1或2，
故“t=2”是“a∥b”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，若DF=3EF，則AF=（ ）
A．12AB+56ACB．12AB+34AC
C．12AB+ACD．12AB+32AC
【解題思路】取AC,AB為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.
【解答過程】在△ABC中，取AC,AB為基底，
則AC=AB=2,AC,AB=60°，
因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，DF=3EF,
所以EF=12DE=14AC，
所以AF=AE+EF=12AB+AC+14AC=12AB+34AC.
故選：B.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知M4,?2，N?6,?4，且MP=?12MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．1,1B．9,?1C．?2,2D．2,?1
【解題思路】由M,N的坐標(biāo)得出?12MN，設(shè)點(diǎn)Px,y，得出MP，根據(jù)MP=?12MN列出方程組求解即可．
【解答過程】因?yàn)镸4,?2，N?6,?4，
所以?12MN=?12?10,?2=5,1，
設(shè)Px,y，則MP=x?4,y+2，
又MP=?12MN，
所以x?4=5y+2=1，解得x=9y=?1，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9,?1．
故選：B．
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若BD=2DA?3DC，且AC=?2,1，則AB=（ ）
A．4,?2B．?4,2C．6,?3D．?6,3
【解題思路】由已知整理可得AB=3AC，然后由坐標(biāo)運(yùn)算可得.
【解答過程】由BD=2DA?3DC得BD+DA=3DA?3DC，即BA=3CA，即AB=3AC，
又AC=?2,1，所以AB=3AC=?6,3.
故選：D．
6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CE=2EA，若AB=λAD+μBE，則λ+μ的值為（ ）
A．12B．14C．?12D．?14
【解題思路】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將AB用AD,BE表示出來，從而可求出λ,μ，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CE=2EA，
所以AD=12(AB+AC)BE=AE?AB=13AC?AB，所以2AD=AB+AC3BE=AC?3AB，
消去AC，得2AD?3BE=4AB，
所以AB=12AD?34BE=λAD+μBE，
所以λ=12，μ=?34，所以λ+μ=?14．
故選：D．
7．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a ∥ b且xy>0，則x2+yxy的最小值為（ ）
A．2+1B．2+2C．4D．2?1
【解題思路】根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件，寫出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出x2+yxy=xy+y2x+1，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.
【解答過程】∵a=1,1， b=2x+y,2，其中xy>0，且a//b，
∴2x+y=2，
∴x2+yxy=xy+1x=xy+x+y2x=xy+y2x+1≥2xy?y2x+1=2+1，
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x即x=2?2時(shí)取等號(hào)，
∴x2+yxy的最小值為2+1.
故選：A.
8．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)C在半徑為2的AB上運(yùn)動(dòng)，∠AOB=π3若OC=mOA+nOB，則m+n的最大值為（ ）
A．1B．2C．233D．3
【解題思路】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)∠AOC=α，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到m,n與α的關(guān)系，進(jìn)而得到m+n關(guān)于α的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.
【解答過程】以O(shè)為原點(diǎn)?OA的方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則有OA=(2,0)，OB=(1,3).
設(shè)∠AOC=α，則OC=(2csα,2sinα).
由題意可知2m+n=2csα3n=2sinα
所以m+n=csα+33sinα=233sinα+π3.
因?yàn)棣痢?,π3，所以α+π3∈π3,2π3，
故m+n的最大值為233.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=(1,2),b=(?2,1).若(xa?b)//(a?xb)，則x=（ ）
A．?1B．0C．1D．2
【解題思路】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.
【解答過程】向量a=(1,2),b=(?2,1)，則xa?b=(x+2,2x?1)，a?xb=(1+2x,2?x)，
由(xa?b)//(a?xb)，得(x+2)?(2?x)=(2x?1)(1+2x)，即x2=1，解得x=±1，
所以x=?1或x=1.
故選：AC.
10．（2023·廣東梅州·三模）如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD∥AB，CD=12AB，E，F(xiàn)分別為DC，AE的中點(diǎn)，若AD=λAB+μBFλ,μ∈R，則（ ）

A．λ=72B．μ=2
C．λ=74D．μ=1
【解題思路】根據(jù)平行向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.
【解答過程】因?yàn)镃D∥AB，CD=12AB=2，所以AD=AE+ED=AE?14AB，
因?yàn)镕為AE的中點(diǎn)，所以AE=2AF=2AB+BF=2AB+2BF，
所以AD=2AB+2BF?14AB=74AB+2BF，所以λ=74，μ=2.
可知：AD錯(cuò)誤，BC正確.
故選：BC.
11．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，BM=λBE+μBD，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)M為線段AD上的中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=32
B．λμ的最大值為12
C．μ的取值范圍為0,1
D．λ+μ的取值范圍為12,2
【解題思路】以B為原點(diǎn)，BC,BA為x,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示條件，由此判斷各選項(xiàng).
【解答過程】以B為原點(diǎn)，BC,BA為x,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2，
則B0,0,E0,1,D2,2，
設(shè)Mt,2，則0≤t≤2，
因?yàn)锽M=λBE+μBD，所以t,2=λ0,1+μ2,2=2μ,λ+2μ，
所以2μ=t,λ+2μ=2，即λ=2?t,μ=t2，
對于選項(xiàng)A，因?yàn)镸為線段AD上的中點(diǎn)，所以t=1，故λ+μ=2?12=32，A正確；
對于選項(xiàng)B，λμ=2?tt2=t?12t2，0≤t≤2，當(dāng)t=1時(shí)，λμ取最大值為12，B正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?t2，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范圍為0,1，C正確；
對于選項(xiàng)D，λ+μ=2?t2，0≤t≤2，所以1≤λ+μ≤2，所以λ+μ的取值范圍為1,2，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·上?！つM預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，若將AB=a，AD=b作為平面向量的一個(gè)基，則向量AF可表示為 13b+23a （用a、b表示）.

【解題思路】先利用平行線的性質(zhì)求出AFEF，進(jìn)而利用向量的線性運(yùn)算求解即可.
【解答過程】由已知AD//BE，
則AFEF=ADBE=2，
所以AF=23AE，
所以AF=23AE=2312AD+AB=13b+23a.
故答案為：13b+23a.
13．（2024·陜西西安·二模）向量AB=(?3,6)，AC=(m,5)，CD=(?1,4)．若A,B,D三點(diǎn)共線，則m=
?72 ．
【解題思路】
根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【解答過程】由題意易得AD=AC+CD=m?1,9，
若A,B,D三點(diǎn)共線，則有AB//AD，所以?3×9=6m?1?m=?72.
故答案為：?72.
14．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE＝2CD．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，AP=λAB+μAE，則λ+μ的取值范圍為 0,4 ．
【解題思路】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，討論P(yáng)∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四種情況，即可求出λ+μ的取值范圍.
【解答過程】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：
則B1,0,E?2,1，所以AP=λAB+μAE=λ?2μ,μ，
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ?2μ≤1μ=0，即0≤λ≤1,μ=0，此時(shí)λ+μ的取值范圍為0,1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ?2μ=10≤μ≤1，即1≤λ+μ=λ?2μ+3μ=1+3μ≤4，此時(shí)λ+μ的取值范圍為1,4，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ?2μ≤1μ=1，即3≤λ+μ=λ?2μ+3μ=λ?2μ+3≤4，此時(shí)λ+μ的取值范圍為3,4，
當(dāng)P∈DA時(shí)，有λ?2μ=00≤μ≤1，即0≤λ+μ=λ?2μ+3μ=3μ≤3，此時(shí)λ+μ的取值范圍為0,3，
綜上所述，λ+μ的取值范圍為0,4.
故答案為：0,4.
四、解答題
15．（23-24高一下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知A0,1，B3,2，C?1,5．
(1)若AB?2AC=m,n，求m，n；
(2)若AD=2AB+4AC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解題思路】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得AB?2AC=5,?7，即可求解；
（2）設(shè)D x,y，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和AD=2AB+4AC建立關(guān)于x、y的方程組即可求解.
【解答過程】（1）依題意得AB=3,1，AC=?1,4，
則?2AC=2,?8，所以AB?2AC=5,?7，
所以m=5，n=?7．
（2）由（1）知2AB=6,2，4AC=?4,16，所以2AB+4AC=2,18．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,y，則AD=x,y?1，
因?yàn)锳D=2AB+4AC，所以x=2，y?1=18，
所以x=2，y=19，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,19．
16．（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=2a，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)M.
(1)用AD，AE表示BF；
(2)求線段AM的長.
【解題思路】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接可得解；
（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化法可得向量的模.
【解答過程】（1）由已知2AD=2DC=2CB=AB=2a，
且E為AB的中點(diǎn)，
則四邊形BCDE為平行四邊形，△ADE為等邊三角形，
即∠DAB=60°，
又F為AD的中點(diǎn)，
則BF=BA+AF=?2AE+12AD，
即BF=12AD?2AE；
（2）由已知B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
則AM=λAB+1?λAF=2λAE+1?λ2AD，
又因?yàn)镈，M，E三點(diǎn)共線，則有2λ+1?λ2=1，解得λ=13，
故有AM=23AE+13AD，
所以AM?=23AE?+13AD?2=73a.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量a=3,2，b=?1,2，c=4,1．
(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n；
(2)若a+kc//2b?a，求實(shí)數(shù)k．
【解題思路】（1）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量相等的條件，得方程組3=?m+4n2=2m+n，解出m，n即可；
（2）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.
【解答過程】（1）向量a=3,2，b=?1,2，c=4,1，
若a=mb+nc，則有3=?m+4n2=2m+n，解得m=59,n=89；
（2）a+kc=3+4k,2+k，2b?a=?5,2，
由a+kc//2b?a，則有23+4k=?52+k，解得k=?1613.
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如圖，在?ABCD中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF=2FB，G為DF與BE的交點(diǎn)．
(1)記向量AB=a，AD=b，試以向量a，b為基底表示BE，DF；
(2)若AC=mBE+nDF，求m，n的值；
(3)求證：A，G，H三點(diǎn)共線．
【解題思路】（1）根據(jù)向量的減法法則結(jié)合題意求解；
（2）對AC=mBE+nDF結(jié)合（1）化簡用a，b表示，而AC=a+b，然后列方程組可求得結(jié)果；
（3）設(shè)BG=λBE，DG=μDF，由AG=AB+BG，AG=AD+DG，用用a，b表示，列方程組求出λ,μ，從而可得AG=12AH，進(jìn)而證得結(jié)論.
【解答過程】（1）因?yàn)樵?ABCD中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF=2FB，
所以BE=AE?AB=12AD?AB=12b?a，
DF=AF?AD=23AB?AD=23a?b．
（2）由（1）知BE=12b?a，DF=23a?b，
所以AC=mBE+nDF=m12b?a+n23a?b=23n?ma+12m?nb，
因?yàn)锳C=a+b，所以23n?m=112m?n=1，解得m=?52n=?94；
（3）AH=AB+BH=a+12b，
設(shè)BG=λBE，DG=μDF，則
AG=AB+BG=a+λ12b?a=1?λa+12λb，
又AG=AD+DG=b+μ23a?b=23μa+1?μb，
所以23μ=1?λ1?μ=12λ，解得λ=12μ=34，所以AG=12a+14b，
∴AG=12a+12b=12AH，
∴AG∥AH，即A，G，H三點(diǎn)共線．
19．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2e1+e2,BE=?e1+λe2,EC=?2e1+e2，且A,E,C三點(diǎn)共線．
(1)求實(shí)數(shù)λ的值；
(2)若e1=2,1,e2=2,?2，求BC的坐標(biāo)；
(3)已知D3,5，在（2）的條件下，若A,B,C,D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【解題思路】（1）根據(jù)A,E,C三點(diǎn)共線，得AE=kEC，即可列等量關(guān)系求解，
（2）根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，
（3）根據(jù)向量相等即可列方程求解.
【解答過程】（1）AE=AB+BE=2e1+e2+?e1+λe2=e1+1+λe2．
因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得AE=kEC，
即e1+1+λe2=k?2e1+e2，得1+2ke1=k?1?λe2．
因?yàn)閑1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以1+2k=0k?1?λ=0，解得k=?12,λ=?32
（2）BE+EC=?3e1?12e2=?6,?3+?1,1=?7,?2．
（3）因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以AD=BC．
設(shè)Ax,y，則AD=3?x,5?y，
因?yàn)锽C=?7,?2，所以3?x=?75?y=?2，解得x=10y=7，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意義
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件
2022年全國乙卷（文數(shù)）：第3題，5分
2022年新高考全國I卷：第3題，5分
2023年天津卷：第14題，5分
2024年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分
2024年上海卷：第5題，5分
平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對向量的線性運(yùn)算法則、向量共線與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)行求解.
區(qū) 別
表示形
式不同
向量=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x,y)中間沒有等號(hào).
意義
不同
點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y).
聯(lián)系
向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.

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