人教版數(shù)學(xué)八上期末復(fù)習(xí)專題02 全等三角形中的六種模型梳理（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

類型一、倍長(zhǎng)中線模型
中線倍長(zhǎng)法：將中點(diǎn)處的線段延長(zhǎng)一倍。
目的： = 1 \* GB3 ①構(gòu)造出一組全等三角形； = 2 \* GB3 ②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。
例1．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過(guò)D作DE∥AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．
【理解與應(yīng)用】
如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．
【答案】[探究與發(fā)現(xiàn)]見(jiàn)解析；[理解與應(yīng)用]（1）見(jiàn)解析；（2）1＜x＜4
【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]
證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解與應(yīng)用]（1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)AE到F，使EF=EA，連接DF，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴ED=EC，
在△DEF與△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD與△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，
即x的取值范圍是1＜x＜4．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．

（1）求證；
（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【詳解】（1）如圖1所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，
在與中，，，，，，
在與中，,，，；

（2）如圖所示，，，
平分，，，
，，，作，
在與中，，，，，
在與中，，，，，，設(shè)，，，．

【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；
（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；
（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【詳解】證：（1）如圖所示，延長(zhǎng)AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，
∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，
在△ABD與△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，
在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；
（2）如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，
∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，
此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CQ于K點(diǎn)，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，∴；
（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，
∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，，∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，
此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CN于T點(diǎn)，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，∴．
【變式訓(xùn)練3】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．
（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長(zhǎng)度．
（3）若過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或
【詳解】（1）證明：如圖1，
直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，
又為邊中點(diǎn)，，
在和中，，，．
（2）解：如圖2，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，
直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，
，，，
又為中點(diǎn)，，
又，∴在和中，，，
，，，
∵，，，
，，，，
．
（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論
∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
∴，
①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，
由（1）可知，，即，，
，，
∵，．
②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，，，
又為邊中點(diǎn)，，
在和中，，，．
，即，，
，，
∵，．
③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)．
由（2）得：，，，
∴，即，
．
④當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)，
如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，，
，，
又為中點(diǎn)，，
又，∴在和中，，，
，，∴，即，
．
綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．
類型二、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型
截長(zhǎng)補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）
例．在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說(shuō)明MN＝BM+CN．
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？
答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM
【解析】(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，
∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM＝PN＝MN，
在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．
(2)解：一定成立，理由如下：延長(zhǎng)AC至H，使CH＝BM，連接PH，如圖所示，
由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，
在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，
∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，
在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，
故答案為：一定成立．
(3)解：在AC上截取CK＝BM，連接PK，如圖所示，
在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），
∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，
∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，
在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，
∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．
【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在直線、上，且．
(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、上時(shí)（如圖1），請(qǐng)說(shuō)明的理由．
(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)不成立，，見(jiàn)解析
【解析】(1)EF＝BE+DF，
理由：延長(zhǎng)EB至G，使BG＝DF，連接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；
(2)（1）中結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，連接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．
【變式訓(xùn)練2】（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．
思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．
方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；
方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．
結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．
（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析；（3）．
【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．
平分，．
在和中，，，，．
，．．，．
方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．
（或者：，）．
延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖2所示．
由（1）可知，．為等邊三角形．，．
，．．
，為等邊三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．
（或者：，）
解：連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【變式訓(xùn)練3】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）已知．
①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；
②如圖2，若，求的大?。?br>【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.5；（3）100°．
【解析】解：（1）、分別是與的角平分線，
，，，
（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，
由（1）得，
，，∴，
在與中，，∴（SAS）
∴，∴，∴，∴
在與中，，，，
，；∵，，∴
（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，
，∴，
在與中，，∴（SAS）∴，，
∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴，，
∴，
類型三、做平行線證明全等
例1．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．
求讓：
【答案】見(jiàn)詳解
【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，∵是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等邊三角形，∴BD=DE，
∵，∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴．
【變式訓(xùn)練1】 P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）證明：PD＝DQ．
（2）如圖2，過(guò)P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE＝3．
【詳解】（1）如圖1所示，點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F．
∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如圖2所示，過(guò)P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．

【變式訓(xùn)練2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請(qǐng)?zhí)骄浚?br>(1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由；
【答案】(1)DM=EM．理由見(jiàn)詳解；(2)成立，理由見(jiàn)詳解；(3)MD=ME．
【解析】(1)解：DM=EM；證明：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．
(2)解：成立；證明：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；
類型四、旋轉(zhuǎn)模型
例．如圖1，，，，、相交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：，并用含的式子表示的度數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，取，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，，，如圖2，判斷的形狀，并加以證明．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）為等腰直角三角形；證明見(jiàn)解析．
【詳解】證明：（1）如圖1，，
，，
在和中，，，；
，，
中，，,
，
中，；即；
（2）為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）可得，，
，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，，
，，
在和中，，，
，且，
又，，，為等腰直角三角形．
【變式訓(xùn)練1】四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．證明見(jiàn)解析；（3）．
【解析】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，
則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，
∴點(diǎn)Q在直線CA上，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；
（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，
則DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，
根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，
∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.8
【變式訓(xùn)練2】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：
①∠AEB的度數(shù)為 °；
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．
（2）拓展研究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn) A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）探究發(fā)現(xiàn)：
圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．
【答案】（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°
【詳解】解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
故答案為：60；
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；
（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，
∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；
（3）如圖3，
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠AOE=180°-120°=60°，
如圖4，
同理求得∠AOB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°．
【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．
（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．
【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析；（3）
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)， ∴PN∥BD，PN=BD，
∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)， ∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN，
∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大， ∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上， ∴BD=AB+AD=14， ∴PM=7，
∴S△PMN最大= PM2=×49=．
類型五、手拉手模型
例．在等邊中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接CF．
(1)如圖（1），點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連接AF．若，求AF的長(zhǎng)；
(2)如圖（2），點(diǎn)G在AC上且，求證：；
(3)如圖（3），，，連接AF．過(guò)點(diǎn)F作AF的垂線交AC于點(diǎn)P，連接BP、DP．將沿著B(niǎo)P翻折得到，連接QC．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，直接寫出的面積．
【答案】(1)AF=3；(2)見(jiàn)解析；(3)，詳見(jiàn)解析
【解析】(1)解：∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠CDF=60°，CD=CF，∴△DCF為等邊三角形，∴CD=CF，∠DCF=60°，
∴∠DCB=∠ACF，∴△BCD≌△ACF，∴AF=BD，
∵D為AB中點(diǎn)，AB=6，∴BD=3，∴AF=3．
(2)解：將CF繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得CH，連接CH，F(xiàn)H，EF，EH，CD，
在AC上截取AP=BE，連接DP，設(shè)CD交EH于M，
如圖所示，
由旋轉(zhuǎn)知，△DEF、△CFH為等邊三角形，
∴DF=EF，CF=FH，∠DFE=∠CFH=60°，∴∠DFC=∠EFH，∴△DCF≌△BHF，
∴EH=CD，∠DCF=∠EHF，
由三角形內(nèi)角和知，∠HMC+∠EHF=∠DCF+∠HFC，
∴∠HMC=∠HFC=60°，∴∠DCE+∠HEC=60°，
∵∠DCP+∠DCE=60°， ∴∠CEH=∠DCP，
∵AC=BC，AP=BE，∴CP=CE，∴△ECH≌△CPD，∴CH=DP，∠DPC=∠HCE，
又∠HCE=60°+∠2，∴∠DPC=60°+∠2，
由∠1+∠FCG=∠2+∠FCG=60°，知∠1=∠2，又∠AGD=60°+∠1，∴∠AGD=∠DPG， ∴DP=DG，
∵CH=CF，∴CF=DG．
(3)：過(guò)D作DH⊥CB于H，連接EF，如圖所示，
∵△ABC為等邊三角形，∴∠DBH=60°，∠BDH=30°，
∴BD=2BH，DH=，
∵BD=2CE，∴BH=CE，
設(shè)BH=CE=x，則BD=2x，EH=6－2x，AD=6－2x，
由旋轉(zhuǎn)知，△DEF為等邊三角形，∠EDF=60°，∴∠1+∠3=90°，DE=DF，
又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF≌△HED，
∴∠DAF=∠DHE=90°，∠PAF=30°，AF=DH=，
∵∠AFP=90°，∴PF=x，AP=2x，
過(guò)P作PM⊥AD于M，則AM=x，DM=6－3x，PM=，
在Rt△PDM中，由勾股定理得：PD=，
故△ADP周長(zhǎng)=AD+AP+PD=6－2x+2x+=6+，
∴當(dāng)x=時(shí)，周長(zhǎng)取最小值，最小值為9，此時(shí)DP=3，
∴BD=AP=3，即D為AB中點(diǎn)，P為AC中點(diǎn)，
∴直線BP是等邊△ABC對(duì)稱軸，
如圖所示，△BDP沿BP折疊后，Q點(diǎn)落在BC中點(diǎn)處，
則△PCQ面積=×△ABC面積=××=．
【變式訓(xùn)練1】△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．
①求證：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度數(shù)．
(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請(qǐng)求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長(zhǎng)線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由見(jiàn)解析；(3)α=60°，證明見(jiàn)解析
【解析】(1)①證明：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE為等邊三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)解：α=60°，理由如下：
同理可證△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，
而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．
【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問(wèn)的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△ABD全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請(qǐng)你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；
【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．
【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【詳解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5，
∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴，
∴ ．
（3）如圖，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，
把△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，
則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，
∴CD＝DE＝8．
【變式訓(xùn)練3】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請(qǐng)判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）解決問(wèn)題：
如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為_(kāi)_________．（請(qǐng)用含的式子表示）
【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）
【詳解】（1）∵和均為等腰直角三角形，，
∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°
∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE，∴∠AEB=90°
故答案為：90°，AD＝BE
AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，
設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α
∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α
∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°
∴AD⊥BE
（3）如圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)G，
∵和均為等腰三角形，∴，，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD
∵，∴∠CBA=∠CAB =
∴∠GAB+∠GBA=，
∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ，即直線和的夾角為．
故答案為：．
類型六、一線三角模型
例.在中，，，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且于D，于E．
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：
①≌；
②；
(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析
(3)（或者對(duì)其恒等變形得到，），證明見(jiàn)解析
【解析】(1)解：①，，，
，，，
在和中，；
②，，，；
(2)證明：，，，，
在和中，；，，
；
(3)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，，，所滿足的等量關(guān)系是：或或．
理由如下：，，
，
，
在和中，
，
，，
（或者對(duì)其恒等變形得到或）．
【變式訓(xùn)練1】【問(wèn)題解決】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；
【類比探究】
（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°

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