1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“幾何圖形初步”4.3.3 余角和補(bǔ)角，內(nèi)容包括：余角、補(bǔ)角的概念；余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題；用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.內(nèi)容解析
余角和補(bǔ)角是新人教版七年級(jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》這一章中兩個(gè)比較重要的基本概念.前面學(xué)生對(duì)角的度量和大小比較的學(xué)習(xí)已經(jīng)為學(xué)習(xí)角和補(bǔ)角打下了一定的基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)的探索，讓學(xué)生初步了解學(xué)習(xí)運(yùn)用幾何語(yǔ)言分析和解決問(wèn)題“簡(jiǎn)單說(shuō)理”，為以后證明角的相等提供依據(jù)和方法，是以后學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：認(rèn)識(shí)角的互余、互補(bǔ)關(guān)系及其性質(zhì).
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
(1)了解余角、補(bǔ)角的概念.
(2)掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.
(3)了解方位角的概念，初步掌握方位角的判別；并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.目標(biāo)解析
學(xué)生掌握兩個(gè)角互為余角和互為補(bǔ)角的概念，理解互余與互補(bǔ)的角的性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用；學(xué)生初步接觸和體會(huì)演繹推理的方法和表述，并且能用簡(jiǎn)單的代數(shù)思想一方程思想來(lái)處理圖形的數(shù)量關(guān)系；通過(guò)探索互余、互補(bǔ)角的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于合作、勇于探究的精神.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
七年級(jí)學(xué)生，童稚未盡.小學(xué)的學(xué)習(xí)方法、思維方式還占主要地位.以形象思維為主，還沒(méi)有形成抽象思維，尤其是知識(shí)遷移能力不強(qiáng)，推理能力還需進(jìn)一步培養(yǎng).因此學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，一定要讓他們多動(dòng)手，多看圖，多討論.在討論交流中學(xué)習(xí)知識(shí).
基于以上學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：通過(guò)簡(jiǎn)單的推理，歸納出余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，并能用規(guī)范的語(yǔ)言描述性質(zhì).
四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
（一）情境引入
如圖，要測(cè)量?jī)啥聡鷫λ纬傻摹螦OB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測(cè)量？畫(huà)出圖形，并簡(jiǎn)述你的測(cè)量方法.
（二）自學(xué)導(dǎo)航
求下列各圖中的兩個(gè)角的和，并根據(jù)這些和把這四個(gè)圖分成兩組. 你是怎么分的？每一組中的兩個(gè)角的和有什么共同的特點(diǎn)？
(2)(4)為一組，它們的和都是90°，(1)(3)為一組，它們的和都是180°.
【歸納】
一般地，如圖(1)，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.
類似地，如圖(2)，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.
在一副三角板中，每塊都有一個(gè)角是90°，那么另外兩個(gè)銳角之和是多少度呢？這兩個(gè)銳角之間有什么關(guān)系？
30°＋60°＝90°(互余)，45°＋45°＝90°(互余).
圖中給出的各角，哪些互為余角？
圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？
（三）合作探究
思考1：
觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.
思考2：(1) 若∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？
(2) 若∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，且∠1=∠3，那么∠2與∠4的大小有什么關(guān)系？
(1) 因?yàn)?∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，
所以 ∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1
所以 ∠2=∠3
(2) 因?yàn)?∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)
所以 ∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3
因?yàn)?∠1=∠3
所以 ∠2=∠4
【歸納】補(bǔ)角的性質(zhì)：同角(等角)的補(bǔ)角相等.余角的性質(zhì)：同角(等角)的余角相等.
（四）考點(diǎn)解析
例1.已知∠α的余角是它補(bǔ)角的，求∠α的度數(shù).
解：∠α 的余角為90°-∠α，補(bǔ)角為180°-∠ α.
根據(jù)題意，得90°-∠ α =( 180°-∠ α)，
解得∠α =67.5°.
【遷移應(yīng)用】
1.若∠α =29°45′，則∠α的余角等于( )
A.60°55′ B.60°15′ C.150°55′ D.150°15′
2.已知∠1與∠2互余，∠1=(7x-2)°，∠2=(3x+2)°，則x的值是_____.
3.一個(gè)銳角的補(bǔ)角等于這個(gè)銳角的余角的3倍，求這個(gè)銳角的度數(shù).
解：設(shè)這個(gè)銳角的度數(shù)為x°.
根據(jù)題意，得180-x=3(90-x) ，
解得x=45.
故這個(gè)銳角的度數(shù)為45°.
例2.(1)如圖①,∠AOB=∠COD=90°,∠1與∠2相等嗎？為什么？
(2)如圖②，直線MN與PQ相交于點(diǎn)E,∠1與∠2相等嗎？為什么？
解：(1)相等.理由如下：
因?yàn)椤螩OD=90°，
所以∠2+∠BOC=90°.
因?yàn)椤螦OB=90°,
所以∠1+∠BOC=90°.
所以∠1=∠2.
(2)相等.理由如下：
因?yàn)辄c(diǎn)M,E,N在同一條直線上，
所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN=180°.
因?yàn)辄c(diǎn)P,E,Q在同一條直線上，
所以∠PEQ=180°，即∠1+∠PEN=180°.
所以∠1=∠2.
【遷移應(yīng)用】
1.已知∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，且∠1=∠3，那么( )
A.∠2＞∠4 B.∠2＜∠4 C.∠2=∠4 D.∠2與∠4的大小不確定
2.如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)三角板，則與∠AOD始終相等的角是( )
A.∠BOD B.∠ABO C.∠BOC D.∠BAO
3.如圖，D是直線EF上一點(diǎn)，∠CDE=90°，∠1=∠2，哪些角互為余角？哪些角互為補(bǔ)角？
解：∠1與∠ADC，∠l與∠BDC，∠2與∠BDC，∠2與∠ADC互為余角；
∠l與∠ADF，∠l與∠BDE，∠2與∠ADF，∠2與∠BDE，∠CDE與∠CDF互為補(bǔ)角.
例3.∠l，∠2互為補(bǔ)角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是( ).
A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90° D.90°-∠1
【遷移應(yīng)用】
1.如圖，0是直線AB上一點(diǎn)，0E平分∠AOB，∠COD=90°，則圖中互余、互補(bǔ)的角各有( )
A.3對(duì)、3對(duì) B.4對(duì)、7對(duì) C.4對(duì)、4對(duì) D.4對(duì)、5對(duì)
2.若∠α和∠β互補(bǔ)，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子：①90°-∠β；②∠α-90°；③(∠α+∠β)；④(∠α-∠β).其中正確的有( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
例4.如圖，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，OE,OF分別為∠AOB和∠COD的平分線，且∠AOD=130°.
(1)求∠BOC的度數(shù)；(2)求∠EOF的度數(shù).
解：(1)因?yàn)椤螦OB和∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB+∠BOC=90°,∠COD+∠BOC=90°，
所以(∠AOB+∠BOC+∠COD)+∠BOC=180°,
即∠AOD+∠BOC=180°.
因?yàn)椤螦OD=130°，
所以∠BOC=180°-∠AOD=50°.
(2)因?yàn)椤螦OB和∠COD都是∠BOC的余角，∠BOC= 50°，
所以∠AOB=∠COD=40°.
因?yàn)镺E,OF分別是∠AOB,∠COD的平分線，
所以∠AOE=∠AOB=20°,∠DOF=∠COD=20°，
所以∠EOF=∠AOD-∠AOE-∠DOF=130°-20°- 20°= 90°.
【遷移應(yīng)用】
1.如圖，∠AOB和∠AOD分別是∠AOC的余角和補(bǔ)角，且OC是∠BOD的平分線，求∠COD的度數(shù).
解：設(shè)∠AOB=x°.
因?yàn)椤螦OB是∠AOC的余角，所以∠AOC= (90-x)°.
因?yàn)椤螦OD是∠AOC的補(bǔ)角，
所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-( 90-x)°=(90+x)°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=(90+x)°-(90-x)°=(2x)°,
∠BOC=∠AOC-∠AOB=(90-x)°-x°=(90-2x)°.
因?yàn)镺C是∠BOD的平分線，
所以∠COD=∠BOC,
所以2x=90-2x,
解得x=.所以∠COD=2x=45°.
2.如圖，0D平分∠BOC, OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=70°，∠AOC=50°.
①求∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；
②求∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，說(shuō)明理由.
(2)若∠BOC=α,∠AOC=β，則∠DOE 與∠AOB是否互補(bǔ)？說(shuō)明理由.
解：(1)①∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，∠AOB的補(bǔ)角為180°-∠AOB=60°.
②∠DOC=35°，∠AOE=25°，∠DOE與∠AOB互補(bǔ).理由如下：
因?yàn)镺D平分∠BOC,OE平分∠AOC,∠BOC=70°，∠AOC=50°，
所以∠DOC=∠BOC=35°，∠COE=∠AOC=25°.
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°.
由①知∠AOB=120°，
所以∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°.
所以∠DOE與∠AOB互補(bǔ).
(2)∠DOE與∠AOB不一定互補(bǔ).理由如下：
由題意，得∠DOC=∠BOC=α,∠COE=∠AOC=β，
∠AOB=∠BOC+∠AOC=α+β，
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=α+β=(α+β)
所以∠DOE+∠AOB=(α+β)+(α+β)=(α+β).
因?yàn)棣?β的度數(shù)不確定，
所以∠DOE與∠AOB不一定互補(bǔ).
（五）自學(xué)導(dǎo)航
方位角
1.正東、正南、正西、正北分別是射線OA、OB、OC、OD
2.東南方向是射線OG，東北方向是射線OH，西南方向是射線OF，西北方向是射線OE.
3.東南方向(__________)，東北方向(__________)， 西南方向(__________)，西北方向(__________).
4.射線OA表示的方向是：___________；射線OB表示的方向是：___________；射線OC表示的方向是：___________；射線OD表示的方向是：___________.
（六）考點(diǎn)解析
例5.如圖，指出0A是表示什么方向的一條射線？仿照這條射線畫(huà)出表示下列方向的射線：
(1)射線OB：南偏東25°；
(2)射線OC：南偏西60°；
(3)射線OD：西北方向.
解：射線0A表示北偏東30°方向.
(1)射線OB如圖所示.
(2)射線OC如圖所示.
(3)射線0D如圖所示.
【遷移應(yīng)用】
1.如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A.OA的方向是東北方向
B.OB的方向是北偏西30°
C.OC的方向是南偏西60°
D.OD的方向是南偏東30°
2.海面上貨輪A在客輪B的北偏東68°方向上，則客輪B在貨輪A的( )方向上.
A.北偏東68° B.南偏西68° C.北偏東22° D.南偏西22°
3.如圖，已知射線OA與射線OB的夾角為90°， 射線0A表示北偏西25°的方向，則射線OB表示的方向?yàn)開(kāi)_____________.
例6.元元家有一張某市城區(qū)地圖(如圖①)，上面標(biāo)有醫(yī)院、書(shū)店、少年宮三地.元元不小心把墨水灑到了地圖上，少年宮的具體位置看不清楚了，只知道少年宮在醫(yī)院的南偏東55°的方向上，在書(shū)店的北偏東30°的方向上.根據(jù)以上信息，你能幫元元確定出少年宮的位置嗎？畫(huà)圖說(shuō)明.
解：如圖②所示，點(diǎn)A為少年宮的位置.
【遷移應(yīng)用】
如圖，點(diǎn)O是學(xué)校所在位置，A村位于學(xué)校南偏東42°方向上，B村位于學(xué)校北偏東25°方向上，C村位于學(xué)校北偏西65°方向上，在B村和C村之間有一條公路OE(射線)平分∠BOC.
(1)求∠AOE的度數(shù).
(2)公路OE上的車站D相對(duì)于學(xué)校0的方位是什么？
(以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn))
解：如圖.
(1)因?yàn)锳村位于學(xué)校南偏東42°方向上，
所以∠1=42°.
因?yàn)锽村位于學(xué)校北偏東25°方向上，
所以∠4=25°.
所以∠AOB=180°-∠1-∠4=113°.
因?yàn)镃村位于學(xué)校北偏西65°方向上，
所以∠COM=65°.
所以∠BOC=∠COM+∠4=65°+25°=90°.
因?yàn)镺E平分∠BOC,
所以∠BOE=∠COE=∠BOC=45°.
所以∠AOE=∠AOB+∠BOE=113°+45°=158°.
(2)∠EOM=∠BOE-∠4=45°-25°= 20°,
所以車站D在學(xué)校的北偏西20°方向上.
五、教學(xué)反思

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4.3.3 余角和補(bǔ)角

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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