模型一　A字型模型構(gòu)建　
1.(2024邵陽新寧校級模擬)如圖所示,在△ABC中,D是AC上的一點(diǎn),過點(diǎn)D作 DE∥BC,交AB于點(diǎn)E,作DF∥AB,交BC于點(diǎn)F,若DE=2CF,AB=12,則BE=　 　.?
2.(2024婁底雙峰模擬)如圖所示,要得到△ABC∽△ACD,需要補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是 　(只需要填寫一個(gè)即可).?
3.(2024岳陽縣一模)如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,如果AD∶AC=3∶5,∠ADE=∠C,那么△ADE與四邊形BCED的面積之比是　 　.
4.(2024長沙模擬)如圖所示,D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn),連接BD,已知∠ADB=∠ABC.(1)求證:△ABD∽△ACB;(2)若AB=6,AC=8,求線段CD的長.
(1)證明:∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB.
模型二　8字型模型構(gòu)建　
5.(2024衡陽蒸湘區(qū)一模)如圖所示,在菱形ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn),AE,BD交于點(diǎn)O,若S△DOE∶S△BOA=4∶9,則DE∶AD等于( )A.4∶9B.2∶3C.1∶3D.3∶2
模型三　一線三等角型模型構(gòu)建　
8.(2024郴州嘉禾校級二模)一塊直角三角尺ABC按如圖所示放置,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (0,1),直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),∠B=30°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　.?
9.[感知]如圖(1)所示,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),∠A=∠B=∠DPC=90°.易證△DAP∽△PBC(不要求證明).[探究]如圖(2)所示,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),∠A=∠B=∠DPC.(1)求證:△DAP∽△PBC.
[探究](1)證明:∵∠DPB=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP.∵∠A=∠DPC,∴∠ADP=∠CPB.∵∠A=∠B,∴△DAP∽△PBC.
(2)若PD=5,PC=10,BC=9,求AP的長.
[應(yīng)用]如圖(3)所示,在△ABC中,AC=BC=4,AB=6.點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),連接CP,作∠CPE=∠A,PE與邊BC交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3EB時(shí),求AP的長.
模型四　“手拉手”模型模型構(gòu)建　
10.如圖所示,在等腰三角形ABC中,BA=BC,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B,C),連接AM,以AM為邊作等腰三角形AMN,使頂角∠AMN=∠ABC.連接CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
11.(2024衡陽期末)問題背景:如圖(1)所示,已知△ABC∽△ADE,求證:△ABD∽△ACE;

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