模型一　平移型(含平移+旋轉(zhuǎn)模型)模型構(gòu)建　圖示:
1.(2024長沙一中岳麓中學(xué)模擬)如圖所示,A,D,B,E四點在同一條直線上,AD=BE,BC∥EF,BC=EF.(1)求證:AC=DF;
(1)證明:∵AD=BE,∴AB=DE.∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF.∵AB=DE,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(SAS).∴AC=DF.
(2)若CD為∠ACB的平分線,∠A=25°,∠E=71°,求∠CDF的度數(shù).
(2)解:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠E=71°,∠A=∠FDE=25°.∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=84°.∵CD為∠ACB的平分線,∴∠ACD=42°=∠BCD.∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠EDF,∴∠CDF=42°.
2.如圖所示,點A,B,C,D在同一條直線上,點E,F分別在直線AB的兩側(cè),且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.(1)求證:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的長.
(2)解:由(1)知△ACE≌△BDF,∴BD=AC=2.∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.故CD的長為4.
模型二　軸對稱型模型構(gòu)建　圖示:
3.如圖所示,已知AB⊥BC于點B,DC⊥BC于點C,∠A=∠D.求證:AB=DC.
4.(2024長沙望城區(qū)一模)如圖所示,BD⊥AC于點D,CE⊥AB于點E,BE=CD,BD與CE交于點O.(1)求證:△COD≌△BOE;
(2)若CD=2,AE=5,求AC的長.
模型三　一線三等角(含三垂直)型(K型)模型構(gòu)建　 圖示:
5.如圖所示,四邊形ABCD為平行四邊形,AB=6,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,AB上,且DE=EF,∠DEF=120°,若CE=2,則四邊形ABCD的面積為　 　.?
6.(1)如圖(1)所示,點B,C在∠MAN的邊AM,AN上,點E,F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1,∠2分別是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF.
(1)證明:∵∠1=∠2=∠BAC,且∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠FAC+∠FCA,∠BAC=∠BAE+∠FAC,∴∠BAE=∠FCA,∠ABE=∠FAC.∵AB=AC,∴△ABE≌△CAF(ASA).
(2)如圖(2)所示,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,點D在邊BC上,且CD=2BD,點E,F在線段AD上.若∠1=∠2=∠BAC,△ABC的面積為15,求△ABE與△CDF的面積之和.
(2)解:∵∠1=∠2=∠BAC,且∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠FAC+∠FCA,∠BAC=∠BAE+∠FAC,∴∠BAE=∠FCA,∠ABE=∠FAC.∵AB=AC,∴△ABE≌△CAF(ASA).∴S△ABE=S△CAF.∵CD=2BD,△ABC的面積為15,∴S△ACD=10=S△ABE+S△CDF.∴△ABE與△CDF的面積之和為10.
模型四　“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn))模型構(gòu)建　圖示:
7.(2024云南)如圖所示,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求證:△ABC≌△AED.
8.如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,BF與CE相交于點M.求證:(1)EC=BF;
證明:(2)由(1)知,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF.如圖所示,設(shè)EC與AB交于點D.∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°.∴∠AEC+∠ADE=90°.∵∠ADE=∠BDM,∴∠ABF+∠BDM=90°.在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°.∴EC⊥BF.
9.在△ABC中,AC=BC;在△DEC中,DC=EC;∠ACB=∠DCE=α,點A,D,E在同一直線上,AE與BC相交于點F,連接BE.(1)如圖(1)所示,當(dāng)α=60°時,①請寫出△ABC和△DEC的形狀;
(1)①解:∵AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,∴△ABC和△DEC均為等邊三角形.
③請求出∠AEB的度數(shù).
(1)③解:∵△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=120°.又∵∠CED=60°,∴∠AEB=120°-60°=60°.
(2)如圖(2)所示,當(dāng)α=90°時,①請求出∠AEB的度數(shù);
②若∠CAF=∠BAF,BE=2,求線段AF的長.
(2)解:②∵△ACD≌△BCE,∴BE=AD=2.∵∠CAF=∠BAF=22.5°,∠CDE=45°=∠CAD+∠ACD,∴∠ACD=∠CAD=22.5°.∴AD=CD=2.∵∠DCF=90°-∠ACD=67.5°,∠AFC=∠ABC+∠BAF=67.5°,∴∠DCF=∠AFC.∴DC=DF=2.∴AF=AD+DF=4.
模型五　“半角”模型模型構(gòu)建　
10.如圖所示,△ABC是邊長為3的等邊三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D為頂點作一個60°角,使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,則△AMN的周長為( )A.5B.6C.7D.8

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