
1.定義:存在兩個(gè)角度是一半關(guān)系,并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn),這樣的幾何模型稱為半角模型.2.方法:半角模型在初中幾何中很常見,在四邊形、三角形以及其他圖形中都可以出現(xiàn),思路一般是通過先旋轉(zhuǎn)全等,再軸對(duì)稱全等,證明線段和差關(guān)系.3.常見的半角模型:90°含45°,120°含60°.
結(jié)論:△OEF'≌△OEF.
建立模型:如圖②,連接FB,將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△F'OA的位置,使得OB的對(duì)應(yīng)邊與OA重合,連接F'E,F(xiàn)E.
·? ?可視化思維·
↓由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得進(jìn)一步結(jié)論
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得進(jìn)一步結(jié)論
由勾股定理及線段的和差關(guān)系求解
1.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P為AB上的點(diǎn),Q為AD上的點(diǎn),且△APQ的周長(zhǎng)為2,則∠PCQ的度數(shù)為? 45° ?.
2.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=3,PC=2,PB=1,則∠BPC=? 135° ?.
證明:如圖,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABF',使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得AF'=AF,∠ABF'=∠D=90°,
∴F',B,E三點(diǎn)在同一條直線上.
∵∠F'AB=∠FAD,
∴∠F'AE=∠EAF.
∴△F'AE≌△FAE(SAS),∴F'E=FE.
∴EF=BE+BF'=BE+DF.
4.(1)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使得DG=BE,連接AG.先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是? EF=BE+FD ?;
(2)探索延伸:如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠BAD=2∠EAF,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.
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