1. 已知集合， 則________
【正確答案】
【分析】根據(jù)交集運算求解.
【詳解】因為，
所以，
故
2. 不等式的解集是___________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)絕對值的意義直接求解即可.
【詳解】,
,
解得，
所以不等式的解集為.
故
3. 已知，（其中為虛數(shù)單位），則________.
【正確答案】##
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加法求即可.
【詳解】由題設(shè)，.
故
4. 已知二項式展開式中，項的系數(shù)為80，則______.
【正確答案】2
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，將項的系數(shù)表達(dá)式求出等于 ，
再求解關(guān)于的方程即可．
【詳解】的展開式的通項為，
令，得，
則項的系數(shù)，解得；
故．
5. 已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，m的平均數(shù)是8，則這組數(shù)據(jù)的方差是______.
【正確答案】2
【分析】由一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，m的平均數(shù)是8，先求出m=10，由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差.
【詳解】∵一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，m的平均數(shù)是8，
∴，解得m=10，
∴這組數(shù)據(jù)的方差S2= [（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2.
故2
本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平均數(shù)、方差計算公式的合理運用.
6. 若數(shù)列為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則_______．
【正確答案】189
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前項和公式計算即得.
【詳解】由數(shù)列為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，得.
故189
7. 某船在海平面A處測得燈塔B在北偏東方向，與A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海里到達(dá)C處，這時燈塔B與船相距____海里．（精確到0.1海里）
【正確答案】4.2
【詳解】由余弦定理得燈塔B與船相距
8. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為________.
【正確答案】
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)求出，再解不等式即可.
【詳解】由函數(shù)（x∈R）為偶函數(shù)，
則，即，
解得，
此時，
因為，
所以函數(shù)fx是偶函數(shù)，符合題意，
由即，即，
解得且，
所以不等式的解集為.
故
9. 在中，三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若的面積，，，則______.
【正確答案】
【分析】由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡, 由的范圍特殊角的三角函數(shù)值求出，代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 變形后整體代入求出的值.
【詳解】由可得
在中，由正弦定理得：
由得，
由得
得
∴由余弦定理得
解得，
故答案為.
10. 雙曲線的右焦點為，點的坐標(biāo)為，點為雙曲線左支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的離心率為__________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)的周長為，結(jié)合雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化為，當(dāng)三點共線時，周長l取得最小值求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，又，
所以的周長為，
由雙曲線的定義得，即，即，
當(dāng)三點共線時，周長l取得最小值，此時，
所以，解得，所以.
故
關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線的定義以及幾何性質(zhì)，理解三點共線時兩線段距離和取得最小值是解題的關(guān)鍵，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
11. 已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_____________．
【正確答案】
【分析】把條件的二次方程分解成兩個向量的積，得到這兩個向量互相垂直，結(jié)合圖形確定的最小值.
【詳解】如下圖所示，設(shè)
且
點B在以F為圓心，DE為直徑的圓上
又
當(dāng)點B為圓F和線段FA的交點的時候，最短
故
12. 已知定義在R上的函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，對任意的實數(shù)x，都有，且當(dāng)時， 恒成立， 若不等式恒成立， 則實數(shù)a的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的奇偶性求解不等式即可得答案.
【詳解】由，得，
記，則有，即為偶函數(shù)，
又當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
由，得，
于是，即，
因此，即，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故
關(guān)鍵點點睛：變形給定等式，構(gòu)造函數(shù)并探討函數(shù)性質(zhì)是求解不等式的關(guān)鍵.
二、選擇題(本大題共4題， 第13、14題每題4分，第15、16題每題5分， 共18分)
13. 若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用作差法可判斷各選項中不等式的正誤.
【詳解】因為，則，故，A對B錯；
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，CD都錯.
故選：A.
14. 設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)兩直線平行列出方程，求出：或1，驗證后均符合要求，從而得到“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.
【詳解】當(dāng)時，與的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直線與直線平行”，則滿足，
解得：或1，經(jīng)驗證，：或1時，兩直線不重合，故：或1，兩直線平行，故必要性不成立.
故選：A
15. 設(shè){an}是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【正確答案】C
【詳解】先分析四個答案，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，，而，B錯誤，
D選項，故D錯，
下面針對C進(jìn)行研究，{an}等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項均為正，由于，則，
故選C.
考點：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重 點是對知識本質(zhì)的考查.
16. 在正方體中，點P，Q分別是線段上的點（不為端點），給出如下兩個命題：
①對任意點P，均存在點Q，使得；
②存在點P，對任意的Q，均有，則（ ）
A. ①②均正確B. ①②均不正確
C. ①正確，②不正確D. ①不正確，②正確
【正確答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來確定正確答案.
【詳解】設(shè)正方體的邊長為，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，，
設(shè)，，，
①
，所以與不垂直，①錯誤
②
，令，解得.
所以對任意的，存在，使得，此時是的中點，②正確.
故選：D
三、解答題(本大題共5題， 共14+14+14+18+18=78分)
17. 如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.

（1）求證：；
（2）若，求異面直線與所成的角的大小.
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）.
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.
（2）分別取的中點，利用幾何法求出異面直線與所成的角.
【小問1詳解】
在三棱錐中，由為的中點，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
【小問2詳解】
分別取的中點，連接，于是，
則是異面直線與所成的角或其補角，

由（1）知，，又，，
則，于是，
令，則，又，
則有，
，又平面，平面，
則，，，
由分別為的中點，得，
顯然，即有，，則，
所以異面直線與所成角的大小.
18. 設(shè)，函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，求的值．
【正確答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意利用二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式，化簡得 ．再由三角函數(shù)的周期公式與正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式加以計算，可得函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù) 算出，從而得出．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行“弦化切”，可得所求分式的值．
【詳解】（1）
，
所以，函數(shù)最小正周期為．
由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）由題意，，，
所以，．
所以，．
本題考查型函數(shù)最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．
19. 已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.
（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.
【正確答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．
【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．
（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．
詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，
由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，
因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，隨機變量X的分布列為
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．
（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；
事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，
則A=B∪C，且B與C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A發(fā)生的概率為．
點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．
20. 設(shè)常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F(2,0)，直線l：x=t，曲線：，與x軸交于點A、與交于點B．P、Q分別是曲線與線段AB上的動點．
（1）用t表示點B到點F距離；
（2）設(shè)，，線段OQ的中點在直線FP上，求的面積；
（3）設(shè)t=8，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在上？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【正確答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）方法一：設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式求解出的值，
方法二：根據(jù)拋物線的定義，即可求得的值；
（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得點坐標(biāo)，即可求得的中點坐標(biāo)，即可求得直線的方程，代入拋物線方程，即可求得點坐標(biāo)，則的面積可求；
（3）設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)求得直線的方程和點坐標(biāo)，再根據(jù)求得點坐標(biāo)，則根據(jù)可求得點坐標(biāo).
【詳解】解：（1）方法一：由題意可知：設(shè)，則，∴；
法二：由題意設(shè)，由拋物線的性質(zhì)可知：，∴；
（2），，，，則，
∴，∴，設(shè)的中點，
∴，，則直線方程：，
聯(lián)立，整理得：，解得：，（舍去），
∴的面積；
（3）存在，設(shè)，，則且，∴，
直線方程為，∴，，
又因為四邊形為矩形，所以，則，
∴，解得：，即，
∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上，且．
關(guān)鍵點點睛：解答本題第三問的關(guān)鍵在于利用矩形的兩個特點去分析問題：（1），由此可知，利用坐標(biāo)完成計算；（2）平行四邊形法則，由此可知向量關(guān)系式.
21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng) 時， 求的嚴(yán)格增區(qū)間;
（2）若恒成立，求a的值；
（3）對于任意正整數(shù)n，是否存在整數(shù)m，使得不等式成立?若存在，請求出m的最小值； 若不存在，請說明理由.
【正確答案】（1）；
（2）1 （3）存在，3.
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的嚴(yán)格增區(qū)間.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可.
（3）由（2）可得不等式，再賦值并利用不等式性質(zhì)，結(jié)合放縮法求出的范圍即可得的最小值.
【小問1詳解】
當(dāng)時，函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，
由，得，
所以的嚴(yán)格增區(qū)間為.
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，由，得，，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
由恒成立，得恒成立，令，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，所以.
【小問3詳解】
由（2）知當(dāng)時，，即，
則恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)，時，，
因此，
則，即，
當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，
所以存在正整數(shù)，對于任意正整數(shù)，恒成立，
則的最小值為3.
關(guān)鍵點點睛：用對數(shù)切線不等式將放縮成等比數(shù)列的和是這題的關(guān)鍵.X
0
1
2
3
P

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