一、單選題（共8小題，每小題5分）
1. 集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求出集合，，再根據(jù)交集的定義求解即可．
【詳解】由，
，
則，
即，
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.
【詳解】，，因此，.
故選：B.
【點睛】本題考查集合的運算，考查邏輯推理和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知直線l經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線l的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直得直線斜率，再由點斜式寫出直線方程，化簡即得．
【詳解】直線的斜率為，直線與之垂直，則，
又過點，所以直線方程為，即．
故選：A．
4. 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且，則S13=（ ）
A. 78B. 91C. 39D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列基本量的運算可得，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求解即可.
【詳解】因為，則，.
故選：A
5. 若、且，則下列不等式中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可判斷各選項的正誤.
【詳解】因為、且，由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，AB均錯；
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C錯；
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D對.
故選：D.
6. 若向量的夾角為，，若，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由兩邊平方得，結(jié)合條件可得，又由，可得，即可得出答案.
【詳解】由兩邊平方得.
即，也即，所以.
又由，得，即.
所以
故選：A
【點睛】本題考查數(shù)量積的運算性質(zhì)和根據(jù)向量垂直求參數(shù)的值，屬于中檔題.
7. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 它的最小值為B. 它的最大值為2
C. 它的圖象關(guān)于直線對稱D. 它的圖象關(guān)于點對稱
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各個選項，得到正確結(jié)果.
【詳解】，
函數(shù)的最小值為1，最大值為3，故A，B錯誤；
由，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；
由得，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故D錯誤.
故選：C．
8. 設(shè)橢圓（）的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點坐標(biāo)，Q點坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒
【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接Q，
∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過F(－c，0)，Q過(c，0)，
則，
由，
∵Q在橢圓上，∴，又，解得，
∴離心率．
故選：D．
二、多選題（共3小題，每小題6分）
9. 年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立周年.為慶祝建團周年，某中學(xué)全體學(xué)生參加了主題為“賡續(xù)紅色血脈·爭當(dāng)青春先鋒”的知識競賽，隨機抽取了若干名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在分至分之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 直方圖中的值為
B. 成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生最多
C. 估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)榉?br>D. 估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為分
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)頻率和為可知A正確；根據(jù)頻率分布直方圖可知成績在區(qū)間的學(xué)生對應(yīng)頻率最大，知B正確；利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的額方法可知C正確；利用頻率分布直方圖估計百分位數(shù)的方法可知D錯誤.
【詳解】對于A，，，A正確；
對于B，成績在區(qū)間的學(xué)生對應(yīng)頻率最大，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生最多，B正確；
對于C，平均成績?yōu)?，C正確；
對于D，分位數(shù)約為，D錯誤.
故選：ABC.
10. 如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，下列選項正確的是（ ）

A.
B. 平面
C. 的面積與的面積相等
D. 三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正方體性質(zhì)得線面垂直，線面平行，點到平面的距離，由體積公式確定三棱錐體積，從而判斷各選項．
【詳解】由正方體的性質(zhì)平面,平面,則，又，，平面，所以平面，平面，則，A正確；
由正方體的性質(zhì)知平面，即平面，B正確；
由正方體性質(zhì)得A到直線的距離為，而到直線的距離為，兩個三角形面積不相等，C錯；
，而A到平面的距離即到平面的距離，為，因此為定值，D正確，
故選：ABD．
11. 拋物線的焦點為、為其上一動點，當(dāng)運動到時，，直線與拋物線相交于、兩點，點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的方程為
B. 的最小值為4
C. 當(dāng)直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切
D. 存在直線，使得兩點關(guān)于對稱
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)拋物線定義即可得到；對于B，利用三角形兩邊之和大于第三邊即可得到；對于C，借助直線與圓相切的性質(zhì)即可得到；對于D，設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立后，借助對稱性思想即可得到.
【詳解】對于A：當(dāng)運動到時，，故，即拋物線為，故A錯誤；
對于B：由，故，則，故B正確；
對于C：當(dāng)直線過焦點時，設(shè)為，則，
故以為直徑的圓的半徑為，又，故以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，
有圓心到軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與軸相切,故C正確；
對于D：設(shè)存在該直線，則與直線垂直，則該直線的斜率，
即可設(shè)該直線為，、分別設(shè)為、，
由，消去可得，，
則，即，
有，，
故，，
則弦的中點在直線上，
即有，解得，
故存在直線，使得兩點關(guān)于對稱，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題（共3小題，每小題5分）
12. 記為遞增等比數(shù)列的前項和，若，，則___．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)前項和公式先求出公比，即可求出.
【詳解】由，，可得，解得或.
因為為遞增的等比數(shù)列，所以，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式應(yīng)用，屬于容易題.
13. 為了落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)三門德育校本課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有_____________.
【答案】36
【解析】
【分析】根據(jù)已知對四位同學(xué)分3組，根據(jù)分組分配方法求解即可．
【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選，，三門德育校本課程，
每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，則三組人數(shù)為1、1、2，此時有種
故答案為：．
14. 設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足對一切都成立，又當(dāng)時，，則下列四個命題：
①函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)時，；
③函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；
④函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.
其中正確的命題是_______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由題可得：且，將代入可得：，所以①正確；當(dāng)時，，可得：，所以②正確；將代入并結(jié)合整理得：，所以③正確；將代入結(jié)合可得：，所以④正確；問題得解.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
所以且
又
將代入可得：，
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，所以①正確；
當(dāng)時，，所以，
所以②正確；
將代入可得：，結(jié)合整理得：，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以③正確；
將代入可得：，
所以
所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以④正確；
故填：①②③④
【點睛】本題主要考查了求函數(shù)的周期及函數(shù)的解析式，還考查了賦值法及函數(shù)對稱性的特點，考查分析能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
四、解答題（共77分）
15. 在ΔABC中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若， ，求ΔABC的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【詳解】試題分析：
(1)利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則.
(2)利用余弦定理可求得邊長，則△ABC的面積為.
試題解析：
（1）由正弦定理得
∵，∴， ∵，∴.
（2）∵， ，∴，
即，則，∵，∴
由（1）得，∴的面積.
16. 如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由得四邊形為菱形，則，由已知的數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理逆定理得，而，則平面，所以，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；
（2）取的中點，連結(jié)BM，則兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【小問1詳解】
證明：在平行四邊形中，因為，
所以四邊形為菱形，故，
又因為，故為等邊三角形，
故．
在中，，,
所以，故
又因為，平面，
所以平面，
因為平面，因此．
又因為，平面，
所以平面；
【小問2詳解】
解：取中點，連結(jié)BM，因為為等邊三角形，
所以，
因為‖，所以，
因為平面，平面，
所以，
故兩兩垂直，
所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，則
， 令，得；
設(shè)平面的法向量為，則
, 令，得．
設(shè)平面與平面所成角為，
則．
17. 設(shè)函數(shù).
（1）時，求曲線在點處的切線方程；
（2）證明：至多只有一個零點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，，得到，進而可求出，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；
（2）將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成與交點個數(shù)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，則，
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
由，得到，整理得到，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，則與最多有一個交點，
即至多只有一個零點
18. 已知橢圓過點，且離心率.
（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓C相交于兩點(不是左右頂點)，橢圓的右頂點為D，且滿足，試判斷直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．
【答案】（1） （2）直線過定點
【解析】
【分析】（1）由可得，利用，把點代入橢圓方程，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用，得到，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由題意橢圓的離心率，
∴，即，∴
∴橢圓方程為
又點在橢圓上，于是，
得
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)，
由得，
，
又，
∴，
∵，∴
又橢圓的右頂點，
∴，則，
，
，
解得，且滿足
當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾；
當(dāng)時，)，直線過定點．
綜上可知，直線l過定點，定點坐標(biāo)為.
19. 已知數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)圖象上；
（1）證明是等差數(shù)列；
（2）若函數(shù)，數(shù)列滿足，記，求數(shù)列前項和；
（3）是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，對任意恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)，若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存，.
【解析】
【分析】（1）首先確定，由與關(guān)系可得，進而由定義證得數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可求得，采用錯位相減法即可得到；
（3）將恒成立的式子變?yōu)?，可求得，由此可得，解不等式即可求得的?
【小問1詳解】
點在函數(shù)圖象上，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
則，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得：；又，，
，，
，
.
【小問3詳解】
假設(shè)存在實數(shù)，使得當(dāng)時，對任意恒成立，
即對任意恒成立，
，，
，解得：或，
則存在最大的實數(shù)，使得對任意恒成立.

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