一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再利用并集的運算即可求解.
【詳解】集合，
則，
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先進行復數(shù)除法運算化簡求解，再求復數(shù)的共軛復數(shù)，然后進行加減運算可得.
【詳解】，
則，所以.
故選：C.
3. 已知平面向量，，若，則實數(shù)（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標運算及向量垂直的坐標表示求解.
【詳解】因為，，
所以，，
因為，
所以，
解得.
故選：D
4. 已知等比數(shù)列的前三項和為84，，則的公比為（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知結合等比數(shù)列的通項與前項和列式聯(lián)立得出答案.
【詳解】由可設的公比為，
等比數(shù)列的前三項和為84，，
，解得，
故選：B.
5. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦的差角公式結合弦切關系分別計算，再根據(jù)和角公式計算即可.
【詳解】因為，
又，即，則，
所以，
故.
故選：D
6. 若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的單調(diào)性及，再結合不等式，分類討論，即可求解.
【詳解】由題意，定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
則在上單調(diào)遞減，且，，
所以當時，，
當時，，
所以由可得：
或或，
解得或或，即或，
所以滿足的的取值范圍是.
故選：D.
7. 命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轉化命題為不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法求的范圍，再由包含關系可得.
【詳解】命題“，”為假命題命題“，”為真命題.
所以關于的不等式在恒成立，
則，
令，則，
所以的值域為，
要使恒成立，則.
所以命題“，”為假命題的充要條件為，即.
選項A，，故不是的充分條件；
選項B，是的充要條件；
選項C，由?可知，是一個充分不必要條件；
選項D，，故不是的充分條件；
故選：C.
8. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設，則，根據(jù)雙曲線的定義，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得關于，的關系，可得雙曲線的離心率.
【詳解】如圖：設，則，
根據(jù)雙曲線的定義，可得，，
因為，所以，
所以
由，
代入可得
故選：B
【點睛】方法點睛：選擇填空題中，出現(xiàn)圓錐曲線的問題，首先要考慮圓錐曲線定義的應用，不能用定義，再考慮其他方法.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A. 的值域是B. 圖象的對稱中心為
C. D. 的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】分離常數(shù)法，利用反比例函數(shù)圖象的平移變換可得AB項，由對稱性可得C項，由換元法可求復合函數(shù)值域得D項.
【詳解】，
函數(shù)的圖象可看作函數(shù)向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到，
由函數(shù)對稱中心為，且值域為，
故函數(shù)的值域為，對稱中心為，
所以A項錯誤；B項正確；
C項，由的圖象關于中心對稱，則，
故，故C正確
D項，令，由，則，
由，則.
因為在單調(diào)遞減，故的值域為.
所以的值域是，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知，，且，則（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為4
C. 的最小值為2D. 的最大值為4
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式求解出最值，檢驗即可判斷各項.
【詳解】對于A項，因為，，，
由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，
所以，故A正確；
對于B項，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當時取等號，此時，故B錯誤；
對于C項，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當時取等號，故C正確；
對于D項，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當時取等號，
所以，的最小值為4，故D不正確.
故選：AC.
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足，，且對任意，都有，則下列結論正確的是（ ）
A. 是周期為4的奇函數(shù)B. 圖象關于直線對稱
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由賦值法可得y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，則f-x=-fx，結合fx+2=-fx可得函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱，且是以4為周期的周期函數(shù)，從而可判斷AB選項，由條件，可得y=fx在-1,0上為增函數(shù)，結合函數(shù)的對稱性和周期性可判斷CD選項.
【詳解】任意，有，
令，則，解得，
任意x∈R，令，則，
即，所以是奇函數(shù)，則的圖象關于原點對稱；
又fx+2=-fx=f-x，則函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱；
又fx+2=-fx，則fx+4=-fx+2=fx，
所以函數(shù)y=fx為周期函數(shù)，4為函數(shù)y=fx的一個周期，
故A正確，B正確；
C項，對任意，都有，
故在-1,0單調(diào)遞增，又圖象關于原點對稱，
則在0,1單調(diào)遞增，又的圖象關于直線對稱，
則在1,2單調(diào)遞減，故C錯誤；
D項，由的周期為4，且的圖象關于直線對稱，
則，故D正確：
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二項式展開式的通項公式求出指定項即可.
【詳解】由的展開式的通項得：，
令，得，故．
故答案：.
13. 甲、乙等6位同學去三個社區(qū)參加義務勞動，每個社區(qū)安排2位同學，每位同學只去一個社區(qū)，則甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有__________.
【答案】18
【解析】
【分析】按照分步計數(shù)原理并利用平均分組后再分配的計算方法求解可得.
【詳解】根據(jù)題意，安排6位同學到社區(qū)參加義務勞動可分成兩步：
第一步，將6位同學分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學平均分組，
則有種分組方法；
第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區(qū)，有種情況；
則由分步計數(shù)原理可得，
甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有種不同的安排方法.
故答案為：18.
14. 在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)直三棱柱及條件，建立空間直角坐標系，利用向量方法求解線線角即得.
【詳解】在直三棱柱中，.
如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
由，，
得，
，
因此，
由異面直線與所成角范圍為，
所以異面直線與所成角的余弦值是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關系解方程組，亦可利用導數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；
（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.
【小問1詳解】
方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點求解
設，則，
顯然時，，注意到，
，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，
則，此時，即同向共線，
根據(jù)向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬能公式求解
設，根據(jù)萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
【小問2詳解】
由題設條件和正弦定理
，
又，則，進而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長為
16. 如圖，在三棱錐中，平面，．

（1）求證：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）結合（1）中結論，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.
【小問1詳解】
因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
【小問2詳解】
由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，
所以，
設平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
17. 已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)在的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）證明：當時，.
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當時, ，，求出，，即可寫出點處的切線方程.
（2）求出導函數(shù)后，對參數(shù)與進行討論，分別求出對應情況下的單調(diào)區(qū)間.
（3）要證，即證，求出，再構造新函數(shù)求證即可.
【小問1詳解】
當時, ，所以.
得，點處的切線斜率為，
所以函數(shù)的圖像在點處的切線方程為：，
即：.
【小問2詳解】
由得，
當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減；
當時，令得，
當時，，在單調(diào)遞減，
當時，，在單調(diào)遞增.
綜上所述，
當時， 在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
小問3詳解】
由（2）可知，當時，
的最小值.
要證，
只需證
只需證
設.
則，令得.
當時，，在單調(diào)遞減；
當時，，在單調(diào)遞增.
所以在處取最小值，且，
所以得證，
即得證.
18. 已知數(shù)列中，，，.設.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列的前項的和為，求.
（3）設，設數(shù)列的前項和，求證：.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由，變形為，根據(jù)，代入即可證明結論.
（2）由（1）可得，利用時，，可得，利用求和公式即可得出數(shù)列的前項的和為.
（3），利用裂項求和與數(shù)列的單調(diào)性即可得出結論.
【小問1詳解】
，
，
，，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2.
【小問2詳解】
由（1）可得，
時，，
時也成立.
，
，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2.
數(shù)列的前項的和為.
【小問3詳解】
，
數(shù)列的前項和，
.
19. 隨著人臉識別技術的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題．為了調(diào)查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態(tài)度，研究人員隨機抽取了300人，并將所得結果統(tǒng)計如下表所示．
（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認為年齡與所持態(tài)度具有相關性；
（2）以（1）中的頻率估計概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人中隨機抽取4人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學期望；
（3）已知某地區(qū)“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)y與第x天之間的關系統(tǒng)計如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)出很強的線性相關的特征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程．
參考數(shù)據(jù)：，．
參考公式：，，．
【答案】（1）表格見解析，有
（2）分布列見解析，
（3）．
【解析】
【分析】（1）由頻數(shù)分布表直接填寫即可；結合公式可判斷相關性；
（2）由頻數(shù)分布表可判斷支持態(tài)度的人數(shù)符合，結合二項分布的概率公式可求X的分布列以及數(shù)學期望；
（3）先求出，再由求出，再由求出，進而求出線性回歸方程.
【小問1詳解】
完成列聯(lián)表如下：
故本次實驗中的觀測值，
故有99.9％的把握認為年齡與所持態(tài)度具有相關性；
【小問2詳解】
依題意，，
故，，
，，
；
故X的分布列為：
故；
【小問3詳解】
依題意，，，由得，
，
所以．
故y關于x的線性回歸方程是．
年齡
頻數(shù)
30
75
105
60
30
持支持態(tài)度
24
66
90
42
18
年齡在50周歲以上（含50周歲）
年齡在50周歲以下
總計
持支持態(tài)度
不持支持態(tài)度
總計
i
1
2
3
4
5
6
7
第天
2
4
8
12
22
26
38
使用人數(shù)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年齡在50周歲以上（含50周歲）
年齡在50周歲以下
總計
持支持態(tài)度
60
180
240
不持支持態(tài)度
30
30
60
總計
90
210
300
X
0
1
2
3
4
P

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