注意事項(xiàng)：
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1.本試卷共4頁，包含選擇題（1~12，共60分）、填空題（第13題~第16題，共20分）、解答題（第17~22題，共70分）.本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
2.答題前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、座位號(hào)、考試證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應(yīng)的位置，并將考試證號(hào)用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置.
3.答題時(shí)請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答，在試卷或草稿紙上作答一律無效.
4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)槿?，集合?br>所以.
故選：D
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可；
【詳解】命題“，”為特稱量詞命題，其否定為：“，”.
故選：C
3. 式子的值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
【詳解】.
故選：A.
4. 圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額關(guān)于游客量的圖像，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時(shí)提高門票價(jià)格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線的縱截距表示成本，傾斜角與門票價(jià)格的關(guān)系判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價(jià)不變，不合題意，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)， 值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，虛線值變大，說明成本見減小，又因?yàn)樘摼€的傾斜角變大，
說明提高了門票的價(jià)格，符合題意，D正確，
故選:D.
5. 若是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用題給條件判斷出與的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).
【詳解】若是的必要不充分條件，則，，
是的充分不必要條件，則，
則有，，則是的充分不必要條件，
故選：A．
6. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到平移后的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性得到，，即可求出的取值，從而得解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到，
因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，，
所以，，
所以的最小值為.
故選：C
7. 已知函數(shù)，記，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再比較指對(duì)數(shù)的大小，利用單調(diào)性可得答案.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又， ，，
所以，
所以.
故選：B．
8. 已知函數(shù)滿足：對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x，y，都成立，.若，，則（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【詳解】由題意可得，，
又，
所以，而，可得.
故選：B
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件利用做差法可判斷ACD；冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷B.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>可得，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，且?br>所以，即，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>所以，即，故D正確.
故選：BCD.
10. 記無理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字為m，則m是關(guān)于n的函數(shù)，記作，其定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則（ ）
A. B. 函數(shù)的圖象是一群孤立的點(diǎn)
C. n是關(guān)于m的函數(shù)D.
【答案】AB
【解析】
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域，
對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)位對(duì)應(yīng)數(shù)字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…，
，函數(shù)的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故A，B正確，
對(duì)于C，n不是關(guān)于的函數(shù)，如時(shí)，可能為3，5，7，9，不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤，
因?yàn)椋?，所以D錯(cuò)誤，
故選：AB.
11. 奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則（ ）
A.
B. 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)
C. 是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)
D. 不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不確定
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，若，根據(jù)偶函數(shù)的圖像性質(zhì)推出矛盾即可；對(duì)于B，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可判斷；對(duì)于C，舉出反例即可；對(duì)于D，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則函數(shù)在和上的單調(diào)性相反，
與函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)矛盾，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，令，則在上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，其定義域?yàn)椋?br>由題意得，則，
所以不具有奇偶性.
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
而在區(qū)間上都是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以在區(qū)間上的單調(diào)性不確定，故D正確；
故選:ABD.
12. 我們知道，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是.已知某音是由3個(gè)不同的純音合成，其函數(shù)為，則（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 的最小正周期為
C. 在上是單調(diào)增函數(shù)D. 的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一分析即可.
【詳解】對(duì)于A，，其定義域?yàn)椋?br>又，即函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，
則的最小正周期為，
且
，即不是函數(shù)的周期，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)，和在上增函數(shù)，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)的最大值為，且當(dāng)，時(shí)取最大值，
函數(shù)的最大值為，且當(dāng)，時(shí)取最大值，
函數(shù)的最大值為，且當(dāng)，時(shí)取最大值，
所以三個(gè)函數(shù)的最大值不能同時(shí)取到，則的最大值要小于，故D錯(cuò)誤；
故選：AC．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知扇形的半徑為1cm，弧長為2cm，則其圓心角所對(duì)的弦長為______cm.
【答案】
【解析】
【分析】由弧長公式求出圓心角，再利用求出，即可求解
【詳解】如圖：圓心角，，過點(diǎn)作，為垂足，
所以，所以，
則在中，，
所以其圓心角所對(duì)的弦長
故答案為：
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于______軸對(duì)稱，則______.
【答案】 ① （或） ②. （或）
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求解即可．
【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.
若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，
則，
則；
若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，
則，
則，
故答案為：（或），（或）．
15. 已知圓和四邊形（四個(gè)角均為直角）的周長相等，面積分別為，，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】四個(gè)角均為直角的四邊形是矩形，設(shè)長為，寬為，周長為，設(shè)圓的半徑為，然后得出，然后求出，根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．
【詳解】四個(gè)角均為直角的四邊形是矩形，設(shè)長為，寬為，周長為，設(shè)圓的半徑為，
則，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為．
故答案為：．
16. 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值集合為______.（用列舉法表示）
【答案】
【解析】
【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期性可得，再對(duì)的值進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得出答案.
【詳解】由在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且，解得
因?yàn)?，所以或或或?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.
當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，
由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，
故滿足題意.
當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，
由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，
故滿足題意.
當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù)無意義，故不成立.
故答案為:
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合中元素范圍，再根據(jù)得到是方程的一個(gè)根，代入求解即可；
（2）由得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.
【小問1詳解】
,,
,
是方程的一個(gè)根，
；
【小問2詳解】
，則，
，解得
18. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用即可求解；
（2）由求得，繼而算出，即可求得答案
【小問1詳解】
因，所以，
因?yàn)?，且?br>所以，所以
小問2詳解】
將已知等式，
兩邊平方得：，
即，
∴，
∵，∴，即，
∴，
∴
19. 已知函數(shù)的振幅為，最小正周期為，且其恰滿足條件①②③中的兩個(gè)條件：
①初相為②圖像的一個(gè)最高點(diǎn)為③圖像與軸的交點(diǎn)為
（1）求的解析式
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由振幅和周期得出，再分別討論①②③得出的解析式
（2）由平方關(guān)系得出，再由誘導(dǎo)公式求解即可
【小問1詳解】
因?yàn)榈恼穹鶠椋钚≌芷跒椋?br>所以，，即．此時(shí)
若滿足條件①，則．
若滿足條件②，則，即，
所以，，即，，
又，所以．
若滿足條件③，則，即，
又，所以，
因?yàn)榍M足條件①②③中的兩個(gè)條件，所以只能滿足條件①③．
此時(shí)
【小問2詳解】
因?yàn)?，由?）知，．
又因?yàn)椋?br>所以．
原式
．
20. 設(shè)計(jì)一個(gè)印有“紅十字”lg的正方形旗幟（如圖）.要求“紅十字”lg居中，其突出邊緣之間留空寬度均為2cm，“紅十字”lg的面積（陰影部分）為.的長度不小于的長度.記，.
（1）試用表示，并求出的取值范圍；
（2）當(dāng)為多少時(shí)，可使正方形的面積最小？
參考結(jié)論：函數(shù)在上是減函數(shù)
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面積列出等式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意得到面積表達(dá)式，結(jié)合（1）的結(jié)論和題中所給函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，
因?yàn)榈拈L度不小于的長度，
所以，
即；
【小問2詳解】
設(shè)正方形的面積為，
所以，要想正方形的面積最小，只需最小，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以函數(shù)在上是減函數(shù)，
因此當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，因此正方形的面積最小.
21. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，．
（1）求，的值及在上的解析式
（2）請(qǐng)?jiān)趨^(qū)間和中選擇一個(gè)判斷的單調(diào)性，并證明．
【答案】（1）；
（2）答案不唯一，具體見解析
【解析】
【分析】（1）由可得，結(jié)合列方程可求，的值，再利用對(duì)稱性求在上的解析式
（2）利用單調(diào)性的定義：取值、作差、判斷符號(hào)，逐步計(jì)算判斷證明即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，，所以，．
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，
所以，．
所以解得
所以當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，所以，所以．
所以，在上的解析式為
【小問2詳解】
若選擇區(qū)間，則在區(qū)間上是單調(diào)遞增．
證明：設(shè)，為區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且．
則
，
因?yàn)椋?，，?br>于是，故，即，
所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增
若選擇區(qū)間，則在區(qū)間上是單調(diào)遞減．
證明：設(shè)，為區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且．
則
，
因?yàn)?，所以，，?br>于是，故，即，
所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減．
22. 已知，函數(shù)，.
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，問：是否為定值（與a無關(guān)）?并說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）為定值3，理由見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得，即3，代入即可求得；
（2）由，可得；由，可得，故，再借助于指數(shù)冪的運(yùn)算即可求得；
（3）法1：由，化簡可得，又，結(jié)合函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)即可求得．
法2：由，化簡可得，又，再結(jié)合函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)即可求得．
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，.
由得，，故，即.
此時(shí).
【小問2詳解】
由得，.
由得，，故.
注意到，
所以，解得.
【小問3詳解】
法1：
因?yàn)椋裕ī~），
變形得，，所以.
又因?yàn)?，函?shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以.
代入（﹡），得，即，所以為定值（與無關(guān)）.
法2：
因?yàn)?，所以?），
變形得，，所以.
又因?yàn)椋瘮?shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以.
代入（#），得，即，所以為定值（與無關(guān)）.

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