本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題“，”為特稱量詞命題，
其否定為：，.
故選：D
2. 已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算可得.
【詳解】由集合，得，故子集的個(gè)數(shù)為，
故選：C
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判斷奇偶性，再由區(qū)間上的函數(shù)值，利用排除法判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>由，函數(shù)為偶函數(shù)，
函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除C、D；
當(dāng)時(shí)，，，則，排除B.
故選：A．
4. 對(duì)于定義在上的函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則函數(shù)是增函數(shù)
B. 若，則函數(shù)不是減函數(shù)
C. 若，則函數(shù)是偶函數(shù)
D. 若，則函數(shù)不是奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增，需要變量大小關(guān)系恒成立，故A錯(cuò)誤，
若，則函數(shù)一定不是減函數(shù)，故B正確，
若恒成立，則是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，也有可能是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：B．
5. 若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，，
所以．
故選：C．
6. 中國(guó)茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過(guò)測(cè)量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組可得答案.
【詳解】由題意可得方程組：
，化簡(jiǎn)可得：，所以
，
大約需要放置能達(dá)到最佳飲用口感．
故選：B.
7. 若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值驗(yàn)證法，排除選項(xiàng)，即可推出結(jié)果．
【詳解】函數(shù),
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，排除B、C；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，排除D.
故選：A．
8. 已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調(diào)性，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，參變分離求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
所以，，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，②
①②得，，
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，又，
若恒成立，則恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以只需，
因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），
所以，
所以的取值范圍為.
故選：B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對(duì)于不等關(guān)系人們?cè)谠缙跁?huì)使用文字或象征性記號(hào)來(lái)記述．例如，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在他1629年所著《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》一書中，使用下面記號(hào)：表示大于B，表示小于．若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡(jiǎn)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?，顯然等號(hào)不成立，故A正確；
又，所以，,故B正確；
又，故C錯(cuò)誤；
令,則，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到
B. 函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到
C. 函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍得到
D. 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)圖象變換分別分析并判斷選項(xiàng)A，B，C；求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到：
函數(shù)的圖象，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到：
函數(shù)的圖象，B正確；
對(duì)于C，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍得到：
函數(shù)的圖象，C正確；
對(duì)于D，由，得，即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 已知函數(shù)．則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的是（ ）
A. 周期為
B. 定義域?yàn)?br>C. 增區(qū)間為
D. 圖象的對(duì)稱中心為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用整體法結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)分別對(duì)、、、進(jìn)行判斷.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，
對(duì)于：周期，所以正確，
對(duì)于：因?yàn)?，即（），所以定義域?yàn)?，所以錯(cuò)誤，
對(duì)于：令，解得，
所以增區(qū)間為，所以正確，
對(duì)于：令，解得，所以圖象的對(duì)稱中心為，
所以錯(cuò)誤，
故選：.
12. 已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒有．當(dāng)時(shí)，．則（ ）
A. 為奇函數(shù)
B. 在上的解析式為
C. 的值域?yàn)?br>D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間上，的解析式，再分析函數(shù)的周期性，可得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
又由，則，
即，，
若，則，，
若，則，，
故在區(qū)間上，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由，則，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由此分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，則，則，
函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故B正確；
對(duì)于C，在區(qū)間上，，則，，
所以，故的值域一定不是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)闀r(shí)，，所以，，
又，則，
則有，，故，
所以
，故D正確；
故選：ABD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____，面積為_(kāi)_____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形周長(zhǎng)建立方程即可求出，，再根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，
則由已知可得，解得，，
所以扇形面積為，
故答案為：；．
14. 請(qǐng)寫出一個(gè)冪函數(shù)滿足以下條件：①定義域?yàn)?；②為增函?shù)．則______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)在單調(diào)遞增，可得
故答案為：（答案不唯一）
15. 如圖點(diǎn)為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為，周期為，且物體向左運(yùn)動(dòng)到平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，則物體對(duì)平衡位置的位移和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____．

【答案】
【解析】
【分析】依題意設(shè)，再根據(jù)題意和函數(shù)的周期求出，即可得到函數(shù)解析式；
【詳解】依題意設(shè)，則，周期，又，解得，所以.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，．若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)函數(shù)在,上的值域?yàn)?，函?shù)在，上的值域?yàn)?，?，,，使得成立，則，即可得出答案．
【詳解】設(shè)函數(shù)在,上的值域?yàn)椋瘮?shù)在,上的值域?yàn)椋?br>因?yàn)槿?，,，使得成立，所以，
因?yàn)椋?，
所以，，
所以在,上的值域?yàn)?，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在,上單調(diào)遞減，
所以，
，
所以在,上的值域?yàn)?
因?yàn)椋?br>所以，解得，
又，
所以此時(shí)不符合題意，
當(dāng)時(shí)，圖象是將下方的圖象翻折到軸上方，
令得，即，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
在,上單調(diào)遞減，
，，
所以的值域，
又，
所以，解得，
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，
，
或，
所以的值域,或,，
又，
所以或，
當(dāng)時(shí)，解得或，
又，
所以，
當(dāng)時(shí)，解得或，
又，
所以，
所以的取值范圍誒,,．
③當(dāng)時(shí)，時(shí)，
在，上單調(diào)遞增，
所以，
，
所以在,,上的值域，
又，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17 設(shè)全集，集合，集合，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若“”是“”的______條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
從①充分；②必要；③既不充分也不必要三個(gè)條件中選擇一個(gè)填空，并解答該題．
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）代入化簡(jiǎn)集合，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；
（2）利用充分必要條件與集合關(guān)系，依次選擇三個(gè)條件，結(jié)合數(shù)軸法即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
又，
所以，
故.
【小問(wèn)2詳解】
選①：
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，，，
所以，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
選②：
由區(qū)間定義可知，所以，則，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，，，
所以，則，解得，故，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
選③，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡募炔怀浞忠膊槐匾獥l件，
所以不是的子集，且不是的子集，
若，則，解得，故；
若，由區(qū)間定義可知，所以，則，
又，解得，故；
由于上述兩種情況皆不滿足，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍是．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)．將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到角．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）法一：由題意，利用誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果；法二：根據(jù)，將已知等式化成含角的式子，再利用（1）中結(jié)果計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
由得，
又，所以，
由題可知，所以， ，
則．
【小問(wèn)2詳解】
（法一）原式
由（1）得，，，
所以原式．
（法二）
19. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若、滿足對(duì)，， 且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及最值．
【答案】（1）
（2）在上的增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，最大值為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的值域可得最值，進(jìn)而可得，由周期可得，代入可得，進(jìn)而可求解解析式，
（2）利用整體法求解單調(diào)區(qū)間，即可求解最值.
【小問(wèn)1詳解】
由，得為的最小值，為的最大值，
又，所以，，
由，，，所以，
由的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)得，又因?yàn)椋裕?br>所以．
【小問(wèn)2詳解】
先求的增區(qū)間，令，
解之得，
又，取，則，
所以在上的增區(qū)間為，減區(qū)間則為，
所以，
又，，
所以．
的最小值為，最大值為．
20. 汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)，安全車距（單位：）正比于車速（單位：）的平方與車身長(zhǎng)（單位：）的積，且安全車距不得小于半個(gè)車身長(zhǎng)．當(dāng)車速為時(shí)，安全車距為個(gè)車身長(zhǎng)．
（1）求汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)的安全車距與車速之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）某救災(zāi)車隊(duì)共有10輛同一型號(hào)的貨車，車身長(zhǎng)為，當(dāng)速度為多少時(shí)該車隊(duì)通過(guò)（第一輛車頭進(jìn)隧道起，到最后一輛車尾離開(kāi)隧道止，且無(wú)其它車插隊(duì)）長(zhǎng)度為的隧道用時(shí)最短?
【答案】（1）
（2）km/h
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意為定值，設(shè)比例常數(shù)為，則，代入數(shù)值，得到，令，則，最后寫出分段函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)通過(guò)隧道的時(shí)間為，則，分當(dāng)和兩種情況，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式計(jì)算可得．
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意為定值，設(shè)比例常數(shù)為，則，
所以，所以，
所以，令，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)通過(guò)隧道的時(shí)間為，則．
①當(dāng)時(shí)，．
②當(dāng)時(shí)，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
又，
所以當(dāng)時(shí)用時(shí)最短．
答：當(dāng)速度為時(shí)該車隊(duì)通過(guò)該隧道用時(shí)最短．
21. 已知二次函數(shù)滿足，，若不等式有唯一實(shí)數(shù)解．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在上的最小值為．
（i）求；
（ii）解不等式．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或.
【解析】
【分析】（1）由已知得對(duì)稱軸，從而設(shè)函數(shù)解析式為，由求得，再由不等式有唯一實(shí)數(shù)解，結(jié)合判別式求得，得解析式；
（2）（i）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求得最小值；（ii）由的對(duì)稱性，依照二次函數(shù)的知識(shí)方法分類討論解不等式．
【小問(wèn)1詳解】
由可知的對(duì)稱軸為，
設(shè)二次函數(shù)，
又，所以，所以，
又有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，
所以方程的判別式，所以
所以．
【小問(wèn)2詳解】
①的對(duì)稱軸為，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，
所以；
綜上：
②由①知且關(guān)于對(duì)稱．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
只需，解得，
所以．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
，，，
解得，所以或．
綜合（Ⅰ）（Ⅱ）得不等式的解集為或.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，且不為常數(shù)．
①求實(shí)數(shù)，的值；
②判斷并證明的單調(diào)性．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）①；②減函數(shù)，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）分、、三種情況討論，分別判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）①利用特殊值得到方程組，求出參數(shù)的值，再代入檢驗(yàn)即可；
②由①得到函數(shù)解析式，再利用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
①當(dāng)時(shí)，令，即，
所以的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以不具有奇偶性；
②當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，，所以不奇函數(shù)，
又，所以不為偶函數(shù)．
綜上，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，若為偶函數(shù)，則，所以的定義域?yàn)椋?br>①因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，
所以，所以，
化簡(jiǎn)得，所以或，
當(dāng)，時(shí)，，不合題意；
當(dāng)，時(shí)，，
所以，為偶函數(shù)．
綜上.
②由①得，
在減函數(shù)，在為增函數(shù)．
下面證明在為增函數(shù)：
設(shè)是的任意兩個(gè)數(shù)且，
，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
即，
所以，即，
所以在為增函數(shù)，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在為減函數(shù)．

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江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題：

這是一份江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題，共22頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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