一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．，則( )
A.1B.C.D.2
3．已知向量，，，，，若，則，的夾角是( )
A.B.C.D.
4．已知等差數列的前n項和為，，則( )
A.158B.160C.162D.164
5．已知是奇函數，，則p是q成立的( )
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
6．若函數在上單調遞減且對任意滿足，則不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
7．已知函數的圖像的一條對稱軸是，且在上恰有兩零點，則的最大值是( )
A.B.C.D.
8．若過點可以作的三條切線，則實數m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．關于函數，其中正確命題是( )
A.是以為最小正周期的周期函數
B.的最大值為
C.將函數的圖像向左平移個單位后，將與已知函數的圖像重合
D.在區(qū)間上單調遞減
10．對于已知函數，下列論述正確的有( )
A.若，則函數的單調遞減區(qū)間為
B.若函數在區(qū)間上是增函數，則
C.當，時，函數的圖像的對稱軸為
D.當，時，函數的圖像的對稱中心為
11．已知函數的定義域，，滿足，，，，則下列說法正確的是( )
A.B.是等差數列
C.D.數列的前n項和
三、填空題
12．已知角，，且，則__________.
13．已知，，且，則的最大值為__________.
14．若點P，Q關于原點對稱，且均在函數的圖像上，則稱是函數的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）已知恰有兩個“匹配點對”，則a的取值范圍是__________.
四、解答題
15．的內角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若的角平分線與交于點D，，求.
16．在等腰梯形中，，，，.
(1)若與垂直，求k的值；
(2)若P為邊上的動點(不包括端點），求的最小值
17．為了便于市民運動，市政府準備對道路旁邊部分區(qū)域進行改造如圖，在道路的一側修建一條新步道，新步道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數，時的圖像，且圖像的最高點為，新步道的中部分為長1千米的直線跑道，且，新步道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧.
(1)求的值和的大??；
(2)若計劃在圓弧步道所對應的扇形區(qū)域內建面積盡可能大的矩形區(qū)域建服務站，并要求矩形的一邊緊靠道路上，一個頂點Q在半徑上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求矩形面積最大時應取何值，并求出最大面積？
18．已知數列的前n項和為，，.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和；
(3)若，求n的值
19．設，.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)求證:；
(3)設函數與的定義域的交集為D，集合.若對任意，都存在，，使得，，成等比數列，且，成等差數列，則稱與為"A關聯函數".求證：若與為"關聯函數"，則.
參考答案
1．答案：B
解析：若，
則是4的正因數，而4的正因數有1，2，4，
所以，
因為，
所以.
故選：B.
2．答案：B
解析：
故選：B
3．答案：A
解析：∵，∴，
∵，
∴，∴，
設，的夾角為，則，
又∵，∴.
故選：A
4．答案：B
解析：因為數列為等差數列，設公差為d，
由題得，即，
又，所以，
所以，
所以.
故選：B.
5．答案：A
解析：由是奇函數，則，
即，解得，
所以，
當時，，，
，
所以是奇函數，
所以，
所以p是q的充要條件
故選：A.
6．答案：D
解析：因為，所以的對稱軸為，
又在上單調遞減，則在上單調遞增，
又因為，
由對稱性可得，
所以，，即.
故選：D
7．答案：B
解析：由題意可得，函數，
由于，所以；
又由在上恰有兩個零點，
所以，
解得；
又因為函數圖像的一條對稱軸是，
所以，
即，
又且，
所以當時，，
故選：B.
8．答案：B
解析：依題意，設切點坐標為，
由，求導得，
則函數的圖像在點處的
切線方程為，
由切線過點，得，
令，依題意，
直線與函數的圖像有3個公共點，
，
當或時，，當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，函數取得極小值，
而當時，恒有，
又，因此當時，
直線與函數的圖像有3個公共點，
所以實數m的取值范圍是.
故選：B
9．答案：ABD
解析：由題得
，
對于A，函數最小正周期為，故A正確；
對于B，函數最大值為，故B正確；
對于C，將函數的圖像向左平移個單位可得到函數解析式為
所以該函數圖像不會與已知函數的圖像重合，故C錯誤；
對于D，當，，
因為正弦函數在區(qū)間上單調遞減，
所以函數在區(qū)間上單調遞減，故D正確
故選：ABD.
10．答案：AD
解析：函數，，
對于A：，
令，可得，
所以的單調遞減區(qū)間為，A選項正確；
對于B：若函數在區(qū)間上是增函數，
，
所以恒成立，
當，所以，B選項錯誤；
對于C：當，時，
函數，
所以單調遞增，不可能有對稱軸，C選項錯誤；
對于D：當，時，，
又因為
，
所以函數的圖像關于對稱，D正確
故選：AD
11．答案：BCD
解析：令，，，A不對；
令，，，，
，
即，，,
所以為等差數列,B正確；
，
，
，
令，，，單調遞增，
,
所以,即得，C正確；
令，
,
,
兩式相減得，
,
可得，D正確
故選：BCD.
12．答案：2
解析：由，
可得，
即，
故.
又，
故，
即，代入
可得.
故.
故答案為：2.
13．答案：
解析：已知，，且，
則，
，
當且僅當，
即，時等號成立，
則有，，
所以的最大值為.
故答案為：.
14．答案：
解析：由題設，要使恰有兩個“匹配點對”，
只需與在上有兩個交點，
所以有兩個不同的正根，
令且，則，
所以時，即在上遞減；
時，即在上遞增；
又時，時，且最小值，
所以，要使有兩個不同的正根，只需，
所以.
故答案為：
15．答案：(1).
(2)
解析：(1)依題意，由正弦定理可得
所以，
又
所以，
因為，所以，所以，
又，所以.
(2)解法一：如圖，由題意得，，
所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以.
解法二：如圖，中，
因為，，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)過D作于O，
等腰梯形中易知，
又，故可得，
如圖所示：以O為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則，，，
所以，，
故
因為與垂直，
所以，
解得；
(2)設，，
則，，
則，
則，
對，，其對稱軸，
故其最小值為，
所以的最小值為.
17．答案：(1)；
(2)
解析：(1)由題意可得：，
即，且，則，
所以曲線段的解析式為.
當時，，
又因為，則，
可知銳角，所以.
(2)由(1)可知，，且,
則，，
可得，
則矩形的面積為
，
又因為，則，
可知當，
即時，，
所以矩形取得最大值.
18．答案：(1)證明見解析
(2)，
(3)6
解析：(1)因為，
所以當，時，
，
即，時，，
又時，，
所以數列為首項為1，公比為3的等比數列
(2)由(1)知，所以，
又由，
可得，，
所以
.
(3)因為，
所以，
整理得到，解得，
所以n的值為6.
19．答案：(1)單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：(1)由題意可知：的定義域為，
且.
當時，；
當時，，
所以函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.
(2)由(1)可知，
故只需證.
由于，等價于.
令，，則.
當時，；當時，；
可知函數在內單調遞減，在單調遞增，
則，所以.
(3)由題意知，對任意，存在，
滿足，且，則，
即，
即.
對于給定的，有，
當且僅當，即時，等號成立，
因此對任意都成立
在上式中令，得.
令，
則，
當時，；
當時，；
可知在內單調遞增，在內單調遞減，
且，，
可知滿足不等式的.

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