2025.01
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】由，得，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
故選：B.
3. 已知向量，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，則，，此時(shí)，所以；
若，由向量共線定理，得，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>而當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，
所以，即在上的值域?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，在上的值域要包含，
所以的圖象開口向下，又對(duì)稱軸為，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
5. 已知函數(shù)（且），若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與的圖象重合，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】由題意可得，
再將函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得，
即，故，又，故.
故選：C.
6. 若，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，則，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)最小值為，
故選：B.
7. 已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，且，則的離心率等于（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】D
【解析】設(shè)，
因?yàn)檫^且斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，且，
所以，
所以，解得，
所以的離心率.
故選：D.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)，，則（ ）
A. 2025B.
C. 4050D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閒x+2+fx=0①，
所以，
所以，所以的周期為4，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以②
令，由②得，所以，
①中令，得，所以，
令，得，所以，
綜上，，
，，
所以
，
由函數(shù)的周期性得，.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 上單調(diào)遞增
C. 在上有兩個(gè)極值點(diǎn)
D. 點(diǎn)是曲線y=fx的一個(gè)對(duì)稱中心
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，
所以，即，
又的圖象在點(diǎn)附近呈遞增狀，
則，即，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A可得，
由，得，
而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，由，得，
而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)不是曲線y=fx的對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋矗?br>所以，，
解得，故A正確；
由此可得，，，，……
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，
所以，，
所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，
所以，所以，
所以，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，
則，，
所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，
所以，
所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D，
=
=，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為棱的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與所成的角為
B. 平面
C. 過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為
D. 以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線的長(zhǎng)度為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，在正方體中，，
故直線與所成的角即為直線與所成的角，即，
在中，，則不為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，連接，則，又平面平面,
所以，平面，故平面，
平面，故，同理可證，
平面，故平面，B正確；
對(duì)于C，由B可知平面，
故過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面與平面平行，
設(shè)的重點(diǎn)為，依次連接，
可得六邊形為正六邊形，
而，平面，平面，故平面，
同理可證平面，面，
故面平面，
即過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體所得截面即為六邊形，邊長(zhǎng)為，
其面積為，C正確；
對(duì)于D，過點(diǎn)P作的垂線，垂足為M，則M為的中點(diǎn)，且平面，
設(shè)以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的點(diǎn)為K，則，
平面，故，且，
則以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為平面上以M為圓心，
以為半徑的圓弧，如圖：
由于，故，則交線長(zhǎng)度為，D正確，
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)在拋物線：上，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是______.
【答案】
【解析】由題意可得，即，故：，
則拋物線的準(zhǔn)線方程為，
故點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
13. 已知，則______.
【答案】
【解析】由題意可得，
所以，
所以，
故答案為：.
14. 已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值是______.
【答案】
【解析】由可知：，
設(shè)，
則，
則，
設(shè)，，
則，
所以為奇函數(shù)，
時(shí)，時(shí)，時(shí)，
故只需考察時(shí)情況；
當(dāng)，
因?yàn)椋诙际菃握{(diào)遞減，
所以在單調(diào)遞減，
令，解得：，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，
所以的最大值為，
即的最大值是,
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求證：；
（2）若，，求的面積.
（1）證明：在中，由余弦定理得，
即，整理得，
由正弦定理得，
整理得，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以的面積為.
16. 已知數(shù)列滿足，，記.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）證明：因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.
（2）解：因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
所以
.
17. 如圖，在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.
（1）證明：平面；
（2）若直線到平面的距離等于，求平面與平面夾角的余弦值.
（1）證明：連接交于點(diǎn)，
則為的中點(diǎn)，連接
∵為棱的中點(diǎn)
∴
又平面，平面，
所以平面
（2）解：（方法一）∵為棱的中點(diǎn)，
∴直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，
∴點(diǎn)到平面的距離等于
∴
設(shè)，
則，，，
∴，
∴
∴
過點(diǎn)作，則平面，
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1
則，即
令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，即
令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量，
所以
所以平面與平面夾角的余弦值為
（2）（方法二）過點(diǎn)作，則平面，如圖所示，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，，，，
所以，，，，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
則，即
令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離，
∴
∴平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，即
令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以，平面與平面夾角的余弦值為
18. 已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若，求的最大值.
解：（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)時(shí)，由得，
令，則，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，
作出的大致圖象，如圖，
所以當(dāng)，即時(shí)，與的圖象沒有交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，由與的性質(zhì)可知，
當(dāng)時(shí)，，，
所以不恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，只需，所以；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，h'x>0，此時(shí)hx單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，h'x

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