1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.“”是“”的（ ）
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3.設(shè)向量，，，且，則（ ）
A.3B.2C.D.
4.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（ ）
A.B.C.D.
5.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（ ）
A.B.C.D.
6.已知函數(shù)若方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A.2B.C.1D.
8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為，，則下列說法正確的有（ ）
A.B.C.D.
10.設(shè)函數(shù)，則（ ）
A.當(dāng)時(shí)，的極大值大于0B.當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)
C.，使在上是減函數(shù)D.，曲線的對稱中心的橫坐標(biāo)為定值
11.已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與其到直線的距離相等，則
A.曲線的軌跡方程為
B.若，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為5
C.過點(diǎn)，恰有2條直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
D.圓與曲線交于，兩點(diǎn)，與直線交于，兩點(diǎn)，則，，，四點(diǎn)圍成的四邊形的周長為12
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.
13.曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切，則______.
14.已知雙曲線：（，）與平行于軸的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)，，則雙曲線的離心率是______；當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長至點(diǎn)使，連接交軸于點(diǎn)，則的值是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.
（1）求角；
（2）若，求周長的取值范圍.
16.（15分）已知函數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，證明：.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，分別為，的中點(diǎn)，平面，且.
（1）證明：平面；
（2）若與平面所成的角是，求二面角的余弦值.
18.（17分）如圖，已知橢圓：（）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）當(dāng)直線，均不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
19.（17分）若有窮數(shù)列（且）滿足（），則稱為數(shù)列.
（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由.
①1，2，4，3；②4，2，8，1.
（2）已知數(shù)列中各項(xiàng)互不相等，令（），求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列.
（3）已知數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)1，2，…，的一個(gè)排列，若，求的所有取值.
2024—2025學(xué)年高三期中考試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見
1. D 【解析】因?yàn)?，，所以?故選D.
2. C 【解析】當(dāng)時(shí)，，或，，推不出；
當(dāng)時(shí)，必有，故“”是“”的必要不充分條件，故選C.
3. A 【解析】因?yàn)椋?，，所以?br>因?yàn)?，所以，解?故選A.
4. B 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以.
設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，又圓錐的軸截面為等邊三角形，
所以，則內(nèi)切球的體積.故選B.
5. A 【解析】由，得.
的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得的圖象，
由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，得函數(shù)的圖象過點(diǎn).
設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.
又，，且，可得，
所以，.故選A.
6. C 【解析】當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，則，所以.
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減.
令，則.作出的大致圖象，如圖所示.方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，也就是的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn).
由圖易知所求的取值范圍是.故選C.
7. C 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.
又當(dāng)時(shí)，，
所以.故選C.
8. C 【解析】因?yàn)?，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱；將點(diǎn)和的坐標(biāo)分別代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于直線和對稱.
設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
則解得或所以；
設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
則解得或
所以.由橢圓性質(zhì)可知，，，
所以，，則，故焦距為.故選C.
9. ACD 【解析】方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為，，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，A，C正確；
B選項(xiàng)，的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為，
若，，
則，B錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，或，均有，D正確.故選ACD.
10. BD 【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
令得或，由，得或，
由，得，于是在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，
極大值為，A錯(cuò)誤；
對于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，B正確；
對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，
而不等式的解集不可能為，C錯(cuò)誤；
對于D，由，
得曲線的對稱中心的坐標(biāo)為，D正確.故選BD.
11. ABD 【解析】對于A，依題意，曲線是以為焦點(diǎn)，
直線為準(zhǔn)線的拋物線，方程為，A正確；
對于B，如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，交直線于，交拋物線于.
令點(diǎn)到直線的距離為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，因此的最小值為，B正確；
對于C，顯然過點(diǎn)與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率存在，
設(shè)其方程為，由消去得，
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由，解得，顯然直線，均與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因此過點(diǎn)與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤；
對于D，直線交圓于點(diǎn)，，
由得或從而，，
所以四邊形是矩形，其周長為，D正確.故選ABD.
12. 8 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?，即解?br>則，所以.故答案為8.
13. 1 【解析】設(shè)，則，則，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
由消去，得，
由，得.故答案為1.
14. 【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，解得.又，所以，
又，所以，兩邊同時(shí)除以，得，
解得或（舍）.
如圖，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，，，，
所以
，
又，所以.
15.解：（1）由及正弦定理得，
故，
所以.
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所?
（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，
又，所以.
由基本不等式得：，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
又，
即，又，所以，
所以，
即周長的取值范圍是.
16.（1）解：，，則.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
構(gòu)造函數(shù)（），
則，令，解得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，即.
所以，即的取值范圍為.
（2）證明：方法一：由題意得的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，要證，即證，等價(jià)于證明.
構(gòu)造函數(shù)（），即證.
因?yàn)椋睿?br>因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞增，
且，，所以存在，
使得，所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，
即（）.
又因?yàn)?，得，所以（?
令，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，即，所以.
方法二：將看作以為變量的函數(shù)，其中，
因?yàn)椋躁P(guān)于單調(diào)遞減.
要證當(dāng)時(shí)，，即證當(dāng)時(shí)，，
只需證當(dāng)時(shí)，.
令，則，令，解得.
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以.
綜上，.，，即.
17.（1）證明：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，則且.
又且，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，則.
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，
則且，又，所以.
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>故與平面所成的角為，所以.
所以在中，.
又由菱形性質(zhì)可得，所以，所以.
所以，所以，，兩兩垂直.10分
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?br>所以，，，，，，
所以，，.
由平面得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則故
取，則，
所以為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角的平面角為，由圖可得為銳角，
所以，
所以二面角的余弦值為.
18.（1）解：由橢圓：上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為和，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得
解得則，
故橢圓的方程為.
（2）解：設(shè)直線的方程為，，.
由消去，整理得.
由，得，
則，.
，
解得或.10分
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，滿足題目條件.
所以直線的方程為.
（3）證明：因?yàn)橹本€，均不與軸垂直，
所以直線：不經(jīng)過點(diǎn)和，則且，
由（2）可知，
，為定值.
19.（1）解：①因?yàn)?，所以?shù)列1，2，4，3不是數(shù)列；
②因?yàn)?，所以?shù)列4，2，8，1是數(shù)列.
（2）證明：必要性：
若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，
所以數(shù)列是常數(shù)列.
充分性：
若數(shù)列是常數(shù)列，
則（），即（），
所以或.
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)互不相等，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
綜上可知，數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列.
（3）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ǎ?，所以，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為3，2，4，1，此時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為2，3，4，5，1，此時(shí)，符合題意.
下面證當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意.
令（），
則，且，
所以有以下三種可能：
①
②
③
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>由（2）知：，，…，是公差為1（或）的等差數(shù)列，
當(dāng)公差為1時(shí)，由得或，
所以或，與已知矛盾.
當(dāng)公差為時(shí)，同理得出與已知矛盾.
所以當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意.
其他情況同理可得，不存在滿足題意.綜上可知，的所有取值為4或5.
－
0
＋
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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