一、選擇題
1．已知平面的一個(gè)法向量為,直線l的一個(gè)方向向量為,若,則( )
A.B.C.1D.2
2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A,“第二枚硬幣反面朝上”為事件B,則下述正確的是( ).
A.A與B對(duì)立B.A與B互斥
C.D.A與B相互獨(dú)立
3．已知圓M經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),且圓心M在直線,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.B.
C.D.
4．甲、乙二人下圍棋,若甲先著子,則甲勝的概率為0.6,若乙先著子,則乙勝的概率為0.5,若采取三局兩勝制（無(wú)平局情況）,第一局通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰(shuí)先著子,以后每局由上一局負(fù)者先著子,則甲通過(guò)前兩局獲得勝利的概率( )
A.0.5B.0.6
5．在正方體中,E是棱的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
6．若直線l與圓,圓都相切,切點(diǎn)分別為A、B,則( )
A.B.C.D.
7．已知點(diǎn),.若直線與線段無(wú)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．在棱長(zhǎng)為1的正方體中,E,F分別是,的中點(diǎn),則直線到平面的距離為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知事件A,B發(fā)生的概率分別為,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.若A與B互斥,則
C.若A與B相互獨(dú)立,則
D.若,則A與B相互獨(dú)立
10．在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓與圓,P,Q分別為圓O和圓M上的動(dòng)點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是( )
A.過(guò)點(diǎn)作圓M的切線有且只有一條
B.若圓O和圓M恰有3條公切線,則
C.若的最小值為1,則
D.若,則直線的斜率的最大值為
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，如圖，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.直線與平面所成角的正弦值范圍為
B.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大
C.當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得的截面圖形是等腰梯形
D.已知N為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，則
三、填空題
12．已知直線（其中k為常數(shù)），圓，直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則長(zhǎng)度最小值為_(kāi)_______.
13．已知向量,,則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
14．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱(chēng)為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為,動(dòng)點(diǎn)滿足,當(dāng)P、A、B不共線時(shí),面積的最大值是________.
四、解答題
15．口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,甲、乙兩人玩一種游戲:甲先摸出一個(gè)球,記下編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號(hào),如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.
（1）求甲贏且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率;
（2）請(qǐng)用甲、乙獲勝的概率說(shuō)明這種游戲規(guī)則是否公平.
16．已知直線l過(guò)定點(diǎn)
(1)若到直線l的距離為3，求直線l的方程；
(2)若直線l分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.
17．如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)棱底面,,E是的中點(diǎn).
（1）求證:平面;
（2）已知點(diǎn)F在棱上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).
18．已知點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),延長(zhǎng)至點(diǎn)S使得Q為的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)S的軌跡方程.
（2）過(guò)圓M外點(diǎn)P向圓M引兩條切線,且切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn),求最小值.
（3）若直線與圓M交于D,E兩點(diǎn),且直線,的斜率分別為,,則是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．空間中,兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系,如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直,那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系,它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°,我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系,定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo):,,分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸?z軸）正方向的單位向量,若向量,則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng),稱(chēng)向量的斜60°坐標(biāo)為,記作.
（1）若,,求的斜60°坐標(biāo);
（2）在平行六面體中,,,,N為線段的中點(diǎn).如圖,以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.
①求的斜60°坐標(biāo);
②若,求與夾角的余弦值.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)?所以,所以,解得.
故選:B
2．答案：D
解析：由題意可得,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),
則事件A包含的結(jié)果有:(正,正),(正,反),事件B包含的結(jié)果有:(正,反),(反,反),
顯然事件A,事件B都包含“(正,反)”這一結(jié)果,即事件A,事件B能同時(shí)發(fā)生,
所以,事件A,事件B既不互斥也不對(duì)立,故AB錯(cuò)誤.
又因?yàn)?,而,,
所以,,故C錯(cuò)誤,D正確.
故選:D
3．答案：C
解析：設(shè)圓心M的坐標(biāo)為.
因?yàn)閳A心M在直線上,所以①,
因?yàn)镻,Q是圓上兩點(diǎn),所以,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,
有,即②,
由①②可得,.所以圓心M的坐標(biāo)是）,圓的半徑.
所以,所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選:C.
4．答案：D
解析：由題意,
第一局甲先著子,甲前兩局獲勝的概率為,
第一局乙先著子,甲前兩局獲勝的概率為,
故甲前兩局獲勝的概率為.
故選:D.
5．答案：A
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,
則,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,則,所以,
設(shè)直線與平面所成角為,
所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選:A.
6．答案：C
解析：如下圖所示,設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M,
由于直線l與圓,圓都相切,切點(diǎn)分別為A、B,
則,,,
,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,
由勾股定理可得.
故選:C.
7．答案：A
解析：由,得,
所以直線l的方程恒過(guò)定點(diǎn),斜率為.
因?yàn)?,
所以,.
如圖所示,
由圖象可知,,即時(shí),直線與線段無(wú)公共點(diǎn),
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為,
故選:A.
8．答案：D
解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,令,則,
因?yàn)?平面,平面,
所以平面,所以直線到平面的距離即為點(diǎn)B到平面的距離,
所以直線到平面的距離為.
故選:D.
9．答案：CD
解析：對(duì)于A選項(xiàng),若,則,所以,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B選項(xiàng),若A與B互斥,則,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C選項(xiàng),若A與B相互獨(dú)立,則,
所以,,C正確;
對(duì)于D選項(xiàng),若,且,
所以事件A與相互獨(dú)立,則事件A與B相互獨(dú)立,D正確;
故選:CD.
10．答案：BD
解析：由圓,可得圓心為,半徑為,
圓,可得圓心為,半徑為r,
對(duì)于A中,由點(diǎn)在圓M外,所以過(guò)點(diǎn)的切線有2條,所以A不正確;
對(duì)于B中,若圓O和圓M恰有3條公切線,則圓O和圓M相外切,
所以,即,解得,所以B正確;
對(duì)于C中,當(dāng)圓O和圓M外離時(shí),可得的最小值為,此時(shí);
當(dāng)圓O和圓M內(nèi)含時(shí),可得的最小值為,此時(shí),所以C不正確;
對(duì)于D中,當(dāng)時(shí),則直線的斜率的最大值是斜率為正的內(nèi)公切線斜率,
如圖所示,,且,所以,
在直角,可得,所以,
即直線PQ的斜率的最大值為,所以D正確.
故選:BD.
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，，所在直線分別為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、
設(shè)點(diǎn)，
平面，則為平面的一個(gè)法向量
且，，
，
所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)M與重合時(shí)，
連接，，，
在正方體中，平面，
平面，，
∵四邊形是正方形，則，
，，平面，
平面，
平面，
，同理可證，
，，平面，
平面，
易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
其面積為，周長(zhǎng)為.
分別取棱,,,,,的中點(diǎn)E，F(xiàn)，Q，N，G，H
易知六邊形EFQNGH是邊長(zhǎng)為的正六邊形，
且平面平面，
正六邊形EFQNGH的周長(zhǎng)為，面積為，
則的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，
它們的周長(zhǎng)相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，
點(diǎn)，，
平面，平面，
，
即，得，，
所以，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，
同理可知，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，
則，，
而，
，且，
由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，，
，
所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，將矩形與矩形沿?cái)偲綖橐粋€(gè)平面，
如下圖所示：
若最短，則A，M，N三點(diǎn)共線，
，
，
又，
，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：由題意得直線過(guò)定點(diǎn)，
圓圓心為，半徑為，
連接，當(dāng)直線l與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，
此時(shí)，
所以AB長(zhǎng)度最小值為.
故答案為：.
13．答案：
解析：因?yàn)?,則,,
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為:.
14．答案：
解析：以經(jīng)過(guò)A、B的直線為x軸,線段的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
則、,設(shè),因?yàn)?所以,
兩邊平方并整理得:,即,
所以面積的最大值是.
故答案為:.
15．答案：（1）
（2）這種游戲規(guī)則不公平
解析：（1）設(shè)“甲勝且編號(hào)的和為6”為事件A.
甲編號(hào)為x,乙編號(hào)為y,表示一個(gè)基本事件,
則兩人摸球結(jié)果包括,,,…,,,,共25個(gè)基本事件;
A包括的基本事件有,,,,共5個(gè).
.甲勝且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率為.
（2）這種游戲不公平.
設(shè)“甲勝”為事件B,“乙勝”為事件.甲勝即兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)所包含基本事件數(shù)為以下13個(gè):,,,,,,,,,,,,.
所以甲勝的概率為,
乙勝的概率為,
,這種游戲規(guī)則不公平.
16．答案：(1)或
(2)最小值為12，直線l的方程為.
解析：(1)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，
由過(guò)得，滿足Q到l的距離為3，
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為即，
點(diǎn)到直線l的距離為，解得.
此時(shí)直線的方程為即，
綜上所述，所求的直線方程為或.
(2)若直線l分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，
則設(shè)直線l為，，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故面積的最小值為12，此時(shí)直線l的方程為.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）或
解析：（1）連結(jié),交于點(diǎn)O,連結(jié),
點(diǎn)E是的中點(diǎn),點(diǎn)O是的中點(diǎn),
所以,平面,平面,
所以平面;
（2）如圖,以向量,,為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
,,,
則,,
設(shè)平面的法向量,
則,令,,,
所以平面的法向量,
,,,
,
設(shè)直線與平面的夾角為,
則,
解得或,
又,
則或
18．答案：（1）
（2）
（3）的值為定值,且定值為
解析：（1）設(shè),動(dòng)點(diǎn),
由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式解得,,
又在圓上,可得,即可得,
點(diǎn)S的軌跡方程是.
（2）設(shè).則,
,,
所以:
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
所以最小值為.
（3）如下圖所示:
聯(lián)立方程組,得,
設(shè),,則,
,
故的值為定值,且定值為.
19．答案：（1）
（2）①;②
解析：（1）由,,
知,,
所以,所以;
（2）設(shè),,分別為與,,同方向的單位向量,
則,,,
①,
.
②因?yàn)?所以,
則,
,.
,
,
所以與的夾角的余弦值為

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