2022-2023學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列垃圾分類標識圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列事件中，屬于不可能事件的是(    )A. 經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈 B. 射擊運動員射擊一次，命中靶心
C. 班里的兩名同學(xué)的生日是同一天 D. 從一個只裝有白球的袋中摸球，摸出黃球3.  在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是(    )A.  B.  C.  D. 4.  用配方法解方程時，配方后正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則的度數(shù)是(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  如圖，為外一點，與相切于點，，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 8.  一個扇形的弧長是，面積為，則其半徑為(    )A.  B.  C.  D. 9.  點，都在拋物線上若，則的取值范圍為(    )A.  B.  C.  D. 10.  用米長的圍欄圍成一邊靠墻墻足夠長的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形底邊靠墻、半圓形這三種方案，最佳方案是(    )
 A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  拋物線的頂點坐標為______ ．12.  一個布袋里放有個紅球和個白球，它們除顏色外其余都相同，從布袋中任意摸出個球，摸到白球的概率是______ ．13.  關(guān)于的方程有兩根，其中一根為，則兩根之積為______ ．14.  右表是某球員在罰球線上投籃的結(jié)果則估計該球員投籃一次投中的概率約為______ 結(jié)果保留小數(shù)點后一位 投籃次數(shù)投中次數(shù) 15.  的直徑為，弦的長為，若為的中點，則 ______ ．16.  一副三角板按圖放置，是邊的中點，如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，與相交于點，則的長是______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解方程：．18.  本小題分
如圖，已知中，是中線，且．
用尺規(guī)作，使它與關(guān)于點中心對稱；
若，求的取值范圍．
19.  本小題分
已知拋物線與軸相交于點，與的部分對應(yīng)值如表所示，寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點的坐標．  20.  本小題分
某校九班學(xué)生成立了一個“關(guān)于新冠肺炎個知識點”的防疫科普宣傳小組，其中男生人，女生人，現(xiàn)從小組中選人進社區(qū)宣傳．
若選人，則恰好選中女生的概率是______ ；
若選人，求恰好選中一男一女的概率．21.  本小題分
如圖，在中，，完成以下兩個小題的解答：
用尺規(guī)作的中點，并以為半徑作不寫作法，保留作圖痕跡，求證：與邊相切；
若恰好交于邊的中點，求的半徑長．
22.  本小題分
某賓館有個房間供游客居住，當(dāng)每個房間定價元時，房間會全部住滿，當(dāng)每個房間定價每增加元時，就會有一個房間空閑，若賓館在某一個時間段把每個房間定價增加元為正整數(shù)且．
當(dāng)賓館每天收入為元，求的值．
如果賓館每天收入要最大，請直接寫出每個房間的定價．23.  本小題分
老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請你幫助小明解決這個問題，題目是這樣的：一個三角形兩邊長分別是和，第三邊長是的一個實數(shù)根，請結(jié)合作圖求這個三角形的外接圓面積．24.  本小題分
已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根．
若，求的值；
在中，已知點，點，點在軸上，且該方程的解是點的橫坐標．
過點作軸，交邊于點，求證：的長為定值；
求面積的最小值．25.  本小題分
在邊長為的正方形中，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一動點，過點作，垂足為，連接．

如圖，若直線與圓相切，求線段的長；
求的最小值；
如圖，若，求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 2.【答案】 【解析】解：、經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈是隨機事件，不符合題意；
B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，不符合題意；
C、班里的兩名同學(xué)的生日是同一天是隨機事件，不符合題意；
D、從一個只裝有白球的袋中摸球，摸出黃球是不可能事件，符合題意；
故選：．
一定不能發(fā)生的事件是不可能事件，據(jù)此判定即可．
本題考查了不可能事件即一定不能發(fā)生的事件，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，
故選：．
根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù)，即可進行解答．
本題主要考查了關(guān)于原點對稱點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點對稱的點橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù)．
 4.【答案】 【解析】解：兩邊同時加，得：，
配方，得：．
故選：．
方程兩邊同時加上，再寫為完全平方式即可．
本題主要考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方的方法和步驟．
 5.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，
，
解得：．
故選：．
根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．
本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：連接，

是的直徑，
，
，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而可求出的度數(shù)，然后利用同弧所對的圓周角相等即可解答．
本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：連接，

與相切于點，
，
．
故選：．
連接，則，再根據(jù)即可求解．
本題主要考查了切線的定義以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過圓上一點，且垂直于半徑的直線是原點切線．
 8.【答案】 【解析】解：，弧長是，面積為，
，
解得，
故選：．
根據(jù)代入計算即可．
本題考查了扇形的面積公式，熟練掌握扇形面積與弧長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：點，都在二次函數(shù)的圖象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故選：．
根據(jù)列出關(guān)于的不等式即可解得答案．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于的不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．
 10.【答案】 【解析】解：方案：
設(shè)垂直于墻面的一邊長為，則平行于墻面的邊長為，
則菜園面積，
當(dāng)時，有最大值，最大值為；
方案：
設(shè)等腰三角形底邊長為，高為，
為等腰三角形，
，，
，即，整理得：，
，
，
令，則，
當(dāng)時，有最大值，最大值為，
當(dāng)時，有最大值，最大值為，

方案：
設(shè)半圓半徑為，
半圓的弧長為米，
，解得：，
，
，
最佳方案是方案．
故選：．
分別計算三個方案的菜園面積進行比較即可．
本題主要考查了用二次函數(shù)求圖形面積的最大值，和求弧的半徑，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖圖象和性質(zhì)，以及根據(jù)弧長求半徑的方法．
 11.【答案】 【解析】解：拋物線，
拋物線的頂點坐標為．
故答案為：．
根據(jù)拋物線的頂點式確定頂點坐標即可．
本題考查了拋物線頂點式確定拋物線的頂點坐標，熟練掌握頂點式的特點是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：摸到白球的概率，
故答案為：．
根據(jù)概率公式進行計算即可．
本題主要考查了求等可能時間的概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)方程的另一個根為，
方有兩根，其中一根為，
，
解得：，
即兩根之積為．
故答案為：．
設(shè)方程的另一個根為，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．
本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握是一元二次方的兩個實數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
由此發(fā)現(xiàn)，隨著投籃次數(shù)的增多，投中的頻率在附近擺動．
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名球員一次投中的概率為．
故答案為：．
根據(jù)投籃投中的頻率估計投籃投中的概率，關(guān)鍵看隨著投籃次數(shù)的增多，投中頻率越接近的數(shù)就是投中的概率．
本題考查了用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定的數(shù)據(jù)附近左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的數(shù)據(jù)的近似值就是這個事件的概率．
 15.【答案】 【解析】解：連接，，

為的中點，
，，
的直徑為，
，
根據(jù)勾股定理可得：．
故答案為：．
連接，，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．
本題主要考查垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確會出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解．
 16.【答案】 【解析】解：如圖所示，交于點，

由題意得，，，，，，
根據(jù)點是邊的中點，可得：
繞點順時針旋轉(zhuǎn)，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案為：．
交于點，由題意得，，，，，，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，即，，根據(jù)角之間的關(guān)系得是等腰直角三角形，即，問題隨之得解．
本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握含度角的直角三角形的性質(zhì)以及理解三角板中自帶的角度．
 17.【答案】解：，
，
則或，
解得，． 【解析】利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程，再進一步求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
 18.【答案】解：如圖，延長到點，使得，連接，
則即為所求．

≌，，
，
． 【解析】延長到點，使得，連接即可．
根據(jù)≌，得到，結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理計算即可．
本題考查的是作圖旋轉(zhuǎn)變換，涉及到三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：由表可知：拋物線經(jīng)過，，
該拋物線的對稱軸為直線：，
當(dāng)時，，
該拋物線頂點坐標為，
當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，
拋物線開口向下，
該拋物線對稱軸為直線，且經(jīng)過，
當(dāng)時，，即，
綜上：拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標，點坐標為． 【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得拋物線經(jīng)過，即可求出拋物線的對稱軸，進而得出頂點坐標，分析該拋物線的增減性，即可判斷開口方向．
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握熟練掌握二次函數(shù)的增減性，對稱性等知識點．
 20.【答案】 【解析】解男生人，女生人，
選人，則恰好選中女生的概率是．
故答案為：．
根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中符合題意的有種，
．
根據(jù)概率公式計算即可．
畫樹狀圖計算即可．
本題考查了概率公式計算，用畫樹狀圖法或列表法求概率，熟練掌握畫樹狀圖計算概率是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：如圖，點和即為所求；

證明：，為的中點，
，
為的半徑，
與邊相切；
解：設(shè)邊的中點為點，的半徑為，
，
，
，
在中，
，
，
解得：負值舍去，
即的半徑為． 【解析】作的平分線交于點，再以為半徑作，再根據(jù)等腰三角形 的性質(zhì)可得即可；
設(shè)邊的中點為點，的半徑為，可得，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．
本題主要考查的是作圖基本作圖，涉及到切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，作已知角的平分線，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：由題意可得，
賓館每個房間定價增加元后，這天游客租住了間房，每間房間的利潤是元，
由題意可得，，
解得，，
為正整數(shù)且，
，
答：賓館每天的收入為元時，；
設(shè)利潤為元，
由題意可得，
該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，
為正整數(shù)且，，
時取得最大值，此時，，
答：房價定為元時，賓館每天的利潤最大． 【解析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可知賓館每個房間定價增加元，也就會有個房間空閑，然后即可得到這天游客租住的房間數(shù)和每間房間的利潤；根據(jù)賓館每天的利潤能達到元可以列出相應(yīng)的方程，從而求出答案；
根據(jù)題意，可以得到利潤和之間的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到房價定為多少時，賓館每天的利潤最大．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 23.【答案】解：，
解得：，，
當(dāng)?shù)谌呴L是時，三角形三邊長為，，，

如圖，，，點為的外接圓，連接，，交于點，
點為的外接圓，，
垂直平分，
，
，
設(shè)，
，
，
解得：，
這個三角形的外接圓面積為；
當(dāng)?shù)谌呴L是時，三角形三邊長為，，，

如圖，，，，點為的外接圓，連接，
，，，，
，
，
點為的外接圓，
為圓的直徑，
，
這個三角形的外接圓面積為；
綜上所述，這個三角形的外接圓面積為或 【解析】利用因式分解法求出三角形的第三邊長，然后分兩種情況：當(dāng)?shù)谌呴L是時，當(dāng)?shù)谌呴L是時，結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)解答，即可．
本題主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圓，勾股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握解一元二次方程，三角形的外接圓，勾股定理，垂徑定理，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
，，
當(dāng)時，；

關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
點，
點，
，
點在點的左側(cè)，
，，
，點，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
，
，是定值．
，，
即，
，
面積的最小值為． 【解析】利用根的判別式計算即可；
根據(jù)方程確定點的橫坐標，判定點的位置，統(tǒng)一字母表示，確定直線的解析式，再確定點的坐標，計算的長即可；
根據(jù)，得到，即，結(jié)合，計算即可．
本題考查了一元二次方程根的判別式，求方程的解，一次函數(shù)的解析式，完全平方式的性質(zhì)，熟練掌握根的判別式，解析式的確定，完全平方式的非負性是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：連接，，

邊長為的正方形，直線與相切，為切點，
，，，
在和中，
，
≌，
．
如圖，連接，

設(shè)與半圓于點，當(dāng)點與點重合時，最短，
邊長為的正方形，
，，，
，
．
為直徑，
，，
是定值，
故的最小值，有的最小值確定，
點在半圓弧上，
在正方形中，只能是銳角三角形或者直角三角形，不可能是鈍角三角形，
，
當(dāng)且當(dāng)位于正方形對角線交點處時此時是直角三角形，取等號．
，
，
故的最小值為． 【解析】連接，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，證明≌即可．
設(shè)與半圓于點，當(dāng)點與點重合時，最短，運用勾股定理計算即可．
根據(jù)為直徑，則，，得到是定值，故的最小值，有的最小值確定，且當(dāng)位于正方形對角線交點處時，取得最小值．
本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 

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