有一個(gè)是正確的）
1．（3 分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）如圖，一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤中，紅、黃、藍(lán)三個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為60? ，90? ，210? ．讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是()
1
6
1
4
1
3
7
12
3．（3 分）將二次函數(shù) y ? x2 圖象向左平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)是()
A． y ? (x ? 1)2 ? 2
B． y ? (x ?1)2 ? 2
C． y ? (x ? 1)2 ? 2
D． y ? (x ?1)2 ? 2
4．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， CD 為弦， CD ? AB 于點(diǎn) E ，則下列結(jié)論中不成立的是()
?AC ? ?AD
B?C ? B?D
OE ? BE
CE ? DE
5．（3 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? m ? 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則()
m ? 1
m ? 1
m ? 0
D． 0 ? m ? 1
6．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑，點(diǎn)C ， D 在?O 上，若?ADC ? 130? ，則?BAC 的度數(shù)為()
A． 25?B． 30?C． 40?D． 50?
7．（3 分）如圖，已知 ?ABC ， D 、 E 分別在邊 AB 、 AC 上，下列條件中，不能確定
?ADE∽?ACB 的是()
A． ?AED ? ?B
C． AD?BC ? AC?DE
B． ?BDE ? ?C ? 180?
D． AD? AB ? AE? AC
8．（3 分）如圖，一次函數(shù) y ? ax ? b 與反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 的圖象交于點(diǎn) A(1, 2) ，
x
B(m, ?1) ．則關(guān)于 x 的不等式 ax ? b ? k 的解集是()
x
A． x ? ?2 或0 ? x ? 1
B． x ? ?1 或0 ? x ? 2
C． ?2 ? x ? 0 或 x ? 1 D．?1 ? x ? 0 或 x ? 2
9．（3 分）如圖為?ABC 的內(nèi)切圓，點(diǎn) D ， E 分別為邊 AB ， AC 上的點(diǎn)，且 DE 為?I 的切線，若?ABC 的周長(zhǎng)為 21， BC 邊的長(zhǎng)為 6，則?ADE 的周長(zhǎng)為()
A．15B．9C．7.5D．7
10．（3 分）已知二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖，其對(duì)稱軸為 x ? ?1 ，它與 x 軸的一個(gè)
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3 ，則一次函數(shù) y ? ax ? 2b 與反比例函數(shù) y ? c 在同一平面直角坐標(biāo)系中的
x
圖象大致是()
A．
B．
C． D．
二、填空題（本題有 6 個(gè)小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）二次函數(shù) y ? ?x2 ? 2x 的最大值為 ．
12．（3 分）如圖，樂器上的一根弦 AB 的長(zhǎng)度為30cm ，兩個(gè)端點(diǎn) A 、B 固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C 是弦 AB 靠近點(diǎn) B 的黃金分割點(diǎn)，則線段 AC 的長(zhǎng)度為 cm ．（結(jié)果保留根號(hào)，
參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)： 5 ? 1)
2
13．（3 分）如圖，點(diǎn) A 是反比例函數(shù) y ? 2 (x ? 0) 的圖象上任意一點(diǎn)， AB / / x 軸交反比例函
x
數(shù) y ? ? 3 的圖象于點(diǎn) B ，以 AB 為邊作平行四邊形 ABCD ，其中C 、D 在 x 軸上，則 S
x
為．
ABCD
14．（3 分）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是直角邊長(zhǎng)為 2 的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為 ．（結(jié)果保留?)
15．（3 分）如圖，BE 是?ABC 的中線，點(diǎn) F 在 BE 上，延長(zhǎng) AF 交 BC 于點(diǎn) D ．若 BF ? 3FE ，則 BD ?．
DC
16．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 、CEFG 都是正方形，點(diǎn)G 在線段CD 上，連接 BG 、DE ，
DE 和 FG 相交于點(diǎn) O ， 設(shè) AB ? a ， CG ? b(a ? b) ． 下列結(jié)論： ① ?BCG ? ?DCE ； ②
BG ? DE ；③ DG ? GO ；④ (a ? b)2 ? S
GCCE
?EFO
? b2 ? S
?DGO
．其中結(jié)論正確的是．
三、解答題（本題有 9 小題，共 72 分，解答要求寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或計(jì)算步驟）
17．（4 分）如圖，若?ADE ? ?B ， ?BAD ? ?CAE ．求證： ?ADE∽?ABC ．
18．（4 分）如圖， AB 是?O 的直徑， AC 的中點(diǎn) D 在?O 上， DE ? BC 于 E ．求證： DE是?O 的切線．
19．（6 分）先化簡(jiǎn)，再求值： (m ? 4m ? 4) ? m ? 2 ，其中 m 是方程 2x2 ? 4x ?1 ? 0 的根．
mm2
20．（6 分）已知一艘輪船上裝有 100 噸貨物，輪船到達(dá)目的地后開始卸貨．設(shè)平均卸貨速度為 v （單位：噸/ 小時(shí)），卸完這批貨物所需的時(shí)間為t （單位：小時(shí)）．
求v 關(guān)于t 的函數(shù)表達(dá)式．
若要求不超過(guò) 5 小時(shí)卸完船上的這批貨物，那么平均每小時(shí)至少要卸貨多少噸？
21．（8 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2, ?4) ，B(3, ?2) ，C(6, ?3) ．
畫出?ABC 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的△ A1 B1C1 ；
以 M 點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△ A1 B1C1 的位似圖形△ A2 B2C2 ，使△ A2 B2C2 與△
A1B1C1 的相似比為2 :1 ．
22．（10 分）為了弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大成就，某校九年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并設(shè)立了以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家名字命名的四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)：“祖沖之獎(jiǎng)”、“劉徽獎(jiǎng)”、“趙爽獎(jiǎng)”、“秦九韶獎(jiǎng)”．根據(jù)獲獎(jiǎng)情況繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
獲最高獎(jiǎng)項(xiàng)“祖沖之獎(jiǎng)”的學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：
根據(jù)圖形信息，解答下列問題：
獲得“秦九韶獎(jiǎng)”的學(xué)生有多少人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
獲得“祖沖之獎(jiǎng)”的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分；
若從獲得“祖沖之獎(jiǎng)”且得分為 95 分的甲，乙，丙，丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取 2 名參加市級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
分?jǐn)?shù)/ 分
80
85
90
95
人數(shù)/ 人
4
2
10
4
23．（10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABCD 的頂點(diǎn) D 在 y 軸上， A ，C 兩點(diǎn)的坐
標(biāo)分別為(4, 0) ，(4, m) ，直線CD : y ? ax ? b(a ? 0) 與反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 的圖象交于C ，
x
P(?8, ?2) 兩點(diǎn)．
求該反比例函數(shù)的解析式及 m 的值；
判斷點(diǎn) B 是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．
24．（12 分）如圖，拋物線 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 2 與 x 軸交于 A 、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左邊），
22
與 y 軸交于點(diǎn)C ，連接 BC ．
求點(diǎn) A 、 B 、C 的坐標(biāo)；
設(shè) x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為t ，過(guò)點(diǎn) P 作直線 PN ? x 軸，交拋物線于點(diǎn) N ，交直線 BC 于點(diǎn) M ．
①當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，設(shè) MN 的長(zhǎng)度為 s ，求 s 與t 的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)點(diǎn) P 在線段OB 上時(shí)，是否存在點(diǎn) P ，使得以O(shè) 、P 、N 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與?COB
相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（12 分）如圖①，已知?O 是?ABC 的外接圓，?ABC ? ?ACB ? ?(45? ? ?? 90? ， D 為
?AB 上一點(diǎn)，連接CD 交 AB 于點(diǎn) E ．
連接 BD ，若?CDB ? 40? ，求?的大?。?br>如圖②，若點(diǎn) B 恰好是C?D 中點(diǎn)，求證： CE 2 ? BE ? BA ；
如圖③，將CD 分別沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，連接 MN ，若CD 為直徑，請(qǐng)問 AB 是否為定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
MN
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)華南師大附中九年級(jí)（上） 期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有 10 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 30 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）
1．（3 分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B． C． D．
【解答】解： A ．該圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B ．該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意； C ．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意； D ．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意． 故選： B ．
2．（3 分）如圖，一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤中，紅、黃、藍(lán)三個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為60? ，90? ，210? ．讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是()
1
6
1
4
1
3
7
12
【解答】解：?黃扇形區(qū)域的圓心角為90? ，
所以黃區(qū)域所占的面積比例為 90 ? 1 ，
3604
即轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤一次，指針停在黃區(qū)域的概率是 1 ，
4
故選： B ．
3．（3 分）將二次函數(shù) y ? x2 圖象向左平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)是()
A． y ? (x ? 1)2 ? 2
B． y ? (x ?1)2 ? 2
C． y ? (x ? 1)2 ? 2
D． y ? (x ?1)2 ? 2
【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為(0, 0) ，向左平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位，那么新
拋物線的頂點(diǎn)為(?1, ?2) ，
可設(shè)新拋物線的解析式為： y ? (x ? h)2 ? k ， 代入得： y ? (x ? 1)2 ? 2 ．
?所得圖象的解析式為： y ? (x ? 1)2 ? 2 ；
故選： C ．
4．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， CD 為弦， CD ? AB 于點(diǎn) E ，則下列結(jié)論中不成立的是()
?AC ? ?AD
B?C ? B?D
OE ? BE
CE ? DE
【解答】解：如圖，? AB 是?O 的直徑， CD 是弦， CD ? AB 于點(diǎn) E ，
?弧 BD ? 弧 BC ，弧 AC ? 弧 AD ， CE ? DE ，
?選項(xiàng) A 、 B 、 D 正確，不符合題意；
OE 和 BE 的大小關(guān)系不能證明，故選項(xiàng)C 符合題意； 故選： C ．
5．（3 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? m ? 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則()
m ? 1
m ? 1
m ? 0
D． 0 ? m ? 1
【解答】解：根據(jù)題意得△ ? (?2)2 ? 4m ? 0 ，
解得 m ? 1． 故選： A ．
6．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑，點(diǎn)C ， D 在?O 上，若?ADC ? 130? ，則?BAC 的度
數(shù)為()
A． 25?B． 30?C． 40?D． 50?
【解答】解：?四邊形 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，
??ADC ? ?B ? 180? ，
??ADC ? 130? ，
??B ? 180? ? 130? ? 50? ，
? AB 是?O 的直徑，
??ACB ? 90? ，
??BAC ? 90? ? ?B ? 40? ． 故選： C ．
7．（3 分）如圖，已知 ?ABC ， D 、 E 分別在邊 AB 、 AC 上，下列條件中，不能確定
?ADE∽?ACB 的是()
?AED ? ?B
?BDE ? ?C ? 180?C．AD?BC ? AC?DE
D． AD? AB ? AE? AC
【解答】解： A 、由?AED ? ?B ， ?A ? ?A ，則可判斷?ADE∽?ACB ；
B 、由?BDE ? ?C ? 180? ， ?ADE ? ?BDE ? 180? ，得?ADE ? ?C ， ?A ? ?A ，則可判斷
?ADE∽?ACB ；
C 、由 AD?BC ? AC?DE ，得 AD ? DE 不能判斷?ADE∽?ACB ；
ACBC
D 、由 AD? AB ? AE? AC 得 AD ? AE ， ?A ? ?A ，故能確定?ADE∽?ACB ，
ACAB
故選： C ．
8．（3 分）如圖，一次函數(shù) y ? ax ? b 與反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 的圖象交于點(diǎn) A(1, 2) ，
x
B(m, ?1) ．則關(guān)于 x 的不等式 ax ? b ? k 的解集是()
x
A． x ? ?2 或0 ? x ? 1 B． x ? ?1 或0 ? x ? 2
【解答】解：? A(1, 2) 在反比例函數(shù)圖象上，
? k ? 1? 2 ? 2 ，
?反比例函數(shù)解析式為 y ? 2 ，
x
? B(m, ?1) 在反比例函數(shù)圖象上，
C． ?2 ? x ? 0 或 x ? 1 D．?1 ? x ? 0 或 x ? 2
? m ?
2 ? ?2 ，
?1
? B(?2, ?1) ，
由題意得關(guān)于 x 的不等式 ax ? b ? k 的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變
x
量的取值范圍，
?關(guān)于 x 的不等式 ax ? b ? k 的解集為?2 ? x ? 0 或 x ? 1 ，
x
故選： C ．
9．（3 分）如圖為?ABC 的內(nèi)切圓，點(diǎn) D ， E 分別為邊 AB ， AC 上的點(diǎn)，且 DE 為?I 的切線，若?ABC 的周長(zhǎng)為 21， BC 邊的長(zhǎng)為 6，則?ADE 的周長(zhǎng)為()
A．15B．9C．7.5D．7
【解答】解：??ABC 的周長(zhǎng)為 21， BC ? 6 ，
? AC ? AB ? 21 ? 6 ? 15 ，
設(shè)?I 與?ABC 的三邊 AB 、 BC 、 AC 的切點(diǎn)為 M 、 N 、Q ，切 DE 為 P ，
? DM ? DP ， BN ? BM ， CN ? CQ ， EQ ? EP ，
? BM ? CQ ? BN ? CN ? BC ? 6 ，
??ADE 的周長(zhǎng)? AD ? DE ? AE ? AD ? AE ? DP ? PE
? AD ? DM ? AE ? EQ
? AB ? BM ? AC ? CQ
? AC ? AB ? (BM ? CQ)
? 15 ? 6 ? 9 ， 故選： B ．
10．（3 分）已知二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖，其對(duì)稱軸為 x ? ?1 ，它與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3 ，則一次函數(shù) y ? ax ? 2b 與反比例函數(shù) y ? c 在同一平面直角坐標(biāo)系中的
x
圖象大致是()
A．
B．
C． D．
【解答】解：?二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象開口向下，
? a ? 0 ，
?其對(duì)稱軸為 x ? ?1 ，即? b
2a
? ?1，
?b ? 2a ，
?b ? 0 ，
?圖象與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸正半軸，
? c ? 0 ，
?一次函數(shù) y ? ax ? 2b 的圖象過(guò)一、二、四象限，
反比例函數(shù) y ? c 的圖象過(guò)一、三象限，
x
由圖象可知，二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象過(guò)點(diǎn)(?3, 0) ，
? 0 ? 9a ? 3b ? c ，
? b ? 2a ，
?9a ? 6a ? c ? 0 ，
? c ? ?3a ，
令 c ? ax ? 2b ，
x
? ax2 ? 2bx ? c ? 0 ， 即 ax2 ? 4ax ? 3a ? 0 ，
?△ ? (?4a)2 ? 4 ? a ? 3a ? 4a2 ? 0 ，
?一次函數(shù) y ? ax ? 2b 與反比例函數(shù) y ? c 有兩個(gè)交點(diǎn)．
x
綜上，一次函數(shù) y ? ax ? 2b 的圖象過(guò)一、二、四象限，反比例函數(shù) y ? c 的圖象過(guò)一、三象
x
限，且一次函數(shù) y ? ax ? 2b 與反比例函數(shù) y ? c 有兩個(gè)交點(diǎn)．
x
故選： C ．
二、填空題（本題有 6 個(gè)小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）二次函數(shù) y ? ?x2 ? 2x 的最大值為 1．
【解答】解：? y ? ?x2 ? 2x ? ?(x ? 1)2 ? 1 ，
?當(dāng) x ? ?1 時(shí)， y 有最大值為 1．
故答案為：1．
12．（3 分）如圖，樂器上的一根弦 AB 的長(zhǎng)度為30cm ，兩個(gè)端點(diǎn) A 、B 固定在樂器板面上，
5
支撐點(diǎn)C 是弦 AB 靠近點(diǎn) B 的黃金分割點(diǎn)，則線段 AC 的長(zhǎng)度為(15
果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)： 5 ? 1)
2
【解答】解：?點(diǎn)C 是弦 AB 靠近點(diǎn) B 的黃金分割點(diǎn)， AB ? 30cm ，
? 15) cm ．（結(jié)
? AC ?
5 ?1 AB ?
5 ?1 ? 30 ? (15 5 ? 15)(cm ) ，
22
5
故答案為： (15
?15) ．
13．（3 分）如圖，點(diǎn) A 是反比例函數(shù) y ? 2 (x ? 0) 的圖象上任意一點(diǎn)， AB / / x 軸交反比例函
x
數(shù) y ? ? 3 的圖象于點(diǎn) B ，以 AB 為邊作平行四邊形 ABCD ，其中C 、D 在 x 軸上，則 S
x
為 5．
【解答】解：設(shè)點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為b ， 所以， 2 ? b ，
x
ABCD
解得 xA
? 2 ，
b
? AB / / x 軸，
?點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為? 3 ? b ，
x
解得 xB
? ? 3 ，
b
? AB ? 2 ? (? 3) ? 5 ，
bbb
? S? ABCD
? 5 ? b ? 5 ．
b
故答案為：5．
14．（3 分）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是直角邊長(zhǎng)為 2 的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為 2 2? ．（結(jié)果保留?)
【解答】解：?某圓錐的主視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為 2 的等腰直角三角形，
2
?斜邊長(zhǎng)為 2，
則底面圓的周長(zhǎng)為 2 2?，
?該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為 2 2?，
故答案為 2 2?．
15．（3 分）如圖，BE 是?ABC 的中線，點(diǎn) F 在 BE 上，延長(zhǎng) AF 交 BC 于點(diǎn) D ．若 BF ? 3FE ，
則 BD ?3．
DC2
【解答】解：如圖，? BE 是?ABC 的中線，
?點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)，
? AE ? 1 ，
AC2
過(guò)點(diǎn) E 作 EG / / DC 交 AD 于G ，
??AGE ? ?ADC ， ?AEG ? ?C ，
??AGE∽?ADC ，
? GE ? AE ? 1 ，
DCAC2
? DC ? 2GE ，
? BF ? 3FE ，
? EF ? 1 ，
BF3
?GE / / BD ，
??GEF ? ?FBD ， ?EGF ? ?BDF ，
??GFE∽?DFB ，
? GE ? EF ? 1 ，
DBBF3
? DC ? 2 ，
DB3
? BD ? 3 ，
DC2
故答案為： 3 ．
2
16．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 、CEFG 都是正方形，點(diǎn)G 在線段CD 上，連接 BG 、DE ，
DE 和 FG 相交于點(diǎn) O ， 設(shè) AB ? a ， CG ? b(a ? b) ． 下列結(jié)論： ① ?BCG ? ?DCE ； ②
BG ? DE ；③ DG ? GO ；④ (a ? b)2 ? S
GCCE
?EFO
? b2 ? S
?DGO
．其中結(jié)論正確的是①②④ ．
【解答】解：①?四邊形 ABCD 和四邊形CEFG 是正方形，
? BC ? DC ， CG ? CE ， ?BCD ? ?ECG ? 90? ，
??BCG ? ?DCE ， 在?BCG 和?DCE 中，
?BD ? CD
?
??BCG ? ?DCE ，
?
?CG ? CE
??BCG ? ?DCE (SAS ) ， 故①正確；
②延長(zhǎng) BG 交 DE 于點(diǎn) H ，
??BCG ? ?DCE ，
??CBG ? ?CDE ，
又??CBG ? ?BGC ? 90? ，
??CDE ? ?DGH ? 90? ，
??DHG ? 90? ，
? BH ? DE ；
? BG ? DE ． 故②正確；
③? DC / / EF ，
??GDO ? ?OEF ，
??GOD ? ?FOE ，
??OGD∽?OFE ，
? S?DGO ? (
DG )2 ? (
a ? b )2
(a ? b)2
?
，
S?EFOEF
bb2
EFO?DGO
?(a ? b)2 ? S?? b2 ? S． 故④正確；
故答案為：①②④．
三、解答題（本題有 9 小題，共 72 分，解答要求寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或計(jì)算步驟）
17．（4 分）如圖，若?ADE ? ?B ， ?BAD ? ?CAE ．求證： ?ADE∽?ABC ．
【解答】證明：??BAD ? ?CAE ，
??BAD ? ?BAE ? ?BAE ? ?CAE ，
??DAE ? ?BAC ，
??ADE ? ?B ，
??ADE∽?ABC ．
18．（4 分）如圖， AB 是?O 的直徑， AC 的中點(diǎn) D 在?O 上， DE ? BC 于 E ．求證： DE是?O 的切線．
【解答】證明：連接OD ，
? AO ? OB ， D 為 AC 的中點(diǎn)，
?OD / / BC ，
? DE ? BC ，
? DE ? OD ，
? OD 是?O 的半徑，
? DE 是?O 的切線．
19．（6 分）先化簡(jiǎn)，再求值： (m ? 4m ? 4) ? m ? 2 ，其中 m 是方程2x2 ? 4x ?1 ? 0 的根．
mm2
【解答】解：原式
m2 ? 4m ? 4m2
?
?

?
(m ? 2)2m2
?

mm ? 2
mm ? 2
? m2 ? 2m ．
? m 是方程2x2 ? 4x ?1 ? 0 的根，
? 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 ．
? m2 ? 2m ? 1 ，
2
?原式? 1 ．
2
20．（6 分）已知一艘輪船上裝有 100 噸貨物，輪船到達(dá)目的地后開始卸貨．設(shè)平均卸貨速度為 v （單位：噸/ 小時(shí)），卸完這批貨物所需的時(shí)間為t （單位：小時(shí)）．
求v 關(guān)于t 的函數(shù)表達(dá)式．
若要求不超過(guò) 5 小時(shí)卸完船上的這批貨物，那么平均每小時(shí)至少要卸貨多少噸？
【解答】解：（1）由題意可得：100 ? vt ，
則v ? 100 (t ? 0) ；
t
（2）?不超過(guò) 5 小時(shí)卸完船上的這批貨物，
?t?5 ，
則v?100 ? 20 ，
5
答：平均每小時(shí)至少要卸貨 20 噸．
21．（8 分）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2, ?4) ，B(3, ?2) ，C(6, ?3) ．
畫出?ABC 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的△ A1 B1C1 ；
以 M 點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△ A1 B1C1 的位似圖形△ A2 B2C2 ，使△ A2 B2C2 與△
A1B1C1 的相似比為2 :1 ．
【解答】解：（1）如圖所示：△ A1 B1C1 ，即為所求；
（2）如圖所示：△ A2 B2C2 ，即為所求．
22．（10 分）為了弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大成就，某校九年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并設(shè)立了以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家名字命名的四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)：“祖沖之獎(jiǎng)”、“劉徽獎(jiǎng)”、“趙爽獎(jiǎng)”、“秦九韶獎(jiǎng)”．根據(jù)獲獎(jiǎng)情況繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
獲最高獎(jiǎng)項(xiàng)“祖沖之獎(jiǎng)”的學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：
根據(jù)圖形信息，解答下列問題：
獲得“秦九韶獎(jiǎng)”的學(xué)生有多少人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
獲得“祖沖之獎(jiǎng)”的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是 90分，眾數(shù)是分；
若從獲得“祖沖之獎(jiǎng)”且得分為 95 分的甲，乙，丙，丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取 2 名參加市級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次獲獎(jiǎng)人數(shù)有： 20 ?10% ? 200 （人) ，
則獲得“秦九韶獎(jiǎng)”的人數(shù)有 200 ? 46% ? 92 （人) ．
則劉徽獎(jiǎng)的人數(shù)為 200 ? (1 ? 24% ? 46% ?10%) ? 40 （人) ， 補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如解圖所示：
獲得“祖沖之獎(jiǎng)”的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是 90 分，眾數(shù)是 90 分； 故答案為：90，90；
分?jǐn)?shù)/ 分
80
85
90
95
人數(shù)/ 人
4
2
10
4
樹狀圖如圖所示，
?從四人中隨機(jī)抽取兩人共有 12 種情況，并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，恰好是甲和乙
的有 2 種可能，分別是（甲，乙），（乙，甲）．
?抽取兩人恰好是甲和乙的概率是 2 ? 1 ．
126
23．（10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABCD 的頂點(diǎn) D 在 y 軸上， A ，C 兩點(diǎn)的坐
標(biāo)分別為(4, 0) ，(4, m) ，直線CD : y ? ax ? b(a ? 0) 與反比例函數(shù) y ? k (k ? 0) 的圖象交于C ，
x
P(?8, ?2) 兩點(diǎn)．
求該反比例函數(shù)的解析式及 m 的值；
判斷點(diǎn) B 是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）把 P(?8, ?2) 代入 y ? k 得：
x
?2 ? k ，
?8
解得 k ? 16 ，
?反比例函數(shù)的解析式為 y ? 16 ，
x
? C(4, m) 在反比例函數(shù) y ? 16 的圖象上，
x
? m ? 16 ? 4 ；
4
?反比例函數(shù)的解析式為 y ? 16 ， m ? 4 ；
x
（2） B 在反比例函數(shù) y ? 16 的圖象上，理由如下：
x
連接 AC ， BD 交于 H ，如圖：
把C(4, 4) ， P(?8, ?2) 代入 y ? ax ? b 得：
?4a ? b ? 4
?
??8a ? b ? ?2 ，
?
?a ? 1
解得?2 ，
??b ? 2
?直線CD 的解析式是 y ? 1 x ? 2 ，
2
在 y ? 1 x ? 2 中，令 x ? 0 得 y ? 2 ，
2
? D(0, 2) ，
?四邊形 ABCD 是菱形，
? H 是 AC 中點(diǎn)，也是 BD 中點(diǎn)， 由 A(4, 0) ， C(4, 4) 可得 H (4, 2) ，
設(shè) B( p, q) ，
? D(0, 2) ，
? p ? 0 ? 4
? ? 2，
?
? q ? 2
? 2
?? 2
?q ? 2
解得? p ? 8 ，
?
? B(8, 2) ，
在 y ? 16 中，令 x ? 8 得 y ? 2 ，
x
? B 在反比例函數(shù) y ? 16 的圖象上．
x
24．（12 分）如圖，拋物線 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 2 與 x 軸交于 A 、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左邊），
22
與 y 軸交于點(diǎn)C ，連接 BC ．
求點(diǎn) A 、 B 、C 的坐標(biāo)；
設(shè) x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為t ，過(guò)點(diǎn) P 作直線 PN ? x 軸，交拋物線于點(diǎn) N ，交直線 BC 于點(diǎn) M ．
①當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，設(shè) MN 的長(zhǎng)度為 s ，求 s 與t 的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)點(diǎn) P 在線段OB 上時(shí)，是否存在點(diǎn) P ，使得以O(shè) 、P 、N 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與?COB
相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）?點(diǎn) A 、 B 、C 在二次函數(shù)圖象上，
?把 x ? 0 代入 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 2 ，得 y ? 2 ，
22
把 y ? 0 代入 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 2 ，得 x ? ?1 ， x ? 4 ，
2212
? A(?1, 0) ， B(4, 0) ， C(0, 2) ；
（2）①設(shè)直線 BC 的解析式為 y ? kx ? b(k ? 0) ，
?b ? 2
把 B(4, 0) ， C(0, 2) 代入，得?4k ? b ? 0 ，
?
?
?k ? ? 1
解得： ?2 ，
??b ? 2
?直線 BC 的解析式為 y ? ? 1 x ? 2 ，
2
?OP ? t ，
? P(t, 0) ， M (t, ? 1 t ? 2) ， N (t, ? 1 t 2 ? 3 t ? 2) ，如圖：
222
? S ? N P ? M P ? ? 1 t 2 ? 3 t ? 2 ? (? 1 t ? 2) ? ? 1 t 2 ? 2t(0 ? t ? 4) ，
11 11 1
S2 ? M 2 P2 ? N2 P2
2222
? ? 1 t ? 2 ? (? 1 t 2 ? 3 t ? 2) ? 1 t 2 ? 2t(?1 ? t ? 0) ，
2222
? 1 t 2 ? 2t(?1 ? t ? 0)
即 S ? ? 2；
1
?
?
?? t 2 ? 2t(0 ? t ? 4)
? 2
②存在，理由： 如圖：
若?OPN∽?COB ，當(dāng)OP 與OC 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則 OP ? NP ，
COBO
即 1 t ?
? 1 t 2 ? 3 t ? 2
22，
24
化簡(jiǎn)得： t 2 ? t ? 4 ? 0 ，
解得： t ? ?1 ?
2
17 （舍去負(fù)值），
若?OPN∽?BOC ，當(dāng)OP 與OB 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則 OP ? PN ，
BOCO
即 t ?
? 1 t 2 ? 3 t ? 2
22，
42
5
化簡(jiǎn)得： t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ，
5
解得： t ? 1 ?，（舍去負(fù)值），
?符合題意的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ?1 ?
2
17 ， 0) 和(1 ?， 0) ．
25．（12 分）如圖①，已知?O 是?ABC 的外接圓，?ABC ? ?ACB ? ?(45? ? ?? 90? ， D 為
?AB 上一點(diǎn)，連接CD 交 AB 于點(diǎn) E ．
連接 BD ，若?CDB ? 40? ，求?的大??；
如圖②，若點(diǎn) B 恰好是C?D 中點(diǎn)，求證： CE 2 ? BE ? BA ；
如圖③，將CD 分別沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，連接 MN ，若CD 為直徑，請(qǐng)問 AB 是否為定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
MN
【解答】解：（1）? B?C ? B?C ，
??CAB ? ?CDB ? 40? ，
??ABC ? ?ACB ? ?CAB ? 180? ， ?ABC ? ?ACB ? ?，
??? 1 ? (180? ? 40?) ? 70? ；
2
證明：?點(diǎn) B 是C?D 的中點(diǎn)，
? B?D ? B?C ，
??DCB ? ?A ，
??ABC ? ?CBE ，
??BCE∽?BAC ，
? BC ? BE ，
BABC
? BC 2 ? BE ? BA ，
??ACB ? ?ACD ? ?BCD ， ?BEC ? ?ACD ? ?A ， ?BCD ? ?A ，
??ABC ? ?ACB ? ?BEC ，
? CB ? CE ，
?CE 2 ? BE ? BA ；
是定值．
方法一：?將CD 分別沿 BC 、 AC 翻折得到CM 、CN ，
??DCN ? 2?DCA ， ?DCM ? 2?DCB ， CN ? CD ? CM ? 2r ，
??MCN ? 2?ACB ? 2?，
過(guò)點(diǎn)C 作CQ ? MN 于點(diǎn)Q ，則 MN ? 2NQ ， ?NCQ ? 1 ?MCN ? ?， ?CQN ? 90? ，
2
連接 AO 并延長(zhǎng)交?O 于點(diǎn) P ，連接 BP ，則?ABP ? 90? ，
? ?AB ? A?B ，
??P ? ?ACB ? ?NCQ ? ?，
? AP ? CN ， ?ABP ? 90? ? ?NQC ，
??ABP ? ?NQC (AAS ) ，
? AB ? NQ ? 1 MN ，
2
? AB ? 1 ， AB 為定值．
MN2MN
方法二：連接OA ， OB ，
則OA ? OB ? r ， CN ? MC ? CD ? 2r ，
??AOB ? 2?ACB ? ?MCN ? 2?， OA ? OB
CNCM
? 1 ，
2
??CNM ∽?OAB ，
? AB MN
? 1 ．
2

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