1．（3 分）近幾年我國(guó)國(guó)產(chǎn)汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，下列汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是() A．拋擲一枚硬幣四次，有兩次正面朝上B．打開(kāi)電視頻道，正在播放《今日在線》C．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)
D．方程 x2 ? x ? 0 必有實(shí)數(shù)根
3．（3 分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P(?2, 3) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A． (3, ?2)
B． (2,3)C． (?2, ?3)
D． (2, ?3)
4．（3 分）如圖， ?A 是?O 的圓周角， ?A ? 50? ，則?BOC 的度數(shù)為()
A． 40?B． 50?C．100?D．130? 5．（3 分）拋物線 y ? ? 1 (x ? 2)2 ? 1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()
2
A． (?2, ?1)
B． (?2,1)
C． (2, ?1)
D． (2,1)
6．（3 分）如圖，把 ?OAB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60? ，得到 ?OCD ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
BD ? OB
AB ? OC
?A ? ?C
?AOC ? ?BOD
7．（3 分）已知實(shí)數(shù) x1 ， x2 滿足 x1 ? x2 ? 7 ， x1 x2 ? 12 ，則以 x1 ， x2 為根的一元二次方程是()
A． x2 ? 7x ?12 ? 0
B． x2 ? 7x ?12 ? 0
C． x2 ? 7x ?12 ? 0
D． x2 ? 7x ?12 ? 0
8．（3 分）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm 和5cm ，弦 AB 與小圓相切于點(diǎn)C ，則 AB ? (
)
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD． 8cm 9．（3 分）一個(gè)圓的半徑為 4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為()
2
A．2B． 2
C． 4
D．8
2
10．（3 分）二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線 x ? ?1 ，則下列說(shuō)法：
① abc ? 0 ；② 2a ? b ? 0 ；③ 4ac ? b2 ④ a ? b ? c ? 2 ．其中正確的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分.）
1
11．（3 分）已知 x ? 1 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? a ? 0 的一個(gè)根，則常數(shù) a 的值是 ．
12．（3 分）一個(gè)不透明的袋子里裝有形狀、大小相同的 4 個(gè)白球和 2 個(gè)紅球，從袋子中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是．
13．（3 分）已知關(guān)于 x 的方程 x2 ? 2x ? m ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是 ．
14．（3 分）如圖，直線 y ? x ? 1 與拋物線 y ? x2 ? 3x ? 2 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1, 0) 和 B(3, 2) ，則不等
式 x ? 1 ? x2 ? 3x ? 2 的解集是．
15．（3 分）如圖，從一塊邊長(zhǎng)為 12 的等邊三角形卡紙上剪下一個(gè)面積最大的扇形，并將其圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是．
16．（3 分）如圖，線段 BC 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在 x 軸和直線l 上滑動(dòng)（均不與原點(diǎn)O 重合），
??? 60? ，BC ? 2 ，作 BP ? x 軸，CP ? l ，交點(diǎn)為 P ，設(shè) P 的坐標(biāo)為( p, q) ，則 p2 ? q2 ?．
三、解答題（本大題共 9 小題，共 72 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 4x ? 3 ? 0 ．
18．（4 分）如圖， ?O 中，弧 AB ? 弧 AC ， ?C ? 70? ，求?A 的度數(shù)．
19．（6 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， ?OAB 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, ?3) ．將?OAB 繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 得到△ OA?B? ，點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A? ．
畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△ OA?B? ，并寫出點(diǎn) B? 的坐標(biāo)；
在（1）的條件下，求點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留?) ．
20．（6 分）兩個(gè)相鄰正奇數(shù)的積為 143，求這兩個(gè)正奇數(shù)．
21．（8 分）如圖，已知?O 為Rt?ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為 D ， E ， F ，且?C ? 90? ，
AB ? 13 ， BC ? 12 ．
求 BF 的長(zhǎng)；
求?O 的半徑 r ．
22．（10 分）在甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有 3 個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字
0，1，2；乙袋中裝有 3 個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字?1 ， ?2 ，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為 x ，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為 y ，確定點(diǎn) M 坐標(biāo)為(x, y) ．
用樹狀圖或列表法列舉點(diǎn) M 所有可能的坐標(biāo)；
求點(diǎn) M (x, y) 在函數(shù) y ? ?x ? 1的圖象上的概率．
2
23．（10 分）如圖， ?ACE 是等腰直角三角形， ?ACE ? 90? ， AC ? 4
， B 為 AE 邊上一
點(diǎn)，連接 BC ，將?ABC 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)到?EDC 的位置．
若?ACB ? 20? ，求?CDE 的度數(shù)；
連接 BD ，求 BD 長(zhǎng)的最小值．
24．（12 分）如圖，直角梯形 ABCD 中， ?A ? ?B ? 90? ， AB ? 12 ， CD ? AD ? BC ．
尺規(guī)作出以 AB 為直徑的圓?O （保留作圖痕跡，不寫作法）；
判斷CD 與?O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
設(shè) AD ? x ， BC ? y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式．
25．（12 分）如圖，二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象交 x 軸于 A(?1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 軸于
C(0, ?2) ．
求二次函數(shù)的解析式；
點(diǎn) P 在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，且使| PB ? PC | 最大，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；
若點(diǎn) M 為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形
ACMB 的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)及四邊形 ACMB 面積的最大值．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分.）
1．（3 分）近幾年我國(guó)國(guó)產(chǎn)汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，下列汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B 、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C 、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D 、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意． 故選： D ．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是()
A．拋擲一枚硬幣四次，有兩次正面朝上B．打開(kāi)電視頻道，正在播放《今日在線》C．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)
D．方程 x2 ? x ? 0 必有實(shí)數(shù)根
【解答】解： A 、拋擲一枚硬幣，四次中有兩次正面朝上是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B 、打開(kāi)電視頻道，正在播放《今日在線》是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C 、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D 、方程 x2 ? x ? 0 必有實(shí)數(shù)根是必然事件，故本選項(xiàng)正確； 故選： D ．
3．（3 分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P(?2, 3) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A． (3, ?2)
B． (2,3)C． (?2, ?3)
D． (2, ?3)
【解答】解：點(diǎn) P(?2, 3) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2, ?3) ． 故選： D ．
4．（3 分）如圖， ?A 是?O 的圓周角， ?A ? 50? ，則?BOC 的度數(shù)為()
A． 40?B． 50?C．100?D．130?
【解答】解：??A ? 50? ，
??BOC ? 2?A ? 100? ． 故選： C ．
5．（3 分）拋物線 y ? ? 1 (x ? 2)2 ? 1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()
2
A． (?2, ?1)
B． (?2,1)
C． (2, ?1)
D． (2,1)
【解答】解：因?yàn)?y ? ? 1 (x ? 2)2 ? 1 是拋物線的頂點(diǎn)式，
2
根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1) ， 故選： D ．
6．（3 分）如圖，把 ?OAB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60? ，得到 ?OCD ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
BD ? OB
AB ? OC
?A ? ?C
?AOC ? ?BOD
【解答】解：??OAB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60? 得到?OCD ，
??A ? ?C ， ?AOC ? ?BOD ， AB ? CD ， OB ? OD ，
??BOD ? 60? ，
? BD ? OB ． 故選： B ．
7．（3 分）已知實(shí)數(shù) x1 ， x2 滿足 x1 ? x2 ? 7 ， x1 x2 ? 12 ，則以 x1 ， x2 為根的一元二次方程是()
A． x2 ? 7x ?12 ? 0
B． x2 ? 7x ?12 ? 0
C． x2 ? 7x ?12 ? 0
D． x2 ? 7x ?12 ? 0
【解答】解：以 x ， x 為根的一元二次方程 x2 ? 7x ?12 ? 0 ，
12
故選： A ．
8．（3 分）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm 和5cm ，弦 AB 與小圓相切于點(diǎn)C ，則 AB ? (
)
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD． 8cm
【解答】解：連接OA ， OC ，
? AB 與小圓相切，
?OC ? AB ，
? C 為 AB 的中點(diǎn)，即 AC ? BC ? 1 AB ，
2
在Rt?AOC 中， OA ? 5cm ， OC ? 3cm ，
OA2 ? OC2
根據(jù)勾股定理得： AC ? 則 AB ? 2 AC ? 8cm ． 故選： D ．
? 4cm ，
9．（3 分）一個(gè)圓的半徑為 4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為()
2
A．2B． 2
C． 4
D．8
2
【解答】解：如圖所示： ?O 的半徑為 4，
?四邊形 ABCD 是正方形， ?B ? 90? ，
? AC 是?O 的直徑，
? AC ? 2 ? 4 ? 8 ，
? AB2 ? BC 2 ? AC 2 ， AB ? BC ，
? AB2 ? BC 2 ? 64 ，
2
解得： AB ? 4，
2
即?O 的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于 4．
故選： C ．
10．（3 分）二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線 x ? ?1 ，則下列說(shuō)法：
① abc ? 0 ；② 2a ? b ? 0 ；③ 4ac ? b2 ④ a ? b ? c ? 2 ．其中正確的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：?拋物線開(kāi)口向下，
? a ? 0 ，
?拋物線的對(duì)稱軸為直線 x ? ? b
2a
? ?1 ，
?b ? 2a ? 0 ，
?拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，
? c ? 0 ，
? abc ? 0 ，所以①正確；
? b ? 2a ，
? 2a ? b ? 0 ， 所以②錯(cuò)誤；
?拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)，
?△ ? b2 ? 4ac ? 0 ，所以③錯(cuò)誤；
?拋物線開(kāi)口向下， x ? ?1 是對(duì)稱軸，所以 x ? ?1 對(duì)應(yīng)的 y 值是最大值，
? a ? b ? c ? 2 ，所以④正確．
故選： B ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分.）
1
11．（3 分）已知 x ? 1 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? a ? 0 的一個(gè)根，則常數(shù) a 的值是 1．
1
【解答】解：? x ? 1是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? a ? 0 的一個(gè)根，
?12 ? a ? 0 ， 解得， a ? 1； 故答案為：1．
12．（3 分）一個(gè)不透明的袋子里裝有形狀、大小相同的 4 個(gè)白球和 2 個(gè)紅球，從袋子中任
意摸出一個(gè)球是白球的概率是2．
3
【解答】解：由題意可得，
從袋中任意摸出一個(gè)球是白球的概率為 4
? 2 ．
故答案為： 2 ．
3
4 ? 23
13．（3 分）已知關(guān)于 x 的方程 x2 ? 2x ? m ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是 m ? ?1 ．
【解答】解：?關(guān)于 x 的方程 x2 ? 2x ? m ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
?△ ? 22 ? 4 ?1? (?m) ? 4 ? 4m ? 0 ，
解得： m ? ?1 ．
故答案為： m ? ?1 ．
14．（3 分）如圖，直線 y ? x ? 1 與拋物線 y ? x2 ? 3x ? 2 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1, 0) 和 B(3, 2) ，則不等式 x ? 1 ? x2 ? 3x ? 2 的解集是 1 ? x ? 3 ．
【解答】解：直線 y ? x ? 1 與拋物線 y ? x2 ? 3x ? 2 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1, 0) 和 B(3, 2) ， 由圖象得：不等式 x ? 1 ? x2 ? 3x ? 2 的解集是1 ? x ? 3 ．
故答案為：1 ? x ? 3 ．
15．（3 分）如圖，從一塊邊長(zhǎng)為 12 的等邊三角形卡紙上剪下一個(gè)面積最大的扇形，并將其
3
圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是．
【解答】解：連接 AD ，
??ABC 是邊長(zhǎng)為 12 的等邊三角形，
? AD ? 12 ?
3 ? 6，
3
2
?扇形的弧長(zhǎng)為 60?? 6 3 ? 2 3?，
180
3
?圓錐的底面圓的半徑是 2 3???? 2 ?．
3
故答案為：．
16．（3 分）如圖，線段 BC 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在 x 軸和直線l 上滑動(dòng)（均不與原點(diǎn)O 重合），
??? 60? ， BC ? 2 ，作 BP ? x 軸， CP ? l ，交點(diǎn)為 P ，設(shè) P 的坐標(biāo)為( p, q) ，則 p2 ? q2 ?
16．
3
【解答】解：連接OP ，取OP 的中點(diǎn)為 D ，
? BP ? x 軸， CP ? l ，
?CD ? BD ? 1 OP ，
2
? O 、 B 、 P 、C 四點(diǎn)共圓， OP 為直徑，如圖：
連接CD 和 BD ，過(guò) D 作 DE ? BC 于點(diǎn) E ，
?CE ? 1 BC ? 1 ，
2
???? 60? ，
??BDC ? 2?BOC ? 120? ，
??CDE ? 60? ，
??BCD ? 30? ，
? DE ? 1 CD ，
2
在Rt?CDE 中，由勾股定理可得CD2 ? DE 2 ? CE 2 ，
即： CD2 ?
(1 CD)
2
2 ? 12 ，
解得： CD ? 2 3 ，
3
?OP ? 4 3 ，
3
? p2 ? q2 ? OP2 ? 16 ，
3
故答案為： 16 ．
3
三、解答題（本大題共 9 小題，共 72 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 4x ? 3 ? 0 ．
【解答】解： x2 ? 4x ? 3 ? 0 ， 分解因式得： (x ? 1)(x ? 3) ? 0 ，
可得 x ? 1 ? 0 或 x ? 3 ? 0 ， 解得： x1 ? ?1 ， x2 ? ?3 ．
18．（4 分）如圖， ?O 中，弧 AB ? 弧 AC ， ?C ? 70? ，求?A 的度數(shù)．
【解答】解：?弧 AB ? 弧 AC ，
??B ? ?C ? 70? ，
??A ? 180? ? ?B ? ?C ? 180? ? 70? ? 70? ? 40? ， 即?A 的度數(shù)為 40? ．
19．（6 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， ?OAB 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, ?3) ．將?OAB 繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 得到△ OA?B? ，點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A? ．
畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△ OA?B? ，并寫出點(diǎn) B? 的坐標(biāo)；
在（1）的條件下，求點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留?) ．
【解答】解：（1）如圖所示，△ OA?B? 即為所求．
點(diǎn) B? 的坐標(biāo)為(?3, ?4) ；
32 ? 42
（2）由圖知， ?AOA? ? 90? ， OB ?? 5 ，
?點(diǎn) B 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所走過(guò)的路徑長(zhǎng) BB? ? 90?? 5 ? 5? ．
1802
20．（6 分）兩個(gè)相鄰正奇數(shù)的積為 143，求這兩個(gè)正奇數(shù)．
【解答】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為 x ， x ? 2 ， 根據(jù)題意 x(x ? 2) ? 143 ，
? x1 ? 11 ， x2 ? ?13 （舍去），
?當(dāng) x ? 11時(shí)， x ? 2 ? 13 ； 答：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為 11，13．
21．（8 分）如圖，已知?O 為Rt?ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為 D ， E ， F ，且?C ? 90? ，
AB ? 13 ， BC ? 12 ．
求 BF 的長(zhǎng)；
求?O 的半徑 r ．
【解答】解：（1）在 Rt?ABC 中，??C ? 90? ， AB ? 13 ， BC ? 12 ，
AB2 ? BC2
132 ?122
? AC ??? 5 ，
??O 為Rt?ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為 D ， E ， F ，
? BD ? BF ， AD ? AE ， CF ? CE ，
設(shè) BF ? BD ? x ，則 AD ? AE ? 13 ? x ， CF ? CE ? 12 ? x ，
? AE ? EC ? 5 ，
?13 ? x ? 12 ? x ? 5 ，
? x ? 10 ，
? BF ? 10 ．
（2）連接OE ， OF ，
? OE ? AC ， OF ? BC ，
??OEC ? ?C ? ?OFC ? 90? ，
?四邊形OECF 是矩形，
?OE ? CF ? BC ? BF ? 12 ? 10 ? 2 ． 即 r ? 2 ．
22．（10 分）在甲、乙兩個(gè)不透明的布袋，甲袋中裝有 3 個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字
0，1，2；乙袋中裝有 3 個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字?1 ， ?2 ，0；現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為 x ，再?gòu)囊掖须S機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為 y ，確定點(diǎn) M 坐標(biāo)為(x, y) ．
用樹狀圖或列表法列舉點(diǎn) M 所有可能的坐標(biāo)；
求點(diǎn) M (x, y) 在函數(shù) y ? ?x ? 1的圖象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
x
y
0
1
2
共有 9 種等可能的結(jié)果數(shù)；
（2）滿足點(diǎn)(x, y) 落在函數(shù) y ? ?x ? 1 的圖象上的結(jié)果有 2 個(gè)，即(2, ?1) ， ( 1，0 ) ，
所以點(diǎn) M (x, y) 在函數(shù) y ? ?x ? 1 的圖象上的概率? 2 ．
9
?1
(0, ?1)
(1, ?1)
(2, ?1)
?2
(0, ?2)
(1, ?2)
(2, ?2)
0
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
2
23．（10 分）如圖， ?ACE 是等腰直角三角形， ?ACE ? 90? ， AC ? 4
， B 為 AE 邊上一
點(diǎn)，連接 BC ，將?ABC 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)到?EDC 的位置．
若?ACB ? 20? ，求?CDE 的度數(shù)；
連接 BD ，求 BD 長(zhǎng)的最小值．
【解答】解：（1）? ?ACE 是等腰直角三角形， ?ACE ? 90? ，
??A ? ?AEC ? 45? ，
??ACB ? 20? ，
??ABC ? 180? ? ?A ? ?ACB ? 115? ，
?將?ABC 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)到?EDC 的位置，
??CDE ? ?ABC ? 115? ；
（2）?將?ABC 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)到?EDC 的位置，
??ACB ? ?DCE ， BC ? DC ，
??BCD ? ?DCE ? ?BCE ? ?ACB ? ?BCE ? 90? ，
? BD ?
2BC ，
當(dāng) BC ? AE 時(shí)， BC 的值最小，即 BD 的值最小，
2
? AC ? 4，
? AB ? BC ?
2 AC ? 4 ，
2
2
? BD ? 4，
2
故 BD 長(zhǎng)的最小值為 4．
24．（12 分）如圖，直角梯形 ABCD 中， ?A ? ?B ? 90? ， AB ? 12 ， CD ? AD ? BC ．
尺規(guī)作出以 AB 為直徑的圓?O （保留作圖痕跡，不寫作法）；
判斷CD 與?O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
設(shè) AD ? x ， BC ? y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）所作圖形如圖 1 所示；
CD 與?O 相切，理由：如圖 2，
作?ADC 的角平分線，交 AB 于 M ，
??ADM ? ?CDM ，
過(guò)點(diǎn) M 作 MF ? CD 于 F ，
??DFM ? 90? ? ?A ，
? DM ? DM ，
??ADM ? ?FDM (AAS ) ，
? MF ? MA ， DF ? AD ，
?CD ? DF ? CF ? AD ? CF ，
? CD ? AD ? BC ，
?CF ? BC ，
在Rt?CFM 和Rt?CBM 中，
?CF ? BC
?
?CM ? CM ，
?Rt?CFM ? Rt?CBM(HL) ，
? BM ? MF ，
? MF ? 1 AB ，
2
??O 的直徑為 AB ，
?CD 與?O 相切（圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線）；
如圖 3，過(guò)點(diǎn) D 作 DE ? BC 于 E ，
??DEC ? ?DEB ? 90? ，
??A ? ?B ? 90? ，
??A ? ?B ? ?DEB ? 90? ，
?四邊形 ABED 是矩形，
? DE ? AB ? 12 ， BE ? AD ? x ，
在Rt?DEC 中， CE ? BC ? BE ? y ? x ， CD ? AD ? BC ? x ? y ， 根據(jù)勾股定理得， DE 2 ? CE 2 ? CD2 ，
?122 ? ( y ? x)2 ? (x ? y)2 ，
? y ? 36 ．
x
25．（12 分）如圖，二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象交 x 軸于 A(?1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 軸于
C(0, ?2) ．
求二次函數(shù)的解析式；
點(diǎn) P 在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，且使| PB ? PC | 最大，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；
若點(diǎn) M 為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形
ACMB 的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)及四邊形 ACMB 面積的最大值．
【解答】解：（1）將 A(?1, 0) ， B(2, 0) ， C(0, ?2) 代入 y ? ax2 ? bx ? c ，
?a ? b ? c ? 0
?
? ?4a ? 2b ? c ? 0 ，
?
?c ? ?2
?a ? 1
?
解得?b ? ?1 ，
?
?c ? ?2
? y ? x2 ? x ? 2 ；
（2）? y ? x2 ? x ? 2 ? (x ? 1 )2 ? 9 ，
24
?拋物線的對(duì)稱軸為直線 x ? 1 ，
2
作C 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C ? ，連接 BC? 與對(duì)稱軸交于點(diǎn) P ，
?CP ? C?P ，
?| PB ? PC |?| PB ? PC ?| ?BC ? ，此時(shí)| PB ? PC | 有最大值，
? C(0, ?2) ，
?C?(1, ?2) ，
設(shè)直線 BC? 的解析式為 y ? kx ? m ，
?2k ? m ? 0
? ?k ? m ? ?2 ，
?
?m ? ?4
解得?k ? 2，
?
? y ? 2x ? 4 ，
? P( 1 ， ?3) ；
2
（3）過(guò)點(diǎn) M 作 MN / / y 軸交 BC 于點(diǎn) N ，
? B(2, 0) ， C(0, ?2) ，
?直線 BC 的解析式為 y ? x ? 2 ， 設(shè) M (t,t2 ? t ? 2) ，則 N (t,t ? 2) ，
? MN ? t ? 2 ? (t2 ? t ? 2) ? ?t2 ? 2t ，
? S?BCM
? S?ABC
? S
? 1 ? 2 ? (?t 2 ? 2t) ? ?t 2 ? 2t ，
2
? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ，
2
? 3 ? t 2 ? 2t ? ?(t ? 1)2 ? 4 ，
四邊形ACMB
當(dāng)t ? 1 時(shí)，四邊形 ACMB 的面積最大值為 4， 此時(shí) M (1, ?2) ．

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