1．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5） 2．（3 分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放中央電視臺(tái)的《開(kāi)學(xué)第一課》B．經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈
C．任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是 180° D．同位角相等
3．（3 分）二次函數(shù) y＝（x﹣2）2+3 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3） 4．（3 分）下列數(shù)學(xué)符號(hào)屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A． B．C．D．
5．（3 分）已知⊙O 的半徑為 6cm，點(diǎn) P 是⊙O 內(nèi)的一點(diǎn)，則線段 OP 的長(zhǎng)度可能為（ ）
A．5cmB．6cmC．9cmD．12cm
6．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+1＝0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是（ ）
A．k＞4B．k≤4C．k＜4 且 k≠0D．k≤4 且 k≠0
7．（3 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，點(diǎn) D 是 AC 上一點(diǎn)，DE⊥AB 于點(diǎn) E，AB＝
10，BC＝6，DE＝2.4，則 AD 的長(zhǎng)為（ ）
A．1.2B．3C．4D．5
8．（3 分）若點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù) y＝（x＜0）的圖象上，且 x0y0＝﹣2，則它的圖象大致是（ ）
A．B．
C． D．
9．（3 分）如圖是一個(gè)以點(diǎn) O 為圓心、半徑為 2.5 的圓的一部分，若過(guò)圓心 O 的直線 EM 垂直于弦 CD，垂足為 M，并且 CD＝3，則 EM 為（ ）
A．3B．3.5C．4.5D．5
10．（3 分）已知二次函數(shù) y＝﹣x2+2x+5，若 P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且 y1＞y2，則實(shí)數(shù) n 的取值范圍為（ ）
A．n＜﹣1B．n＜0C．n＜1D．n＜2
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．（3 分）某校九年級(jí)共有 50 名學(xué)生參加社區(qū)垃圾分類(lèi)志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中男生有 30
名，女生有 20 名，若從中隨機(jī)抽一名學(xué)生，恰好抽到男生的概率是．
12．（3 分）關(guān)于 x 的方程 x2﹣2x+c＝0 有一個(gè)根是 1，那么實(shí)數(shù) c 的值是 ．
13．（3 分）如圖，△DEF 與△ABC 位似，點(diǎn) O 為位似中心，已知 OF：OC＝1：2，則△DEF
與△ABC 的周長(zhǎng)之比是．
14．（3 分）如圖，已知圓錐的底面半徑為 3，圓錐的母線與高的夾角 θ 為 30°，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．
15．（3 分）如圖，已知拋物線 y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣2），圖象與 x 軸交于點(diǎn) B（m，0）和點(diǎn) C，且點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)，那么線段 BC 的長(zhǎng)是.（請(qǐng)
用含字母 m 的代數(shù)式表示）
16．（3 分）如圖，將一個(gè)半徑 OA＝4cm，圓心角∠AOB＝60°的扇形繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到扇形 A ′ O ′ B ，若 OA ∥ O ′ B ， 則半徑 OA 的中點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（4 分）解方程：x2+6x+5＝0．
18．（4 分）如圖，把△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 50°到△ADE 的位置，若 AD⊥BC 于點(diǎn) F，求∠D 的度數(shù)．
19．（6 分）以物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能為基礎(chǔ)的技術(shù)創(chuàng)新促進(jìn)了新行業(yè)發(fā)展，新行業(yè)發(fā)展對(duì)人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘總線、測(cè)試、軟件、硬件四類(lèi)
專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生共 30 人，新招聘畢業(yè)生的專(zhuān)業(yè)分布情況繪制成如下不完整的條形圖． 請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
“總線”專(zhuān)業(yè)有 人，并補(bǔ)全條形圖；
新招聘“軟件”專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生中只有兩人是同校畢業(yè)，該公司從新招聘“軟件”專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩人參加問(wèn)卷調(diào)查，求抽到兩人恰好是同校畢業(yè)的概率．
20．（6 分）如圖，∠MAN＝60°，點(diǎn) B、C 分別在 AM、AN 上，且∠ABC＝20°．
尺規(guī)作圖：作∠CBM 的角平分線 BD，BD 與 AN 相交點(diǎn) D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．
21．（8 分）隨著國(guó)內(nèi)新能源汽車(chē)的普及，為了適應(yīng)社會(huì)的需求，全國(guó)各地都在加快公共充
電樁的建設(shè)，某省 2018 年公共充電樁的數(shù)量為 1 萬(wàn)個(gè)，2020 年公共充電樁的數(shù)量為 2.89
萬(wàn)個(gè)．
求 2018 年至 2020 年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率；
按照這樣的增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì) 2021 年該省將新增多少萬(wàn)個(gè)公共充電樁？
22．（10 分）如圖，已知四邊形 ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD 為直徑的⊙O 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，AB
是⊙O 的切線，OE∥BC．
求證：BC 是⊙O 的切線；
若 AE＝1，求 BE 的長(zhǎng)．
23．（10 分）如圖，平行四邊形 OABC 的頂點(diǎn) A 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn) D（2，4）在對(duì)角線 OB 上，反比例函數(shù) y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò) C，D 兩點(diǎn)．
求 m 的值；
若△BOC 的面積是 12，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)．
24．（12 分）已知拋物線 y＝ax2﹣3ax+經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（5，0），且與 y 軸交于點(diǎn) B，點(diǎn) E 在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)．
求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
若△ABE 是以 AB 為直角邊的直角三角形，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；
若點(diǎn) P（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 x 軸上時(shí)，連接 EP，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著 n 的變化，EP2 與 n 之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并求出 EP2 的最小值．
25．（12 分）如圖 1，⊙O 為 Rt△ABC 的外接圓，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，點(diǎn) D
是⊙O 上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) C、D 分別位于 AB 的兩側(cè)．
求⊙O 的半徑；
當(dāng) CD＝4時(shí)，求∠ACD 的度數(shù)；
設(shè) AD 的中點(diǎn)為 M，在點(diǎn) D 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 CM 是否存在最大值？若存在， 求出 CM 的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2020-2021 學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得答案．
【解答】解：點(diǎn)（3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（﹣3，5），故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握：點(diǎn) P（x，y）關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 P′（﹣x，﹣y）．
2．（3 分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放中央電視臺(tái)的《開(kāi)學(xué)第一課》B．經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈
C．任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是 180° D．同位角相等
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷，得到答案．
【解答】解：A、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放中央電視臺(tái)的《開(kāi)學(xué)第一課》，是隨機(jī)事件；
B、經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件； C、任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是 180°，是必然事件； D、同位角相等，是隨機(jī)事件；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（3 分）二次函數(shù) y＝（x﹣2）2+3 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式可直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵拋物線解析式為 y＝（x﹣2）2+3，
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）．故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可確定拋物線的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱(chēng)軸），最大（最?。┲?，增減性等．
4．（3 分）下列數(shù)學(xué)符號(hào)屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A． B．C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意； C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意； D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意． 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn) 180
度后與原圖重合．
5．（3 分）已知⊙O 的半徑為 6cm，點(diǎn) P 是⊙O 內(nèi)的一點(diǎn)，則線段 OP 的長(zhǎng)度可能為（ ）
A．5cmB．6cmC．9cmD．12cm
【分析】當(dāng)⊙O 的半徑是 R，點(diǎn) P 到圓心 O 的距離是 d，當(dāng) d＝R 時(shí)，點(diǎn) P 在⊙O 上，當(dāng)
d＜R 時(shí)，點(diǎn) P 在⊙O 內(nèi)，當(dāng) d＞R 時(shí)，點(diǎn) P 在⊙O 外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
【解答】解：∵點(diǎn) P 在⊙O 內(nèi)，⊙O 的半徑為 6cm，
∴OP＜6cm，
A、5cm＜6cm，故本選項(xiàng)正確；
B、6cm＝6cm，此時(shí) P 在圓上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、9cm＞6cm，此時(shí) P 在圓外，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、12cm＞6cm，此時(shí) P 在圓外，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn) P 和圓 O 有三種位置關(guān)系：當(dāng)⊙O 的半徑是 R，點(diǎn) P 到圓心 O 的距離是 d，①當(dāng) d＝R 時(shí)，點(diǎn) P 在⊙O 上，②當(dāng) d＜R 時(shí)，點(diǎn)P 在⊙O 內(nèi)，③當(dāng) d＞R 時(shí)，點(diǎn) P 在⊙O 外．
6．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+1＝0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是（ ）
A．k＞4B．k≤4C．k＜4 且 k≠0D．k≤4 且 k≠0
【分析】若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于 k 的不等式，求出 k 的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為 0．
【解答】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0， 即 k≤4，且 k≠0．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．
7．（3 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，點(diǎn) D 是 AC 上一點(diǎn)，DE⊥AB 于點(diǎn) E，AB＝
10，BC＝6，DE＝2.4，則 AD 的長(zhǎng)為（ ）
A．1.2B．3C．4D．5
【分析】先△ADE∽△ABC；利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∴．
即： ．
∴AD＝4． 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的證明，已經(jīng)相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題．
8．（3 分）若點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù) y＝ （x＜0）的圖象上，且 x0y0＝﹣2，則它的圖象大致
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先由 x0y0＝﹣2，得出 k 的值，然后根據(jù) x＜0 及反比例函數(shù) y＝的圖象性質(zhì)作答．
【解答】解：因?yàn)椋▁0，y0）在函數(shù) y＝（x＜0）的圖象上， 所以 k＝x0y0＝﹣2＜0；
又因?yàn)?x＜0，
所以圖象只在第二象限． 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】反比例函數(shù) y＝的圖象是雙曲線．當(dāng) k＞0 時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第一、
三象限；當(dāng) k＜0 時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．解答本題時(shí)要注意，x＜0 時(shí)圖象只有一個(gè)分支．
9．（3 分）如圖是一個(gè)以點(diǎn) O 為圓心、半徑為 2.5 的圓的一部分，若過(guò)圓心 O 的直線 EM 垂直于弦 CD，垂足為 M，并且 CD＝3，則 EM 為（ ）
A．3B．3.5C．4.5D．5
【分析】連接 OC，先由垂徑定理得 CM＝DM＝CD＝，再由勾股定理求出 OM＝2， 即可求解．
【解答】解：連接 OC，如圖所示：
則 OC＝OE＝2.5＝，
∵EM⊥CD，
∴CM＝DM＝ CD＝ ，
由勾股定理得：OM＝＝＝2，
∴EM＝OE+OM＝2.5+2＝4.5，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．
10．（3 分）已知二次函數(shù) y＝﹣x2+2x+5，若 P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是該二次函數(shù)圖象
上的兩點(diǎn)，且 y1＞y2，則實(shí)數(shù) n 的取值范圍為（ ）
A．n＜﹣1B．n＜0C．n＜1D．n＜2
【分析】將 n，n﹣2 代入二次函數(shù)解析式即可得出 n 的取值范圍．
【解答】解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函數(shù) y＝﹣x2+2x+5 的圖象上的兩點(diǎn)，且 y1
＞y2，
∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5， 化簡(jiǎn)整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴實(shí)數(shù) n 的取值范圍是 n＜2， 故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．（3 分）某校九年級(jí)共有 50 名學(xué)生參加社區(qū)垃圾分類(lèi)志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中男生有 30
名，女生有 20 名，若從中隨機(jī)抽一名學(xué)生，恰好抽到男生的概率是 ．
【分析】用男生的人數(shù)除以所有學(xué)生的人數(shù)的和即可求得答案．
【解答】解：∵共 50 名學(xué)生，其中男生 30 名，
∴從中隨機(jī)抽一名學(xué)生，恰好抽到男生的概率是＝， 故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有 n 種可能，而且這些事件的可能性相同，
其中事件 A 出現(xiàn) m 種結(jié)果，那么事件 A 的概率 P（A）＝．
12．（3 分）關(guān)于 x 的方程 x2﹣2x+c＝0 有一個(gè)根是 1，那么實(shí)數(shù) c 的值是 1 ．
【分析】把 x＝1 代入已知方程，列出關(guān)于 c 的一元一次方程，通過(guò)解該方程來(lái)求 c 的值．
【解答】解：∵關(guān)于 x 的方程 x2﹣2x+c＝0 有一個(gè)根是 1，
∴12﹣2×1+c＝0，即﹣1+c＝0， 解得 c＝1．
故答案是：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解的定義．方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
13．（3 分）如圖，△DEF 與△ABC 位似，點(diǎn) O 為位似中心，已知 OF：OC＝1：2，則△DEF
與△ABC 的周長(zhǎng)之比是 1：2 ．
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出△DEF 與△ABC 的周長(zhǎng)之比．
【解答】解：∵△DEF 與△ABC 位似，點(diǎn) O 為位似中心，
∴△DEF 與△ABC 的周長(zhǎng)之比是：1：2． 故答案為：1：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．（3 分）如圖，已知圓錐的底面半徑為 3，圓錐的母線與高的夾角 θ 為 30°，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是 18π ．
【分析】先利用含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得到圓錐的母線長(zhǎng)為 6，由于錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)， 則利用扇形的面積公式可計(jì)算出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積．
【解答】解：∵圓錐的母線與高的夾角 θ 為 30°，底面半徑為 3，
∴圓錐的母線長(zhǎng)為 6，
∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積＝ ×2π×3×6＝18π． 故答案為 18π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
15．（3 分）如圖，已知拋物線 y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣2），圖象與 x 軸交于點(diǎn) B（m，0）和點(diǎn) C，且點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)，那么線段 BC 的長(zhǎng)是 4﹣2m .（請(qǐng)
用含字母 m 的代數(shù)式表示）
【分析】根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)解答．
【解答】解：∵拋物線 y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣2），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x＝2．
∵點(diǎn) B（m，0）和點(diǎn) C 關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（4﹣m，0）．
∴BC＝4﹣m﹣m＝4﹣2m． 故答案是：4﹣2m．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)，充分利用了拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
16．（3 分）如圖，將一個(gè)半徑 OA＝4cm，圓心角∠AOB＝60°的扇形繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到扇形 A′O′B，若 OA∥O′B，則半徑 OA 的中點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 π cm．
【分析】證明△AOB 是等邊三角形，求出 BP，∠PBP′，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【解答】解：連接 PB，AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等邊三角形，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵OP＝PA，
∴∠APB＝∠OPB＝30°，PB⊥OA，
∴PB＝OB?cs30°＝2（cm），
∵OA∥BO′，
∴∠OAB＝∠ABO′，
∴∠PBP′＝30°+60°+30°＝120°，
∴半徑 OA 的中點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為＝π（cm）．
故答案為：π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，弧長(zhǎng)公式，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（4 分）解方程：x2+6x+5＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+1）（x+5）＝0， x+1＝0 或 x+5＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為 0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為 0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
18．（4 分）如圖，把△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 50°到△ADE 的位置，若 AD⊥BC 于點(diǎn) F，求∠D 的度數(shù)．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B＝∠D，∠BAD＝50°，即可求解．
【解答】解：∵把△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 50°到△ADE 的位置，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠B＝40°＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
19．（6 分）以物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能為基礎(chǔ)的技術(shù)創(chuàng)新促進(jìn)了新行業(yè)發(fā)展，新行業(yè)發(fā)展對(duì)人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘總線、測(cè)試、軟件、硬件四類(lèi)專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生共 30 人，新招聘畢業(yè)生的專(zhuān)業(yè)分布情況繪制成如下不完整的條形圖．
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
“總線”專(zhuān)業(yè)有 8 人，并補(bǔ)全條形圖；
新招聘“軟件”專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生中只有兩人是同校畢業(yè)，該公司從新招聘“軟件”專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩人參加問(wèn)卷調(diào)查，求抽到兩人恰好是同校畢業(yè)的概率．
【分析】（1）由總?cè)藬?shù)減去其它三類(lèi)專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)得出“總線”專(zhuān)業(yè)人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有 12 個(gè)等可能的結(jié)果，其中抽到兩人恰好是同校畢業(yè)的結(jié)果有 2 個(gè)， 再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）總線”專(zhuān)業(yè)有：30﹣12﹣4﹣6＝8（人），故答案為：8；
補(bǔ)全條形圖如圖：
（2）把同校畢業(yè)的兩人記為 A、A'，其他兩人記為 B、C，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：
共有 12 個(gè)等可能的結(jié)果，其中抽到兩人恰好是同校畢業(yè)的結(jié)果有 2 個(gè)，
∴抽到兩人恰好是同校畢業(yè)的概率為＝ ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出 n，再?gòu)闹羞x出符合事件 A 或 B 的結(jié)果數(shù)目 m，然后根據(jù)概率公式求出事件 A 或 B 的概率．也考查了條形統(tǒng)計(jì)圖．
20．（6 分）如圖，∠MAN＝60°，點(diǎn) B、C 分別在 AM、AN 上，且∠ABC＝20°．
尺規(guī)作圖：作∠CBM 的角平分線 BD，BD 與 AN 相交點(diǎn) D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．
【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）根據(jù)角平分線定義和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示，線段 BD 即為所求；
（2）∵∠ABC＝20°，
∴∠CBM＝160°，
∵BD 平分∠CBM，
∴∠CBD＝ CBM＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠CBD＝20°，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，作圖﹣基本作圖，角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
21．（8 分）隨著國(guó)內(nèi)新能源汽車(chē)的普及，為了適應(yīng)社會(huì)的需求，全國(guó)各地都在加快公共充
電樁的建設(shè)，某省 2018 年公共充電樁的數(shù)量為 1 萬(wàn)個(gè)，2020 年公共充電樁的數(shù)量為 2.89
萬(wàn)個(gè)．
求 2018 年至 2020 年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率；
按照這樣的增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì) 2021 年該省將新增多少萬(wàn)個(gè)公共充電樁？
【分析】（1）設(shè) 2018 年至 2020 年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為 x，根據(jù)該省
2018 年及 2020 年公共充電樁，即可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)該省 2021 年公共充電樁數(shù)量＝該省 2020 年公共充電樁數(shù)量×增長(zhǎng)率，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè) 2018 年至 2020 年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為 x，依題意得：（1+x）2＝2.89，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合題意，舍去）．
答：2018 年至 2020 年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為 70%．
（2）2.89×70%＝2.023（萬(wàn)個(gè)）．
答：預(yù)計(jì) 2021 年該省將新增 2.023 萬(wàn)個(gè)公共充電樁．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．（10 分）如圖，已知四邊形 ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD 為直徑的⊙O 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，AB
是⊙O 的切線，OE∥BC．
求證：BC 是⊙O 的切線；
若 AE＝1，求 BE 的長(zhǎng)．
【分析】（1）由等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠DCO＝60°，由四邊形內(nèi)角和定理求出
∠OCB＝90°，則可得出答案；
（2）連接 OB，由切線長(zhǎng)定理得出∠OBA＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出 AB 的長(zhǎng)，則可求出答案．
【解答】解：（1）連接 OC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ODC 為等邊三角形，
∴∠DCO＝60°，
∵AB 是⊙O 的切線，
∴∠OAB＝90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠BCD＝360°，
∴∠BCO＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D﹣∠OCD＝360°﹣90°﹣60°﹣60°﹣60°＝
90°，
∴OC⊥BC，
∴BC 是⊙O 的切線；
（2）如圖，連接 OB，
∵OE∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠OEA＝∠ABC＝60°，
∴∠AOE＝90°﹣∠OEA＝30°，
∵AE＝1，
∴OE＝2AE＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∵BA，BC 是⊙O 的切線，
∴∠OBA＝ ∠ABC＝30°，
∴OB＝2OA＝2 ，
∴AB＝ ＝＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
23．（10 分）如圖，平行四邊形 OABC 的頂點(diǎn) A 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn) D（2，4）在對(duì)角線
OB 上，反比例函數(shù) y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò) C，D 兩點(diǎn)．
求 m 的值；
若△BOC 的面積是 12，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）延長(zhǎng) BC，交 x 軸于 E，作 DF⊥x 軸于 F，即可得到 S△ODF＝S△OCE＝4，從而得到
△OBE 的面積為 16，通過(guò)證得△ODF∽△OBE，證得 OE＝4，把 C 的橫坐標(biāo)代入解析式即可求得 C 的縱坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù) y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) D（2，4），
∴m﹣2＝2×4＝8，
∴m＝10；
（2）延長(zhǎng) BC，交 x 軸于 E，作 DF⊥x 軸于 F，
∵四邊形 OABC 是平行四邊形，
∴BC∥y 軸，
∵反比例函數(shù)為 y＝的圖象經(jīng)過(guò) C，D 兩點(diǎn)．
∴S△ODF＝S△OCE＝4，
∵△BOC 的面積是 12，
∴△OBE 的面積為 16，
∵點(diǎn) D（2，4），
∴OF＝2，
∵DF∥BE，
∴△ODF∽△OBE，
∴＝（ ）2＝ ，
∴OE：OF＝2：1，
∴OE＝2OF＝4，
∴C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 4，
把 x＝4 代入 y＝得，y＝2，
∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（4，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義， 三角形相似的判定和性質(zhì)，作出輔助線根據(jù)相似三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（12 分）已知拋物線 y＝ax2﹣3ax+經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（5，0），且與 y 軸交于點(diǎn) B，點(diǎn) E 在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)．
求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
若△ABE 是以 AB 為直角邊的直角三角形，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；
若點(diǎn) P（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 x 軸上時(shí)，連接 EP，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著 n 的變化，EP2 與 n 之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并求出 EP2 的最小值．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸 x＝﹣計(jì)算即可．
直線直線 AB 的解析式，可得 N（，），推出 BN＝，AN＝，分兩種情形利用相似三角形的性質(zhì)，求出 EN，NE′可得結(jié)論．
根據(jù)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 x＝﹣＝
（2）∵拋物線 y＝ax2﹣3ax+經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（5，0），
∴25a﹣15a+ ＝0，
∴a＝﹣ ，
如圖 1 中，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交 AB 于 N，交 x 軸于 T．
∵A（5，0），B（0，），
∴OB＝ ，OA＝5，
∴AB＝＝＝，
∴直線 AB 的解析式為 y＝﹣x+ ，
∵對(duì)稱(chēng)軸 x＝，
∴N（ ，），
∴BN＝ ＝，
∴AN＝AB﹣BN＝ ，
∵EN∥OB，
∴∠ENB＝∠ABO，
∵∠EBN＝∠AOB＝90°，
∴△EBN∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝ ，ET＝TN+EN＝ ，
∴E（ ，），
當(dāng)∠NAE′＝90°時(shí)，同法可得 E′N(xiāo)＝，ET＝7，
∴E′（，﹣7）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ ，）或（ ，﹣7）．
（3）如圖 2 中，∵P（m，n），E（，0），
∴PE2＝（m﹣ ）2+n2＝m2﹣3m+ +n2，
∵n＝﹣ m2+ m+ ，
∴m2﹣3m＝10﹣4n，
∴PE2＝10﹣4n+ +n2＝（n﹣2）2+ ，
∴PE2 的最小值為．PE2＝n2﹣4n+ ．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
25．（12 分）如圖 1，⊙O 為 Rt△ABC 的外接圓，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，點(diǎn) D
是⊙O 上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) C、D 分別位于 AB 的兩側(cè)．
求⊙O 的半徑；
當(dāng) CD＝4時(shí)，求∠ACD 的度數(shù)；
設(shè) AD 的中點(diǎn)為 M，在點(diǎn) D 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 CM 是否存在最大值？若存在， 求出 CM 的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出 AB 即可．
連接 OC，OD，證明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得結(jié)論．
如圖 2 中，連接 OM，OC．證明 OM⊥AD，推出點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡以 AO 為直徑的
⊙J，連接 CJ，JM．求出 CJ．JM，根據(jù) CM≤CJ+JM＝2+2，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖 1 中，
∵AB 是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4 ，
∴AB＝ ＝＝8，
∴⊙O 的半徑為 4．
如圖 1 中，連接 OC，OD．
∵CD＝4 ，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC 是等邊三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
如圖 2 中，連接 OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡以 AO 為直徑的⊙J， 連接 CJ，JM．
∵△AOC 是等邊三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ＝ ＝2 ，
∵CM≤CJ+JM＝2 +2，
∴CM 的最大值為 2+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)， 等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是尋找特殊三角形解決問(wèn)題，正確尋找點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?jí)狠S題．

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