一、選擇題（本大題共10題，每題3分，滿分30分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目的要求．）
1. 下列關(guān)于的方程中，一定屬于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、該方程的未知數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是，當(dāng)時(shí)不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
C、該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、該方程有兩個(gè)未知數(shù)，該方程不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
2. 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故符合題意．
故選D．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 任意買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)
B. 13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同
C. 車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到綠燈
D. 冬天的某一天一定會(huì)下雪．
【答案】B
【解析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，結(jié)合不可能事件、隨機(jī)事件的定義依據(jù)必然事件的定義.
A、任意買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同，是必然事件，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
C、車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、明天一定會(huì)下雨，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
4. 如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. 30°D.
【答案】A
【解析】∵四邊形內(nèi)接于，，
∴，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，即，
∴，
∴，
故選A．
5. 如圖，D，E分別是的邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)F．，則的值為（ ）
A. B.
C. D. 以上答案都不對(duì)
【答案】C
【解析】，
，
，
，
故選C．
6. 若一元二次方程的兩根為，，則的值是（ ）
A. 4B. 2C. 1D. ﹣2
【答案】A
【解析】根據(jù)題意得，，
所以．
故選A．
7. 學(xué)校的自動(dòng)飲水機(jī)，通電加熱時(shí)水溫每分鐘上升，加熱到時(shí)，自動(dòng)停止加熱，水溫開始下降．此時(shí)水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至?xí)r，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在時(shí)接通電源，水溫與通電時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，則水溫要從加熱到，所需要的時(shí)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圖可知水溫要從加熱到，水溫與通電時(shí)間成正比例關(guān)系，關(guān)系式為 ，
當(dāng)時(shí)，．
故選：C．
8. 某初中畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了張照片，如果全班有名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵每一個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，
∴，
故選：B ．
9. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓弧得到扇形（陰影部分，點(diǎn)在對(duì)角線上）．若扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】∵正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴，
∵是正方形的對(duì)角線，
∴，
∴，
∴圓錐底面周長(zhǎng)為，解得，
∴該圓錐的底面圓的半徑是，
故選：D．
10. 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，n），則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，5．上述結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】∵拋物線的開口向下，∴a＜0．
∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴＝1，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∴abc＜0，故①正確；
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故②正確；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正確；
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，n），其對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴根據(jù)對(duì)稱性，拋物線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，n），
∴當(dāng)y＝n時(shí)，x＝﹣3或5．
∴當(dāng)ax2+bx+c＝n（a≠0）時(shí)，x＝﹣3或5．
即關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，5．
故④正確；
綜上，正確的結(jié)論有：①③④．
故選：D．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，b），若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則ab=_____．
【答案】12
【解析】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，b），點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴a=﹣4，b=﹣3，
則ab=12．
12. 如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后得到△COD，若∠AOB=15°，則∠AOD=_____度．
【答案】30
【解析】∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，
又∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°．
13. 如圖，，于點(diǎn)E，若的半徑為3，則的長(zhǎng)為____________

【答案】
【解析】連接，，作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，
∴，，
又，
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，即：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
14. 某商品原價(jià)元，連續(xù)兩次漲價(jià)后，售價(jià)為元．若平均增長(zhǎng)率為，則_____．
【答案】
【解析】設(shè)平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意列方程：，
解得：（不合題意，舍去），．
15. 如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加______m.
【答案】
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，
拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為0,2
通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式，其中可通過(guò)將A點(diǎn)坐標(biāo)
代入到拋物線解析式得出：所以拋物線解析式為
當(dāng)水面下降2米，通過(guò)拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的距離，
可以通過(guò)把代入拋物線解析式得出：
解得：
所以水面寬度增加到米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了
16. 如圖，是的直徑，弦平分圓周角，則下列結(jié)論：
①
②是等腰直角三角形
③
④
正確有______．
【答案】①②④
【解析】弦平分圓周角，
，
，故①正確；
，
是的直徑，
，
是等腰直角三角形，故②正確；
作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，
，
四邊形是矩形，
，
即，
弦平分圓周角，，
，
，
在和中，，
，
，
，
在中，
，
同理可得，
，故③錯(cuò)誤；
，
，
，故④正確．
故答案為：①②④．
三、解答題（本大題共9題，滿分72分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．）
17. 解方程：．
解：，
，
∴或，
∴，．
18. 已知三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫出；
（2）以B為位似中心，將放大到原來(lái)的2倍，在網(wǎng)格圖中畫出放大后的圖形；
解：（1）如圖所示：即為所求；
（2）所畫圖形如下所示：
19. 為紀(jì)念建國(guó)70周年，某校舉行班級(jí)歌詠比賽，歌曲有：《我愛(ài)你，中國(guó)》，《歌唱祖國(guó)》，《我和我的祖國(guó)》（分別用字母A，B，C依次表示這三首歌曲）．比賽時(shí)，將A，B，C這三個(gè)字母分別寫在3張無(wú)差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，八（1）班班長(zhǎng)先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由八（2）班班長(zhǎng)從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行歌詠比賽．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國(guó)》的概率是__________；
（2）試用畫樹狀圖或列表方法表示所有可能的結(jié)果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
解：（1）因?yàn)橛校?，種等可能結(jié)果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國(guó)》的概率是；
（2）樹狀圖如圖所示：
共有9種可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
20. 如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB，BC各為多少米？
解：設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，則BC的長(zhǎng)度為（100﹣4x）米．
根據(jù)題意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
則100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
故羊圈的邊長(zhǎng)AB，BC分別是20米、20米．
21. 如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為，，．求證：直線是的切線．
解：如圖，連接，
，
在和中，，
，
，
，，，
，，
是半徑，直線是的切線．
22. 如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）觀察函數(shù)圖象，試直接寫出時(shí)，的取值范圍．
解：（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，
，解得：，
二次函數(shù)的解析式為：；
（2）由圖象可得：當(dāng)時(shí)，的取值范圍為：或．
23. 如圖，在梯形ABCD中，，過(guò)AC和BD的交點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N
（1）猜想：OM______ON（填“＞”，“＜”或“＝”）
（2）求證：．
解：（1） ，，







故答案為：=；
（2）







由（1）可得：

24. 如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（6，0）．
（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；
（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）M為線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；
解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)B（6，0），
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線；
（2）如圖所示，連接PC，PA，PB，
∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵A、B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，
∴A、B關(guān)于直線對(duì)稱，
∴PA=PB，
∴△PAC的周長(zhǎng)=PC+AC+PA=PC+PA+PB，
∴要使△PAC周長(zhǎng)最小，即要使PC+PB最小，
∴當(dāng)P、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PB最小，此時(shí)P在位置，
設(shè)直線BC解析式為，
∴，∴，
∴直線BC解析式為，
令x=2，則，
∴坐標(biāo)為（2，2），
∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，使得△PAC的周長(zhǎng)最??；
（3）如圖所示，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），
∵M(jìn)N∥y軸，且N在直線BC上，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值．
25. 如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)．AE與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為E，直線EC與直徑AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CD交AB于點(diǎn)F，連接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判斷△ACD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若CD平分∠ACB，求證：PC＝PF；
（3）在（2）的條件下，若AD＝5，PF＝5，求由線段PC、和線段BP所圍成的圖形（陰影部分）的面積．
解：（1）△ACD是等邊三角形，證明如下：
，
，
，
，
，
是等邊三角形．
（2）連接，如下圖，
是的直徑，
，
平分，
，
與相切于點(diǎn)，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）由（2）知，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．

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